吉林省长春市东北师范大学附属2022-2023学年高一上学期阶段验收考试数学解析

2022-2023学年东北师大附中高一年级（数学）科试卷上学期阶段验收考试考试时间：90分钟试卷满分：120分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.将－1485°化成的形式是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由或转换．【详解】因为，，，所以－1485°可化成．故选：D．2.下列结论不正确的是（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切的正负性，结合角所在的象限逐一判断即可.【详解】，第二象限角，，因此A正确，为第三象限角，，，因此B、C正确，为第三象限角，，因此D错误．故选：D3.已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（）A.1B.4C.1或4D.2或4【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，所以扇形的中心角的弧度数是或.故选：C4.如果,那么的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由诱导公式直接求解即可.【详解】由得，，故选：B．5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角即，再利用诱导公式求解即可.【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得；；所以，即.故选：A.6.函数的单调增区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域即可求解.【详解】由对数函数在定义域为增函数，所以只需求出在定义域内的增区间即可.的单调增区间即为的减区间，且，即，令,解得，所以函数的单调递增区间为.故选：C.7.已知函数，，若对，恒成立，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，函数在时取最大值，所以，根据即可求得的值.【详解】由函数对，恒成立可知函数在时取最大值，即所以，，即又因为，所以时，故选：D8.若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.【详解】由，知：函数是上的增函数，由，即，由题设：，∴，即有，∴，即，∵为锐角﹐则，∴，则的取值范围是.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，则（）A.B.C.D.角可能是第二象限角【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因，则是第一象限或者第四象限角，当是第四象限角时，，A不正确；，B正确；，C正确；因是第一象限或者第四象限角，则不可能是第二象限角.故选：BC10.下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，故选：AC11.已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由题意可知，利用特殊值可以排除AD选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC即可.【详解】是第一象限角，且，当时，此时，所以A错误；易知，，所以，又因为，即，所以，即C正确；又因为，所以，因此，即，故B正确；取，则，所以D不成立.故选：BC.12.设函数，对关于的方程，下列说法正确的是（）A.当时，方程有3个实根B.当时，方程有5个不等实根C.若方程有2个不等实根，则D.若方程有6个不等实根，则【答案】ABD【解析】【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究的根的个数，对选项逐一判断即可.【详解】由函数可知，图象如下：对于A，当时，方程即为，即，所以而，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A正确；对于B，当时，方程为，即解得或；时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B正确；对于C，令，则方程等价成；由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，①方程只有一根，且则，即或由A可知，时不合题意，舍去；当时，此时，方程只有一根，不合题意；②方程只有一根，且，由①知，此时也不符合题意；③方程有两个不相等的实数根，且或或令若，需满足解得，不合题意；若，需满足，解得,即若，需满足，解得，不合题意；综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C错误；对于D，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且；则需满足解得即可得；故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范围，进而确定参数的取值范围.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.已知，则______．【答案】##【解析】【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，以及“1”的妙用即可将转化为的形式，代入即可求得结果.【详解】由题意知，又因为，将上式分子分母同时除以得代入即可得，故答案为：14.函数，的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函数的关系将函数变形为，再根据角的取值范围和二次函数的性质即可求解.【详解】因，又因为，所以，所以当时，函数取最大值，故答案为：.15.设函数的最大值为，最小值为，则=___________.【答案】2【解析】【详解】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.16.对于函数，，设，，若存在，，使得，则称，互为“零点相邻函数”．若与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.【详解】解：函数是上的单调递增函数，且，据此可知，结合“零点相邻函数”的定义可得，则，据此可知函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理可得，很明显函数在区间上单调递增，且，，则函数的值域为，据此可知实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知.（1）化简；（2）若是第四象限角，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；（2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及，由（1）的结果可得答案.【小问1详解】根据诱导公式可得：,所以.【小问2详解】由诱导公式可知,则由可得,又是第四象限角,所以,所以.18.设函数的最小正周期为，且.（1）求的表达式；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据最小正周期公式算出，再根据，解方程得，进而得出的表达式（2）根据，得到，再根据余弦函数的基本性质求出的取值范围.小问1详解】由最小正周期，得，∵，∴.∴.【小问2详解】由（1）知，，∵，∵，∴，∴的取值范围为.19.已知定义在上的奇函数，在时，且．（1）求在上的解析式；（2）若，常数，解关于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数定义以及函数在上的解析式，结合即可写出在上的解析式；（2）将不等式转化成，再利用换元法以及，解出的取值范围即可得不等式的解集.【小问1详解】∵是上的奇函数且时，，∴当时，，又由于为奇函数，∴，∴，又，，∴，综上所述，当时，【小问2详解】时，，当时，，，即，所以，设，不等式变为，∵，∴，∴．而当时，，且，又在上单调递增，所以，所以，∴，即所以．综上可知，不等式的解集是．20.已知函数．（1）若函数有唯一零点，求实数的取值范围；（2）若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将函数有唯一零点转化成方程有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可；（2）由复合函数单调性可知，函数为上的减函数，将恒成立转化成在上恒成立，讨论对称轴与区间的位置关系，求出其在区间上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正实数的取值范围.【小问1详解】函数有唯一零点，即①有唯一零点，即有唯一零点，当时，，解得，符合题意；当时，方程为一元二次方程，其当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；当时，，方程有两个不等的实数根，；若为①解，则，解得；若为①的解，则，解得；要使①有唯一实数解，则．综上，实数的取值范围为．【小问2详解】函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数，由复合函数性质知为上的减函数，，，不等式转化为，即转化为，即令，，即．二次函数对称轴