高中数学 北师大版 必修二 平面向量及其应用 6.1余弦定理与正弦定理第3课时

《正弦定理（第一课时）》教学设计单元内容和内容解析本节主要有三个重要知识点，一是用向量导出余弦定理的基础上进而得出正弦定理，然后用余弦定理、正弦定理解三角形；二是用向量研究几何证明中的问题；三是研究向量在物理中的应用问题.平面向量及其应用属于必修课程的几何与代数部分，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.本单元借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤.向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想，对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法为学习解析几何做好准备.本单元研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何完美结合，解决问题的一把利器，因而本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳等数学思想方法，是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于以上分析，确定【单元教学重点】用向量法证明余弦定理及正弦定理的推导，及正余弦定理的应用.用向量法解决简单几何问题、物理中的应用问题的方法和步骤.二、单元目标及其解析1.教学目标①借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.②能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.③会用向量方法解决简单的平面几何问题、物理中的应用问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际生活中的作用.2.目标解析达成目标的标志：①学生能利用所学数量积等相关知识推导出余弦定理，体会到向量推导余弦定理是最简洁的；进而进一步研究三角形中边角定量关系，推导得到正弦定理，同时能应用这两个定理，解三角形和判断三角形的形状.②学生能认识到：三角形是平面几何中最基本的图形之一.能够将生活中无法直接度量的长度和角度归结到合适的三角形中，直接度量出相关的边和角，通过解三角形计算出要度量的长度和角度.③学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和角度问题，利用向量的模可以解决长度问题，从而进一步体会数形结合在解决问题的简洁性，并能够在老师的引导下，归纳向量法解决平面几何的“三部曲”.④学生能把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系转化为数学模型；同时能利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象.并引导学生归纳总结出向量法解决实际问题的方法和步骤.单元教学问题诊断分析【学情分析】学生已经学习了平面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何意义这些为进一步理解和掌握平面向量打下良好的基础，也为选择性必修中应用空间向量解决立体几何的学习做好铺垫.学生数形结合的思想认识不足，看到图形图不知道怎么下手写出式子，这也是值得我们去关注的地方.针对这些问题，我们要做好以下几点：一是加强数形结合思想的训练，让学生能够在图中找到一些有效的信息，然后根据余弦定理的特点，列出相关式子，从而解决相关问题.加强向量在几何证明中的分析.二是巩固向量的应用的训练，余弦定理的推导就是利用向量法来证明，通过学习好向量法的相关知识，以此为基础，那么余弦定理这块，学习起来会显得轻松很多.同时提高学生在物理中应用的能力.基于以上分析，确定【单元教学难点】①向量法证明余弦定理.②如何把几何问题、实际问题转化为向量问题；课时教学安排本单元建议用8课时，具体安排如下：余弦定理2课时，正弦定理1课时，正余弦定理的应用3课时，平面向量在几何、物理中的应用举例2课时.单元教学过程课时教学内容正、余弦定理及其探究过程将平面几何、三角函数、向量运算等知识联系起来，反映出模块之间、单元内部知识的交融，突出体现三角函数、平面向量的工具性价值.在上一课时学生已学习余弦定理的相关内容，能解决部分类型的解三角形问题.对于不能用余弦定理解决的解三角形问题，需要探究新的方法和定理.因此，正弦定理是对前期的延续和补充.正弦定理的发现源自测量问题，在下一课时也将利用正、余弦定理解决许多测量问题，所以本课也是对后续内容的铺垫，起到了承上启下的作用.正弦定理既是解三角形内容的补充，也是对初中定性描述三角形边、角关系的结论“大边对大角”的定量解释，同时还为判断三角形全等的条件“ASA”提供理论依据.所以，在教学过程中将密切联系初中的内容及方法，并作适当补充和拓展.课时教学目标1.通过观察、实验、猜想、验证、证明，学生能够从特殊到一般自主探索得到正弦定理；2.通过例题，学生能初步熟知正弦定理的两个重要应用.课时重点难点教学重点：正弦定理的发现、证明及其基本应用.教学难点：正弦定理的发现和探究.设计意图：从实际问题出发，激发学生学习兴趣，有效地启发学生的思维，自然而然地引出课题，顺理成章地进入教学下一环节.教学过程流程设计意图：从实际问题出发，激发学生学习兴趣，有效地启发学生的思维，自然而然地引出课题，顺理成章地进入教学下一环节.