高中数学基础知识汇总

集合

1.集合：一类两本对象的全体，其中每一个对象称为乏本，特点：元素具有确定

性、互异性、无序性。元素可以是数、点、线、函数、汽车等等。

2.集合的表现形式：①A、B、C...,②列举法（a,b,...）;③描述法（元素一般形

式I元素满足的性质）;④图形一封闭曲线围成的图形（韦恩图）、具体图形（如点

的集合）；⑤区间：连续的部分实数构成的集合一{x|a〈x〈b}=（a,b）、{x|a<x<

b}=[a,b]、{x|x<b}=（-°°,b）.

3.元素与集合的关系：a€A、aeA两者有且只有一个正确。

4.集合与集合的关系：

A是B的子集（A=B）oVa£A,有a£B,

A是B的真子集（AuB）=AqB且mb£B使b史A=AqB且ArB,

A不是B的子集oma£A使a史B,

A=BoA=B且B=Au>A的元素与B的元素全相同，

含有n个元素的集合的子集个数为,真子集个数为。

5.集合的运算与性质

交集并集补集

定义ADB=AUB=

图解

定义

交换律：AnB=BnA

结合律：(ADB)nC=AI~l(BPC)

性质

族nA=°,AnCfjA=°,

AnBcA,APlBoB

AD(BUC)=(AAB)U(ADC),AU(BDC)=(AUB)A(AUC),

综合

Q(API8)=CA\JCB,CU(AUB)=QAPlC.B

性质VL!b

6.特殊集：

空集：没有元素的集合，常记为。，可以说空集0=0吗？

全集：所有被研究对象的全体，常记为U,全集是一个相对的概念。

复数集：C,实数集：R,有理数集：Q,整数集：Z,自然数集：N。

7.集合思想：具体体现在

①逻辑关系一“或、且、非”与“并、交、补”的对应关系，

②补集一正难则反（正面突破困难，考虑从反面即对立面入手）、反证法，

③概率一事件的关系及运算、互斥事件至少有一个发生的加法公式、对立事件的概

率计算。

想一想:

⑴已知集合人=卜卜1<%<5},3=>oy»在集合A中任取一个元素》,则事

件“xeAAB”的概率是。

(2)A={x|x+l>0},B={x|x2<2x},若全集U=A,则(\B=;若全集U=R,则

=&(AUB)=。

参考答案：⑴L(2)(-1,0]U|2,+8),(-8,-1|

3

Zr/r日xrm/-o

间易逻辑

1.命题：能够判断真假的陟毛句。判断正确的命题称为身命题，判断不正确的命

题称为罩■命题。命题只有两种结果：正确与不正确，两者中有且只有一个。

2.四种命题及其关系：

将某一命题称之为原命题，形式上记为“若p,则q"（注：任何一个命题都可改写

成这种形式，其中P是命题的条件，q是命题的结论），则有：

结论：一个命题与它的逆否命题等价，即两者要么同真，要么同假；一个命题的逆

命题与它的否命题等价，即两者要么同真，要么同假。简而言之，互为逆否的两个

命题真假性一致。

作用：当判断或证明一个命题的真假性困难时，可以改而去判断或证明该命题的逆

否命题！

想一想：

⑴试判断命题“x、y€R,若x+y44或xy44,则x42或y42”的真假。

⑵命题“若贝的逆否命题是

A.若火》1,贝Ux4-1或x》lB.若一则/<1

C.若x<-1或x〉1,则（>1D.若x4-1或x》1,则X，1

⑴真，⑵D

3.简单的复合命题：

①“或”型复合命题：由两个简单命题p、q通过“或”联结构成，即“P或q”，

记为apVq\命题p、q中有一为真命题，则命题“pVq”是真命题；命题p、q

全假，则命题“pVq”是假命题。

②“且”型复合命题：由两个简单命题p、q通过“且”联结构成，即“p且q”，

记为upAq\命题p、q中有一为假命题，则命题“p/\q”是假命题；命题p、q

全真，则命题“p/\q”是真命题。

③“非”型复合命题：否定命题p的结论但不否定命题p的条件构成的新命题称

为命题p的否定(注意与一个命题的否命题的区别)"叨“「p"。钝“p”与“「p”，

“P”真则“「P”假"P”假则“「P”真。

4.全称量词与存在量词：

全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给、任意。

存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有■—个、某个。

全称命题：含有全称量词的命题。

全称命题p的形式是：Vx€M,p(x),则-1P的形式是。

特称命题：含有存在量词的命题。

特称命题P的形式是：3xo€M,p(x0),则-1P的形式是.

