四川省达州市开江县长岭中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省达州市开江县长岭中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（

）向左平移个长度单位

向右平移个长度单位

向左平移个长度单位

．向右平移个长度单位

参考答案：B,所以只需把函数的图像向右平移个长度单位，即可，选B.2.已知在上有两个零点，则的取值范围为(

)

A．（1，2）

B．[1，2]

C．[1,2)

D．（1，2]参考答案：C3.已知双曲线C的中心在原点O，焦点，点A为左支上一点，满足|OA|＝|OF|且|AF|＝4，则双曲线C的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C如下图，由题意可得，设右焦点为F′，由|OA|＝|OF|＝|OF′|知，∠AFF′＝∠FAO，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′+∠OF′A＝∠FAO+∠OAF′，由∠AFF′+∠OF′A+∠FAO+∠OAF′＝180°知，∠FAO+∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′．在Rt△AFF′中，由勾股定理，得，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的方程为．故选C．4.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④得，令，在同一坐标系下做出两个函数的图象，如图，由图象可知。函数有两个交点，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.

【解析】略5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=(

)A．18 B．36 C．54 D．72参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，∴S8===72故选：D【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：∵当时，，∴命题为假命题；∵，图象连续且，∴函数存在零点，即方程有解，∴命题为真命题，由复合命题真值表得：为假命题；为真命题；为假命题；为假命题.选故B.考点：1、复合命题的真假判断；2、指数函数；3、函数与方程.7.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当t=时，|m|取得最小值，则向量a,b的夹角为A.

B.

C.

D.

参考答案：C略8.已知直线：与直线：，记.是两条直线与直线平行的（

）A.充分非必要条件

B.必要非充分条件C.充要条件

D.既非充分又非必要条件参考答案：B.9.设全集，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（）A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]参考答案：A【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∴A为锐角，可得A=，∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=（x＞0），f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，则fs（x）在[，1]上的最小值是．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】易知f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；从而依次代入化简即可．【解答】解：f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；f1（x）=f（x）=，在[，1]上递增，故f1（x）min=，f2（x）min=f（f1（x）min）=f（）=，f3（x）min=f（f2（x）min）=f（）=，f4（x）min=f（f3（x）min）=f（）=，f5（x）min=f（f4（x）min）=f（）=．故答案为：．12.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(秒)的函数，则d=______________其中．参考答案：．试题分析：由题意知，秒针转过的角度为，连接AB，过圆心向它作垂线，把要求的线段分成两部分，根据直角三角形的边长求法得到．故应填．考点：在实际问题中建立三角函数模型．13.若直角坐标平面内的两点、同时满足下列条件：

①、都在函数的图象上；②、关于原点对称.

则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对）.已知函数则此函数的“友好点对”有_____对。参考答案：1略14.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为

。参考答案：答案：515.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①②④【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形．【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0．（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f（x+6）=f（x），得周期为6，从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f（3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．②：由（1）知f（x+6）=f（x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．④：f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．故答案为：①②④．16.已知是夹角为的两个单位向量，向量，，若，则实数k的值为____．参考答案：【分析】由可得关于的方程，解出即可.【详解】，因为，，所以，所以，填.【点睛】本题考查共基底的向量数量积的计算，依据数量积的运算律运算转化为基底向量的性质即可，这类问题是容易题.17.在各项均为正整数的单调递增数列的值为

。参考答案：56三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成如表所示的频率分布表．

组号分组频数频率第一组[90，100）

50.05第二组[100，110）

a0.35第三组[110，120）300.30第四组[120，130）20

b第五组[130，140）100.10合计n1.00（1）求a，b，n的值；（2）若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率和频数的关系，依题意，得a，b，n的方程，解得即可，（2）根据分层抽样，求出第三，四，五组抽取的学生的人数，然后一一列举取所有满足条件的基本事件，利用概率之和为1，求满足条件的概率．【解答】解：（1）依题意，得，解得，n=100，a=35，b=0.2（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取名，名，名．第三组的3名学生记为a1，a2，a3，第四组的2名学生记为b1，b2，第五组的1名学生记为c1，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c1}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，c1}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c1}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．其中第三组的3名学生a1，a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{b1，b2}，{b1，c1}，{b2，c1}．故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为．【点评】本题考查了频率与频数的关系以及分层抽样和古典概型的概率的求法，属于基础题．19.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（﹣4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为r．（1）求圆M的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），由已知得，由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，由此能求出圆M的方程．（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r＞0恒成立，由此能求出存在两条直线y=3和4x+3y﹣9=0与动圆M均相切．解答：解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则kPA=，x≠﹣4，kPB=，x≠4，因为动点P与A、B连线的斜率之积为﹣，所以，化简得：，所以点P的轨迹方程为（x≠±4）…（6分）（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，﹣2），A（﹣4，0），所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，…（8分）设M（a，2a+3）（a＞0），则⊙M的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a﹣3）2=r2，因为圆心M到y轴的距离d=a，由，得：a=，…（10分）所以圆M的方程为．…（11分）（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，当定直线l的斜率不存在时，不合题意，…（12分）当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，则对任意r＞0恒成立，由|k×﹣r﹣3+b|=r，得：（）2r2+（k﹣2）（b﹣3）r+（b﹣3）2=（1+k2）r2，…（14分）所以，解得：或，所以存在两条直线y=3和4x+3y﹣9=0与动圆M均相切．…（16分）点评：本题考查点P的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，考查当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20.（本小题满分