2020年四川省德阳市高考(文科)数学三诊试卷-解析版

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i3．在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A． B． C． D．4．已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30 B．25 C．15 D．105．设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣ B． C． D．﹣6．若函数f（x）＝ex（sinx+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞） B．（1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（，+∞）7．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+） B．f（x）＝2sin（4x﹣） C．f（x）＝2sin（x﹣） D．f（x）＝2sin（x+）8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABD C．AB⊥CD D．AC⊥BD9．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2 B．﹣1 C．﹣1 D．2﹣110．已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+ B． C． D．11．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜x1+x2+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．[﹣2﹣2ln2，+∞） C．[﹣3﹣ln2，+∞） D．[﹣5，+∞）二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）＝，则f[f（3）]＝．14．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．15．某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为万元．16．已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C相切，那么直线l的斜率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…，第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生．现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率．18．在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB＝2，bsinC＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若AB＝BD＝BB1＝2，求几何体P﹣AB1C1的体积．20．巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axex﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝2时，证明：g（x）+f（x）≥0．21．已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解：因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，M＝{﹣4，0，1}，所以M∩N＝{0，1}．故选：B．2．如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i【分析】由已知求得z，代入z+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，得z＝1﹣i，则z+＝1﹣i+＝1﹣i+＝3+i．故选：A．3．在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据对称性得到阴影部分的面积等于△AOB的面积；再结合面积比即可求解结论．解：由对称性可得，阴影部分的面积等于△AOB的面积；而△AOB的面积占整个正方形面积的；故选：D．4．已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30 B．25 C．15 D．10【分析】根据题意，设数列{an}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7＝a4a6q＝（a5）2q＝45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有＝＝q（1+q），计算即可得答案．解：根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，若a5＝3，a4a7＝45，则a4a7＝a8a6q＝（a5）2q＝45，则q＝5，故选：A．5．设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣ B． C． D．﹣【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．解：∵+＝（m，﹣3），＝（3，1），（+）⊥，∴3m﹣3＝0，可得m＝5，可得+＝（1，﹣3），∴＝（3，﹣4），∴设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．故选：D．6．若函数f（x）＝ex（sinx+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞） B．（1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（，+∞）【分析】求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立，然后求出实数a的取值范围．解：因为f（x）＝ex（sinx+a），所以f′（x）＝ex（sinx+a+cosx）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立．所以a≥﹣sinx﹣cosx，所以﹣≤﹣sinx﹣cosx≤，故选：A．7．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+） B．f（x）＝2sin（4x﹣） C．f（x）＝2sin（x﹣） D．f（x）＝2sin（x+）【分析】直接利用函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f（）＝±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．解：由于函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象函数y＝f（x）的周期T，满足，所以ω＝4．整理得φ＝kπ+（k∈Z），解得φ＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABD C．AB⊥CD D．AC⊥BD【分析】由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．解：△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2 B．﹣1 C．﹣1 D．2﹣1【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S＝+++…++的值，用裂项法即可得解．解：模拟执行程序框图，可得N＝10，S＝0，k＝1满足条件k＜10，k＝2，S＝+，…不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．10．已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+ B． C． D．【分析】设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y＝k（x+2），可得kx﹣y+2k＝0，圆x2+y2﹣5x+3＝0的圆心（，0），半径为：，不妨取切线方程y＝（x+2）代入圆的方程可得：（1+）x2﹣5x+x+4+＝0，解得x＝2，解得a＝b＝，故选：C．11．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论．解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；（3）根据（2）得（3）错误；综上，正确的有2个．故选：B．12．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜x1+x2+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞） B．[﹣2﹣2ln2，+∞） C．