想一想：

(1)p：相似三角形的对应边相等，Q：2<2,试判新“pVq”、“pAq"、“1p”、

q”的真假。

⑵已知命题p、q,“非p为真命题”是“P或q是假命题”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件

⑶设/(x)J_j+3(x〉2),g(x)=a\a>l,x>2).

①若lx。G(2,4-oo),使/(%)=加成立，则实数m的取值范围为;

②若V玉£(2,+oo),弱£(2,+00)使前区)=8。2)，贝U实数a的取值范围

为O

⑷已知命题p:对任意XER,有cosxWl,则()

A.-ip：存在XE/?,使cosxNlB.—ip：对任意XER,WCOSX>1

C.可：存在XER,使COSX>1D.—1P:对任意xeR,有cosx〉l

参考答案：⑴真、假、真、假，⑵B,⑶①[3,+8),②(4)C

5.充要条件:

①命题“若p,则q”是真命题，即由条件p可以推出条件q,则称p是q的充分条

件，同时，称q是P的必要条件。记为“P=q”。

判断方法：从命题角度判断，看“若P，则q”的真假；从集合角度判断：p对应的

集合A是否是q对应的集合B的子集。

②“pnq”且“qnp”，则称p是q的充要条件，记为“poq”，称“P与q箸介\

判断方法：从命题角度判断，看“若P，则Q”与“若q,则p”的真假；从集合角

度判断：P对应的集合A是否等于q对应的集合B。

想一想：

⑴若函数f(x)、g(x)的定义域都是R,贝M(x)>g(x)(x£R)成立的充要条件

是

A.有1个x£R,使f(x)〉g(x)B.有无数个x£R,使f(x)〉g(x)

C.任意x£R,有f(x)>g(x)+lD.R中不存在x,使f(x)4g(x)

⑵已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那

么P是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件

⑶在△ABC中，sinA〉sinB是A>B的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件

⑷已知条件p:Ix+11>2,条件q：x>a,且-1P是的充分不必要条件，

则。的取值范围可以是

A.a>1;B.a<1；C.a>-1;D.«<-3；

参考答案：⑴D,(2)A,(3)C,(4)A

概率统计

1.计数方法：

①分类加法计数原理：完成一件事件有〃类不同的方案，在第一类方案中有町种不

同的方法，在第二类方案中有啊种不同的方法，……，在第〃类方案中有加“种不

同的方法，则完成这件事情，共有N=种不同的方法。分

类相加，每一类中的每一种方法都可单独完成所做的事，任何一种方法属于且只属

于其中的一类。

②分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成〃个不同的步骤，完成第一步有g种

不同的方法，完成第二步有啊种不同的方法，，完成第〃步有加“种不同的方

法，那么完成这件事情共有"=种不同的方法。分步相乘，步步相

扣，每步中的任何一种方法都不能单独完成所做的事，必须完成所有步骤才可完成

所做的事。

③排列

排列：从〃个不同的元素中取出相（加4”）个元素，按照一定的顺序排成一列，

叫做从〃个不同的元素中取出m个元素的一个排列。从〃个不同的元素中取出

m（w<〃）个元素的不同排列的个数叫做从〃个不同的元素中取出机个元素的排列

数，用A；；表示，A：=。

全排列：〃个不同的元素全部取出按照一定顺序排成一列，叫做“个不同元素

的一个全排列，全排列个数为A；==。规定0!=.

④组合

组合：从八个不同元素中取出加（加4“）个元素不管顺序构成一组叫做从〃个不

同元素中取出加（次＜ri）个元素的一个组合。从〃个不同元素中取出加（加（几）个元

素不同组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出机（〃?4〃）个元素的组合数，用表

Am

示。C：=（"）==.C：=.

性质：①C："=；②c：\=+.