环节一：创设情境，引出新课环节一：创设情境，引出新课设计意图：以旧引新，打破学生原有认知结构的平衡状态，刺激学生认知结构根据问题情境进行自组织，促进认知发展。从直角三角形边角关系切入，符合从特殊到一般的思维过程.设计意图：以旧引新，打破学生原有认知结构的平衡状态，刺激学生认知结构根据问题情境进行自组织，促进认知发展。从直角三角形边角关系切入，符合从特殊到一般的思维过程.环节二：温故知新，提出猜想环节二：温故知新，提出猜想环节三：温故知新，提出猜想设计意图：用几何画板进行数学实验,直观地剔除掉特例中的不适应性,保留可能的共性.抽象的数学也能进行实验,激起学生的好奇心和探究欲望,使学生体会到数学系统演绎性和实验归纳性的两个侧面.环节三：温故知新，提出猜想设计意图：用几何画板进行数学实验,直观地剔除掉特例中的不适应性,保留可能的共性.抽象的数学也能进行实验,激起学生的好奇心和探究欲望,使学生体会到数学系统演绎性和实验归纳性的两个侧面.设计意图：按照由易到难，由直观到抽象的认知规律，循序渐进从几何层面到代数层面进行思考，突破难点，得出定理.环节四：证明定理，得出结论设计意图：按照由易到难，由直观到抽象的认知规律，循序渐进从几何层面到代数层面进行思考，突破难点，得出定理.环节四：证明定理，得出结论设计意图：通过例题，强化理解，引导学生自己动手解决实际数学问题环节五：运用定理，解决实例设计意图：通过例题，强化理解，引导学生自己动手解决实际数学问题环节五：运用定理，解决实例设计意图：系统回顾正弦定理及其应用，让学生体会本节蕴含的数学思想，加深对本节定理的认知.环节六：总结升华，提升素养设计意图：系统回顾正弦定理及其应用，让学生体会本节蕴含的数学思想，加深对本节定理的认知.环节六：总结升华，提升素养教学过程环节一：创设情境，引出新课引例1：施工队筹备在中湖公园的绿金湖和圆梦岛之间（图中A、B两点）建设圆梦桥时，需要测量A、B两地之间的距离，在不跨河测量的情况下，只利用皮尺和测角仪两种最常见的测量工具，你能利用所学的解三角形知识设计一个测量A、B两点距离的方案吗？（学生发散思维，老师提问发言）设计意图：引导学生从熟知的直角三角形出发，解决实际问题，为后续处理一般三角形埋下伏笔。引例2：如果测量人员任意选取C点，测出BC的距离及问根据这些数据能解决测量者的问题吗？设计意图：对于一般三角形，学生比较熟悉转化为直角三角形解决，转化化归的思想为后续正弦定理证明埋下伏笔。引例2数学模型：在中，已知,.求边长.设计意图：将实际数学问题抽象成数学模型，培养学生数学建模能力的核心素养。环节二：温故知新，提出猜想探究一：直角三角形边角数量关系问题1：在直角三角形中，各角的正弦如何表示？观察各式的特点，你有怎样的发现？在直角∆ABC中，根据正弦函数的定义：在直角∆ABC中，根据正弦函数的定义：sinA=ac发现：问题2：猜想：对于一般的三角形，关系式是否成立？设计意图：从学生最近发展区“直角三角形边角关系”切入，符合从特殊到一般的思维过程.环节三：数学实验，验证猜想探究二：斜三角形边角数量关系实验1：学生分组合作实验，验证特殊三角形设计意图：加强小组有效的合作交流，通过实际操作发现一般规律，验证前面猜想，使学生具有成就感；实验2：借助多媒体动态演示，引导发现随着三角形的任意变换，的值相等。设计意图：用几何画板进行数学实验，培养学生的观察、归纳总结能力。环节四：证明定理，得出结论问题：但是并没有经过严密的数学推导，那么如何证明这个结论呢？证明方法1——转化法引导学生利用熟悉的解直角三角形知识对锐角三角形边角数量关系进行证明，学生展示证明过程，并用不同的方法进行说明。分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：①当ABC是锐角三角形时，设边BC上的高是AD，根据任意角三角函数的定义，则有同理可得从而=2\*GB3②当ABC是钝角三角形时，学生课后完成证明.证明方法2——向量法概念生成：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即设计意图：由感性认知上升到理性推导，借助数学严谨的论证证明定理。环节五：运用定理，解决实例引导学生利用正弦定理解决例题并展示，教师展示规范的解题过程。例1.在引例中，已知,.求边长.引导学生归纳正弦的第一个主要应用设计意图：解决引例，得出正弦定理的作用，如此前后呼应，既让学生体会到了“数学来源于生活，又服务于生活”的道理，而且使学生体会到学习正弦定理的必要性和正弦定理在解决问题时突出的优越性。例2.在中，已知，，，解此三角形.引导学生归纳正弦的第二个主要应用，同时应引导学生分析本题只有一解的原因，从而提出问题：“已知两边和其中一边的对角”此类问题的解的情况.由学生课后交流、探讨。设计意图：丰富正弦定理解决问题的类型.【应用案例】1752年，两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385400km，他们是怎么做到的呢？环节六：总结升华，提升素养请借助思维导图从多知识、方法、研究路径等多角度梳理概括本节课所学内容设计意图：有助于加深学生对本节课重点核心知识和数学思想方法的把握，提升学生的数学素养。分层作业：基础巩固课本P112练习1、2拓广探索，素养提升某风景名胜区为了满足游客的需求，准备从A到C架设一条索道.由于地形的限制，无法直接测量AC距离，如何确定索道长度？请设计一个解决方案。设计意图：课堂的学习时间有限，课后的练习和探究除了能够加深对本节课重点知识的巩固，还可以让学生的学习延伸到课外，获取更多数学知识，培养学生探究的兴趣及培养数学建模的学科素养。板书设计正弦定理一、推导过程三、例题二、正弦定理四、总结