[﹣3﹣ln2，+∞） D．[﹣5，+∞）【分析】由题意可得f′（x）＝（x＞0），由函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个极值点x1，x2，可得方程2ax2﹣2x+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得a的取值范围，由f（x1）+f（x2）﹣（x1+x2）═﹣﹣1﹣ln2a，令h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，利用导数研究其最大值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝（x＞0），所以方程2ax2﹣2x+5＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，因为f（x1）+f（x2）﹣（x1+x5）＝a﹣2x6+lnx1+a﹣2x2+lnx2﹣x1﹣x7＝a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣2（x1+x2）+ln（x1x2）＝﹣﹣7﹣ln2a，h′（a）＝，易知h′（a）＞0在（0，）上恒成立，故h（a）＜h（）＝﹣5，所以t的取值范围是[﹣3，+∞）．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．已知f（x）＝，则f[f（3）]＝．【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．解：∵f（x）＝，∴f（3）＝﹣lg100＝﹣2；故答案为：．14．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．．【分析】通过数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简的表达式，然后求和即可．解：∵数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，Sn＝n+＝n2，可得数列{}的前n项和为1+3+3+…+n＝．故答案为：．15．某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为5万元．【分析】由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z，则目标函数z＝2x+y，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．解：由题意可知，设该车间每天的利润为z，则z＝2x+y，由图可知，当目标函数过点A时，取得最大值，所以z的最大值为8×2+1＝5，故答案为：5．16．已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C相切，那么直线l的斜率为．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，求得直线l的斜率．解：方法一：抛物线C的焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x5，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，由，求导，直线AM的斜率＝＝，整理得x18﹣3x1﹣6＝0，所以或，即k＝，所以直线AB的斜率为k＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…，第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生．现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率．【分析】（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，由频率/组距×组距×总体数量即可得解；（2）由频率/组距×组距×样本容量，可分别算出第一小组由3人（记为A1，A2，B1）和第五小组有4人（记为A3，B2，B3，B4），然后用列举法写出从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况以及恰有1男1女的情况，最后由古典概型计算概率的方式即可得解．解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）×10＝0.2，（2）第一小组共有0.006×10×50＝3人，其中2男1女，分别记为A1，A6，B1；现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况有：A2B3，A2B5，A3B1，B1B2，B1B3，B1B4，共12种，A2B2，A2B4，A2B4，A3B1，共7种．故抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率为．18．在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB＝2，bsinC＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式解得a＝2，由已知可求bsinC＝，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得sin（A+）＝1，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求解A的值．解：（1）∵bcosC+ccosB＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝5，∵bsinC＝a＝，（5）由（1）及条件和余弦定理可得：，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若AB＝BD＝BB1＝2，求几何体P﹣AB1C1的体积．【分析】（1）四边形PBO1D中，由已知证明PO1与BD的交点O为PO1的中点，也是BD的中点，可得四边形PBO1D是平行四边形，故PB∥DO1，再由直线与平面平行的判定可得PB∥平面ADO1；（2）连接PC1和AC交于点E，求出三角形PAE的面积，可得三角形PAC1的面积，再由等体积法求几何体P﹣AB1C1的体积．【解答】（1）证明：由已知可得，PO1⊥平面A1B1C1D1，且四棱柱ABCD﹣A2B1C1D1的侧棱与底面垂直，故PO1∥BB1∥DD6，即P、B、O1、D四点共面．可知，在四边形PBO1D中，PO1与BD的交点O为PO1的中点，也是BD的中点．又PB⊄平面ADO1，O1D⊂ADO1，（3）解：∵＝，连接PC1和AC交于点E，由△POE≌△C1CE，得OE＝，∴＝．∴几何体P﹣AB1C6的体积为．20．巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axex﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝2时，证明：g（x）+f（x）≥0．【分析】（1）求导得f'（x）＝，定义域为（0，+∞），再分a≤0和a＞0两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性，从而求极值；（2）可将g（x）+f（x）化简为2xex﹣2ln（xex）﹣2，要证g（x）+f（x）≥0，需证f（xex）≥0；利用（1）中的结论可知f（x）≥0恒成立，故而得证．【解答】（1）解：∵f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，∴f'（x）＝a﹣＝，定义域为（5，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；∴极小值为f（）＝2（lna﹣ln2），无极大值．当a≤0时，函数f（x）无极值；（8）证明：当a＝2时，g（x）+f（x）＝2x﹣2lnx﹣2+2xex﹣7x＝2xex﹣2x﹣2lnx﹣2＝2xex﹣7ln（xex）﹣2，由（1）知，当a＝2时，极小值为f（）＝f（1）＝2（ln6﹣ln2）＝0，这也是f（x）的最小值，故当a＝2时，有g（x）+f（x）≥0．21．已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．【分析】（1）设Q（x，y），由题意列式，化简得答案；（2）（i）证明AB的斜率为0时，H恰为线段MN的中点．当AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN中点的纵坐标，即可验证H恰为线段MN的中点；（ii）当AB的斜率不为0时，求出以MN为直径的圆的方程，取y＝0可得圆过定点（1，0）或（7，0），验证AB的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G（1，0）或（7，0），使得以MN为直径的圆过G．【解答】（1）解：设Q（x，y），由题意得：，化简可得动点Q的轨迹方程为：；直线PB：y＝﹣，得N（2，﹣3）．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），H（4，）．∴，．同理可得N（4，）．∴线段MN的中点坐标为（4，），即为H点．（ii）解：当直线AB的斜率不