⑤排列组合问题的常见解法主要有以下几种

特殊元素优先安排；合理分类与准确分步；正难则反、等价转化；定序问题除

法；相邻问题捆绑；不相邻问题插空；“小集团”排列问题中先整体后局部；分

排问题直排；构造模型；条件多数量少的用穷举法。两种思路：直接法，间接法。

2,二项式定理

①（a+b）"=;右边的多项式叫做（a+b}1'

的二项展开式，二项展开式中共有？）|项，展开式第r+1项配1=称

展开式的通项，其中称为二项式系数。在二项式定理中，如果a=l,b=x,得

（1+x）"=.若a=1,b=—x,得（1—x）"=.

②C：+c；+c；+-+c：=-------------，C：+C；+C'…+cf=-------------

C；+C；+C；j…+或=---------

③“特殊值法”或称“赋值法”是解决二项式某些项的系数和的一个重要方法。

二项式定理通常用于解决多项式计算、乘方近似值、整除与余数问题、组合数计算

等。

想一想：

⑴某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋

友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

A.4种B.10种C.18种D.20种

(2)5名学生与两名教师站成一排照相，两名教师之间恰好有两名学生的不同站

法有

A.120种B.240种C.480种D.960种

⑶有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、

3、4、5、6、7,从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互

不相邻的取法种数为

A.42B.48C.54D.60

2

(4)(1-2x)"=a0+aix+a2x+•••+anx*,且q+2a,+...+na“=4024,贝[

n=.

⑸设a、b、加为整数(7>0),若a和b被加除得的余数相同，则称a和匕对模m

同余.记为a三。(mod血。已知a=l+C：o+Cgo・2+00-22+...+C^-2'9,。三a(modlO),

则。的值可以是

A.2015B.2011C.2008D.2006

=

(6)若(x+1)，=+a](x-l)+”2(x-l)2+...+“5(X-1)5->贝'Ia0

A.32B.1C.-1D.-32

⑺若二项式[3/一5](〃eN*)展开式中含有常数项，则〃的最小取值是

A.5B.6C.7D.8

⑻代数式(4--2x-5)(x2+1)5的展开式中，含X4项的系数是

A.-30B.30C.70D.90

参考答案：⑴B,⑵D,(3)D,(4)2012,(5)B,(6)A,(7)C,(8)A

3.概率

①事件、事件间的关系、事件的运算

随机试验：具有以下特征的试验：在一组不变的条件下，试验可以重复进行多

次；每次试验的结果不尽相同，试验前无法肯定出现哪个结果；所有可能的试验结

果事前可以明确知道。

必然事件：在随机试验规定的条件下必然发生的事件，通常记为。(相当于集

合中的全集)；

不可能事件：在随机试验规定的条件下一定不会发生的事件，通常记为。(相

当于集合中的空集)；

随机事件：在随机试验规定的条件下可能发生也可能不发生即具有不确定性的

事件，通常用字母A、B、C、…表示。

事件间的关系及其运算：

⑴包含关系：A发生，则B发生。称AqB。

⑵相等关系：A=BoA发生当且仅当B发生。

⑶并事件(和事件或称事件的并、和)：C=AUBo事件C发生当且仅当事件A、B

中至少有一个发生o事件A发生，或事件B发生。

⑷交事件(积事件或称事件的交、积)：C=AAB^C=ABo事件C发生当且仅当

事件A、B同时发生=事件A发生且事件B发生。

⑸互斥事件(又称互不相容)：A、B互斥u>ADB=0或AB=°u>事件A、B在一

次试验中不可能同时发生。当A、B互斥时，事件AUB记为A+B。若A[(i=1,2,...,n)

