2023年抚顺市重点中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.82．若实数，满足约束条件则的取值范围为()A． B． C． D．3．已知数列满足，，则数列的前5项和（）A．15 B．28 C．45 D．664．中，角的对边分别为，且，则角（）A． B． C． D．5．已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（）A． B． C． D．6．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．907．若函数，则的值为（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：①当时，若，则；②当时，若，则；③当时，M不可能等于3；④M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知单位向量，，满足.若点在内，且，，则下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的值域为__________．12．当时，的最大值为__________.13．已知，则的最小值是_______.14．数列满足，则等于______.15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.16．设等差数列，的前项和分别为，，若，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等比数列的公比，前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．在平面直角坐标系中，直线截以坐标原点为圆心的圆所得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，，当时，求直线的方程；（3）设，是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线，分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点.（1）若，求三棱柱的体积；（2）证明：平面；（3）请问当为何值时，平面，试证明你的结论.20．已知向量.(1)若，求的值；(2)当时，求与夹角的余弦值．21．已知是同一平面内的三个向量，其中.（Ⅰ）若，且，求；（Ⅱ）若，且与垂直，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由平均数与方差的计算公式，计算90，90，93，94，93五个数的平均数和方差即可.【详解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90，93，94，93，所以其平均数为，因此方差为.故选B【点睛】本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型.2、A【解析】

的几何意义为点与点所在直线的斜率，根据不等式表示的可行域，可得出取值范围.【详解】的几何意义为点与点所在直线的斜率．画出如图的可行域，当直线经过点时，；当直线经过点时，．的取值范围为,故选A.【点睛】本题考查了不等式表示的可行域的画法，以及目标函数为分式时求取值范围的方法.3、C【解析】

根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.【详解】因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.故.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.4、B【解析】

根据题意结合正弦定理，由题，可得三角形为等边三角形，即可得解.【详解】由题：即，中，由正弦定理可得：，即，两边同时平方：，由题，所以，即，所以，即为等边三角形，所以.故选：B【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化，根据边的关系判断三角形的形状，求出三角形的内角.5、D【解析】

根据对称中心，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；将所给区间代入求得的范围，与的单调区间进行对应可得到结果.【详解】为函数的对称中心，解得：，当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时单调递增，正确本题正确选项：【点睛】本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果.6、C【解析】

由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，整理得，又因为，所以，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.7、D【解析】

根据分段函数的定义域与函数解析式的关系，代值进行计算即可．【详解】解：由已知，又，又，所以：．

故选：D．【点睛】本题考查了分段函数的函数值计算问题，抓住定义域的范围，属于基础题．8、B【解析】

作出直线，可得，，，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论．【详解】作出直线，可得，，，①当时，若，当圆与直线相切，可得；当圆经过点，即，则或，故①错误；②当时，若，圆，当圆经过O时，，交点个数为2，时，交点个数为1，则，故②正确；③当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，不可能等于3，故③正确；④的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.9、D【解析】

设，对比得到答案.【详解】设，则故答案为D【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.10、D【解析】试题分析：A中两事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中两事件既是互斥事件又是对立事件；D中两事件是互斥但不对立事件考点：互斥事件与对立事件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域．【详解】因为，所以.【点睛】本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．12、-3.【解析】

将函数的表达式改写为：利用均值不等式得到答案.【详解】当时，故答案为-3【点睛】本题考查了均值不等式，利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键.13、3【解析】

根据，将所求等式化为，由基本不等式，当a=b时取到最小，可得最小值。【详解】因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立）.【点睛】本题考查基本不等式，解题关键是构造不等式，并且要注意取最小值时等号能否成立。14、15【解析】

先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。【详解】故答案为15.【点睛】本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。15、1【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为1．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．16、【解析】分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.详解：根据题意有，所以答案是.点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)．(2)【解析】

（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.【详解】解：（1）由，得，则∴，∴数列的通项公式为．（2）由，∴，①，②①②，得，∴．【点睛】本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.18、（1）；（2）；（3）见解析【解析】

（1）利用点到直线距离公式，可以求出弦心距，根据垂径定理结合勾股定理，可以求出圆的半径，进而可以求出圆的方程；（2）设出直线的截距式方程，利用圆的切线性质，得到一个方程，结合已知，又得到一个方程，两个方程联立，解方程组，即可求出直线直线的方程；（3）设，，则，，，分别求出直线与轴交点坐标、直线与轴交点坐标，求出的表达式，通过计算可得.【详解】（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为.（2）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，①.②由①②解得，此时直线的方程为.（3）设，，则，，，直线与轴交点坐标为，，直线与轴交点坐标为，，，为定值2.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、圆的切线性质、勾股定理，考查了求直线方程，考查了数学运算能力.19、（1）4；（2）证明见解析；（3）时，平面，证明见解析.【解析】

（1）直接根据三棱柱体积计算公式求解即可；（2）利用中位线证明面面平行，再根据面面平行的性质定理证明平面；（3）首先设为，利用平面列出关于参数的方程求解即可.【详解】（1）∵三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，∴由三棱柱体积公式得：；（2）证明：取的中点，连接，，∵，分别为和的中点，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面；（3）连接，设，则由题意知，，∵三棱柱的侧棱垂直于底面，∴平面平面，∵，∴，又点是的中点，∴平面，∴，要使平面，只需即可，又∵，∴，∴，即，∴，则时，平面.【点睛】本题考查了三棱柱的体积公式，线面平行的证明，利用线面垂直求参数，属于难题.20、（1）-3；（2）－.【解析】

(1)根据向量平行的坐标关系求得(2)根据向量的数量积运算求得夹角.【详解】解(1)由题意，得．因为，所以，解得.(2)当时，．设与的夹角为θ，则.