任意两个互斥，则称两两互斥。

⑹对立事件：A与B对立oA与B互斥且在一次试验中必有一个发生，即AB=0,A

+B=Q。记A=B,A=5Q

⑺相互独立事件：A与B相互独立=事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概

率没有影响=P(AB)=P(A)P(B)。若A与B相互独立，则入与B、A与限入与

8也相互独立。

②概率：事件A发生的可能性的大小，或事件A在n次重复试验中发生的频率的稳

定值，事件A在n次重复试验中发生的频率指的是其出现的次数与总次数之比，它

是不确定的、随机的，而A的概率是确定的，有时也用频率作为A的概率的估计值。

事件A发生的概率通常记为：P(A),实际上是一个集合函数，即定义域是事件的集

合，值域是一些实数的集合。

③概率性质：

(l)P(A)£[0,1].(2)P(Q)=1,P(“)=0。

P(A)=1,事件A是否一定是必然事件？P(A)=0,事件A是否一定是不可能事

件？

④常见概率

古典概型：试脸产生的基本事件的个数是有限的；各个基本事件发生或出现的

机会是等可能的。求法：所有可能结果的集合记为Q,n(Q)表示。中元素的个数,

n(A)表示A中元素的个数，则P(A)=。

几何概型：试验产生的基本事件的个数是无穷的；各个基本事件发生或出现的

机会是等可能的。求解几何概率的一般步骤：判断问题是否是几何概型-基本事件

归结为某种等可能性的几何元素T确定几何图形中的有关量T计算事件的概率：P

(A)=。

条件概率：设A、B是两个事件，且P(A)>0,称P(B|A)=也2为在事

尸⑷

件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。

求法：利用古典概率或几何概率算法计算；利用上面定义计算。

条件概率的性质

范围：04P(B|A)<1;

加法公式：B、C互斥，贝4P(BUC|A)=P(B|A)+P(CIA)。

想一想：

⑴为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机

装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为

3133八4850

AA.——BD.——C.——Dn.—

81818181

⑵小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若

此点到圆心的距离大于4，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于工，则去打

24

篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为。

⑶从1,2,3,4,5中任取2各不同的数，事件4="取到的2个数之和为偶数”，

事件分“取到的2个数均为偶数”，则夕(6|4)=

⑷甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号

景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点

的概率是

参考答案：⑴D,⑵巴，⑶B,(4)D甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共

16

有4(种)；最后一小时他们同在一个景点的情形有•父x6(种)，所以

丁丁不

⑤概率运算

加法公式：A、B互斥，则A、B中至少有一个发生的事件的概率为„

若A、B对立，则P(A)+P®=P(A)+P(Q=_,即P(A)=。

问题：P(A+B)=P(A)+P(B),事件A、B是否一定是互斥事件？

乘法公式:A、B相互独立,则A、B同时发生的事件的概率为„

想•一想：

⑴甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获定军，乙队

需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

⑵如图，用K、4、三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且4、

4至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、4、4正常工作的概率依次为

0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为

~C3J~

------

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

了参考答案：⑴D,⑵B

⑥随机变量及其分布

随机变量：随着手擎转界变化而变化的变量，相当于函数中的乌率掌，其中试

险结果相当于函数中的自零拿。随机变量常用字母X、Y、八”.表示。

离散型随机变量：所有值可以——列出的随机变量。

从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数是一个离散型的随机变

量，其中(X=0｝表示的事件是“"，(X=1｝表示的事件是

“"，(x=2｝表示的事件是“"，(x=3｝表示的事件是

“"，事件“第一与第三个路口碰到红灯，其它路口碰到绿灯”(填

“能”或“不能”)用该随机变量表示。

离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X可能取的不同值为x“x2,

Xi,xn,X取每一个值Xi(i=1,2,n)对应事件的概率P(X=Xi)=Pi,则表

格

X•・・...

XiX2XiXn

PPiP2PiPn

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列，也可简记为P(X=xJ=Pi(i

—1,2,•■,5n)。

性质：⑴Pi>0(i=1,2,n),⑵fPj=1。

常见离散型随机变量分布列

X01

p1-pp

具有上表形式的随机变量X的分布列称X服从两点分布或0-1分布、伯努利分布,

称P(X=1)=p为成功概率。

⑵在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

P(X=k)=C",k=0,1,2,m,即

X01・・・m

p

其中m=min｛M,n｝,且n&N,M<N,n,M,N£N',具有上表形式的随机变量X服

从超几何分布。

⑶在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A

发生的概率为p,则P(X=k)=,k=0,1,2,n0称随机变量

X服从二项分布，记为X~B(n,p)0

⑦离散型随机变量X的均值或数学期望、方差、标准差

离散型随机变量X的分布列

X.・・•・.

XiX2XiXn

PPiP2PiPn

则称E(X)=xm+x2P2+…+xm为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型

随机变量取值的十丝水平。(x「E(X))z描述了Xi(i=1,2,n)相对于均值E

(X)的偏离程度。而D(X)=£(七-E(X))2p,为这些偏离程度的加权平均，刻画

/■=1

了随机变量X与其均值E(X)的干曲像串程度，称D(X)为随机变量X的方差，

其中"D(X)称随机变量x的标准差。方差与标准差反映了随机变量取值便厚于为

值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。

结论：

⑴若Y=aX+b,其中a、b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且P(Y

=ax；+b)=P(Xi),E(Y)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).

⑵X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(1-p)0

(3)X-B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p)o

想一想：

⑴某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假

定该毕业生得到甲公司面试的概率为得到乙公司面试的概率为P,且三个公司

3

是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若

P(X=0)=—,则随机变量X的数学期望E(X)=。

⑵将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率

为___。

参考答案：⑴2,⑵U

332

4.统计

①随机抽样

在一条生产瓶装牛奶的流水线上，你怎样确定所生产的牛奶是否符合食用标准？

A.决定抽样方法

简单随机抽样：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作

为样本（n《N）,每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等的抽样方法。

抽签法（抓阉法）：个体编号一搅拌均匀一连续抽取n次一得到样本容量为n

的样本。

随机数法：个体编号一产生随机数表一随意选定表中某个数字一确定读数规则

一读取数字（根据编号确定是一位数一位数地读、二位二位数地读还是三位三位数

地读…）一在编号内的数取出但不重复直到满足样本容量为止。

系统抽样：从容量为N的总体中抽取容量为n的样本：个体编号一确定分段间

隔k,对编号分段，当W是整数时，k=当次不是整数时，采取等可能剔除的

nnn

方法剔除部分个体M,获得整数k=心且T在第1段用简单随机抽样确定第一个

n

体编号/（/4k）-按照一定规则抽取样本：通常是将/加上间隔k得到第2个个体

编号/+k,第3个个体编号，…（这种方式也称等距抽样）。

分层抽样：在抽样时，将总体分成其下冬冬的唇，按照一定的出军，从各层抽

取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点、适用范围:

抽样方法不同点共同点适用范围

逐个不放回抽取每个个体被抽到总体中个体数

简单随机抽样的机会均等较少

先分段，第一段中运用简单随总体中个体数

系统抽样机抽样确定一个编号，后续编较多

号等间隔确定。

按个体差异分先分层，在每层总体中个体差

分层抽样中可用简单随机抽样或系统异明显

抽样抽取样本

B.决定如何处理从实践中所获取的数据？

频率分布直方图

⑴作法：求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）-决定组距与组数（无固定

标准，分组力求合适）-将数据分组一列频率分布表一画频率分布直方图（纵轴表

示频率/组距，横轴表示收集的数据）。

⑵频率分布直方图的性质：

小长方形面积=组距X（频率/组距）=频率；

各小长方形的面积言却=「

⑶频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点。随着样本容量

的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一

条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线。总体密度曲线反映了总体在各个

范围内取值的百分比，总体在区间）内取值的百分比=横轴、、以及总

•••（a,b•・・x・=♦a・♦x・=b♦

体密度曲线围成图形的面积，夹在总体密度曲线与横轴之间部分的面积=1。

频率分布折线图是随着样本容量、组距的变化而变化，是不确定的、随机的，

总体密度曲线是固有的、确定的。

⑷样本数据除了利用频率分布表、频率分布直方图来反映数据分布特点外，还有一

种常用表示数据的图一一茎叶图：根据数据特征确定茎的主干（中间的一列数：可

能是数据中的十位数字、或百位与十位数字等等）一叶（个位数字），适用范围：

样本数据较少。

②样本的数字特征

⑴众数：在一组数据中，出现次数最多的数据；在频率分布直方图中，叠再的

小长方形下端的中点横坐标是众数的估计值。

⑵中位数：将一组数据按大小依次排列，处在中间位置的一个数据或最中间两个数

据的平均数；在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的白作狗羊。

⑶平均数：即样本数据的算术平均数，指的是4，X+々+…+x"；在频率分布直

n

方图中，平均数的估计值=频率分布直方图中每个小矩形的面积X小矩形底边

•・♦・♦・♦・♦・・・

中点的横坐标之和。

1———

⑷样本数据的方差：S2=—[（X]-x）2+（x-%）2+---+（x-x）2],其中S称为标准差。

n2n

方差或标准差与样本数据的关系是：方差或标准差的大小刻画样本数据的分散程度

的大小，方差或标准差越小，说明样本数据越集中；方差或标准差越大，说明样本

数据越分散。方差或标准差=0反映样本数据全都相等。

对于一个固定的总体而言，不同的样本可能产生不同的众数、中位数、平均数、

方差、频率分布直方图。如果获取的样本科学合理，那么通过该样本可以对总体作

出正确的估计，否则就有可能歪曲事实。统计的基本思想就是利用样本的特征来反

映总体的特征。

③正态分布

为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况,

根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示。根据此图，画出频率分布折

线图：

当样本容量增大，组数增加，频率分布折线越来越趋近于一条光滑曲线——总体密

”)2

度曲线，这条曲线就是或近似地是函数%,,b（%）=2-e,%G(—8,+oo),

q2兀o

其中实数〃、。（。>0）为参数，我们称％“（X）的图像为正态分布密度曲线，简

称正态曲线。这里的随机变量X在（a,b]的概率P（a<X<b）«[/“（%）公，称随

机变量X服从正态分布，正态分布完全由参数〃、o■确定，X服从正态分布记为X~

N（〃、cr2）o正态总体几乎总取值于区间（〃-3cr,〃+3cr）之内，而在此区间

以外取值在一次试验中几乎不可能发生，因而通常认为服从于正态分布N（〃、cr2）

的随机变量X只取（〃-3CT,〃+3。）之间的值，简称为3。原则。

正态曲线的特点

位于X轴上方，与X轴不相交。

关于直线X=〃对称。

1

在X=〃处达到峰值

曲线与x轴之间的面积=1。

④变量间的相关关系与最小二乘法

常见的两个变量间的关系有两类，一类是函数关系，反映的是两个变量间的确

本性关系；另一类是棉毛关系，它反映的是两个变量间的不确定性关系。怎么样研

究两个变量间的相关关系？通常做法是：

作出这两个变量以其中一个为横向变量，另一个为纵向变量画出卷石、图；若这

些点散布在从有下到有上的区域，两个变量的这种相关关系称为年相关；若这些点

散布在从车上到有下的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关。

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线上，则称这两个变量具有线

性相关关系，这条直线称为线性回归直线，这条直线的方程称为线性回归直线方程。

线性回归直线方程的求法：画（X”yj（i=l,2,n）散点图一设回归方程（

=〃*+&1计算》，yfa、b分别是使Q（a,/3）=Z（y-为-a）,取最小值时a,

i=l

夕的值（这种求使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法称为最小

AA_A_

二乘法）-8=上!F----------,a=y-bX-回归直线方程。从最后结果看，

f（占—x）2

i=\

任何回归直线方程都经过点,它称之为挣冬点的巾，斗这种对具有

线性相关关系的两个变量进行统计分析的方法称之为回归分析。

⑤怎样判断求得的线性回归直线能否较好地对实际进行评估？

独立性检验与回归分析

A.在线性回归分析中，两个具有线性相关关系的变量对应的样本点不共线，

而是散布在某一条直线的附近(线性回归直线)，因而两个变量的这种相关关系可

用线性回归模型]'e是随机变量，称为随机误差，D(e)=/

E(e)=0,O(e)=b2

A

越小，用bx+a预报真实值y的精度越高，e是引起预报值y与真实值y之间存在

误差的原因之一。对于样本点(X[,y)、(x2,y?)、…、(xn,yj而言，随机误差e；

AAAA

=y；-fax；-a,其估计值<=y：-%=r-6x：-a(i=1,2,,n)称为相应于点

(X：,yj的残差，以残差为纵坐标，样本编号或X：或，为横坐标描点作图(这样的

点称为残差点)，这样作出的图形称为残差图，残差点比较均匀地落在水平的带状

区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型按拟合精度越

£(必-%)2

高，回归方程的预报精度越高。还可用R2=1-：']来刻画回归效果,R2越

£(力->)2

r=l

大，模型的拟合效果越好；X越小，模型的拟合效果越差。

B.假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为｛x”x?)和y，yj,其样本

频数表(称为列联表)为

YiY2总计

X1aba+b

X2Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

该表称为2x2列联表,n=a+b+c+d为样本容量，K2=------1)-------,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

利用随机变量K?来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验，其具体做

法是：根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上

界a，然后查表确定临界值kL利用K?公式，计算随机变量不的观测值k-若k)

k0,就推断“两个分类变量之间有关系”，该推断犯错误的概率不超过a;否则，则

认为在犯错误的概率不超过a的前提下推断“两个分类变量之间为关系”。

想一想：

⑴在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在

规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10

天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

A.甲地：总体均值为3,中位数为4

B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3

D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

⑵已知随机变量J服从正态分布N（2,a2）,且P（J<4）=0.8,则P（0<

<2）=

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

⑶某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元）4235

销售额y（万元）49263954

根据上表可得回归方程V=最+。中的A为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时

销售额为

A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元

⑷通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联

表：

男女总计

爱好402060

不爱好203050

总计6050110

由K'算得KJ业140"一堂0广.78

(a+b)(c+d)(。+c)3+d)60x50x60x50

附表：

0.0500.0100.001

P[K2>k)

k3.8416.63510.828

参照附表，得到的正确结论是

A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

参考答案：⑴D,(2)C,(3)B,(4)C

函数、导数、定积分

1.函数的基本概念

⑴函数：设A,B是午宇的续集，如果按照某种至冬的芍生卷系f,使对于集合A中

的住营一个数x,在集合B中都有喉：的数f(x)和它对应，那么就称F:AfB为从集

合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x€A。瓣x叫做自变量,x的取值范围A叫

做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(f(x)Ix£A}

叫做函数的值”显然，值域是集合B的子集。定义域与值域是函数中两个变量的

取值范围。

⑵函数的三要素：、和.

⑶相等函数：如果两个函数的相同，且完全一致，则称这两个函数

相等。

2.函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法。

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;

图像法：影图像表示表示两个变量之间的对应关系；

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

3.映射的概念

设A、B是两个牛辛集合，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的

件电一个元素x,在集合B中都有隼:确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A

-B为从集合A到集合B的一个映射。

由映射的定义可看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射。

4.求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况:

①f(X)是由解析式给出的，则函数的定义域是使数学式有意义的实数集合。

这时通常要从下列角度找出使函数式有意义的条件：

出现分式，则分母不等于0;出现偶次根式，则根号内的式子大于或等于0;出现

对数式，则真数大于0,底数大于0且不等于1。等等。

②f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题。

③f(x)是复合函数形式给出的，已知函数y=f(x)的定义域为[a,b],求函数y=f

[g(x)]的定义域，是指求满足a《g(x)《b的x的取值域范围；而已知y=f[g(x)]

的定义域是[a,b],求y=f(域的定义域,指的是函数y=g(x),x£[a,b]的值域。

研究函数遵循一个优先原则：”先考察尽必”

5.分段函数：指在定义域的不同部分，有不同的解析式。注意：分段函数是二个

函数，分段函数的定义域是各笆定义域的不彖，值域是各段值域的学名。分段函数

画图一般分段画，求分段函数的函数值要先搞清自变量在哪一段，再代那一段的表

达式。

6.函数的单调性

⑴定义:对于函数f(x),x£/,f(x)是/上增函数(或称在/上单调递增)u>Vx”

x2€I,且X!<X2,老隋oVX,,x2€7,且x产x2,有或.

对于函数f(x),x€Z,f(x)是/上减函数(或称在/上单调递减)oVx),x2

€I,且xKxz,都有0VX”x2€I,且x苫Xz,有或。

f(x)是/上增函数，或减函数，统称f(x)是/上单调函数，或者说f(x)在/

上具有单调性，区间/称为f(x)的单调区间。

结论：/(X),x£/,/(x)有导数//(x),则“X)是/上增函数的充要条件是

f\x)；/(x)是/上减函数的充要条件是/(X)。

⑵函数单调性考察的三种基本题型：Yx.xfD

①判断函数的单调性：再<赴且/(再)</(%2)，则/(X)。

②比较自变量大小：/(X)是D上增函数且/(x)</(无2),则。

③比较函数值大小：/(X)是D上增函数且％<々，则。

判断单调性常用方法：①定义法；②图像法；③导数法；④转化法。

⑶复合函数)，=/[g(X)]的单调性：

①若f与g的单调性,则/[g(X)]为增函数；

②若f与g的单调性,则/[g(X)]为减函数。

⑷一些有用的结论：

①奇函数在关于原点对称的区间上的