分段函数几种常见题型解法

函数的观点和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不一样的范围内,有不一样的对应法例的函数,是一个函数,却又经常被学生误以为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集其值域也是各段函数值域的并集.因为它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的观察上有较好的作用,经常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种详细的题型做了一些思虑,分析以下：

它,1．求分段函数的定义域和值域2x2x[1,0];例1．求函数f(x)21xx(0,2);的定义域、值域.3x[2,);2．求分段函数的函数值|x1|2,(|x|1)例2．已知函数f(x)1,(|x|求f[f(12)].1x21)3．求分段函数的最值4x3(x0)例3．求函数f(x)x3(0x1)的最大值.x5(x1)4．求分段函数的分析式例4．在同一平面直角坐标系中,函数yf(x)和yg(x)的图象对于直线yx对称,现将yg(x)的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段构成的折线（以下图）,则函数f(x)的表达式为（）A.f(x)2x2(1x0)x2(0x2)y2B.f(x)2x2(1x0)3x2(0x2)222x2(1x2)1C.f(x)xx1(2x4)-2-1o12D.f(x)2x6(1x2)x3(2x4)25．作分段函数的图像例5．函数ye|lnx||x1|的图像大概是（）yy1x1O1o1xA

Byy11xxOO11CD6．求分段函数得反函数例6已知yf(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)3x1,设f(x)的反函数为yg(x),求g(x)的表达式.7．判断分段函数的奇偶性x2(x1)(x0)例7．判断函数f(x)的奇偶性.x2(x1)(x0)8．判断分段函数的单一性x3x(x0)例8．判断函数f(x)(x的单一性.x20)例9．写出函数f(x)|12x||2x|的单一减区间.9．解分段函数的方程2xx(,1],则知足方程f(x)1例10．设函数f(x)(1,)的x的值为log81xx410．解分段函数的不等式2例11．设函数f(x)x

x12

1(x0),若f(x0)1,则x0得取值范围是（）(x0)A.(1,1)B.(1,)C.(,2)(0,)D.(,1)(1,(x1)2(x1)1的自变量x的取值范围为例12．设函数f(x),则使得f(x)4x1(x1)（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]反应练习－x2＋2x，x≤0，若|f(x)|≥ax，则a的取1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝，x＞0.lnx＋1值范围是( )A．(－∞，0]B.(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]2x3，x<0，πf(x)＝则ff2．（2013福建，4分）已知函数π4＝________.－tanx，0≤x<2，log1x，x≥1，3．（2013北京，5分）函数f(x)＝2的值域为________．2x，x<1x2＋1，x≤1，4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝则f(f(10))＝()lgx，x>1，A．lg101B．2C．1D．05．（2011北京，5分）依据统计，一名工人组装第

x件某产品所用的时间

(单位：分钟

)为c，x<A，xf(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第cx≥AAA件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,166．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，13bx＋2此中a，b∈R.若f( )＝f( )，则a＋3b的值为________．，0≤x≤1，22x＋12x＋a，x＜1，7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a－x－2a，x≥1.的值为________．函数的观点和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不一样的范围内,有不一样的对应法例的函数,它是一个函数,却又经常被学生误以为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.因为它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的观察上有较好的作用,经常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种详细的题型做了一些思虑,分析以下：1．求分段函数的定义域和值域2x2x[1,0];例1．求函数f(x)21xx(0,2);的定义域、值域.3x[2,);

y321-1o12x-1【分析】作图,利用“数形联合”易知f(x)的定义域为[1,),值域为(1,3].2．求分段函数的函数值|x1|2,(|x|1)例2．已知函数f(x)12,(|x|求f[f(12)].1x1)【分析】因为f(21)|211|223,所以f[f(12)]f(23)124.1(23)133．求分段函数的最值4x3(x0)例3．求函数f(x)x3(0x1)的最大值.x5(x1)【分析】当x0时,fmax(x)f(0)3,当0x1时,fmax(x)f(1)4,当x1时,x5154,综上有fmax(x)4.4．求分段函数的分析式例4．在同一平面直角坐标系中,函数yf(x)和yg(x)的图象对于直线yx对称,现将yg(x)的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段构成的折线（以下图）,则函数f(x)的表达式为（）A.f(x)2x2(1x0)x2(0x2)y2B.f(x)2x2(1x0)3x2(0x2)222x2(1x2)1C.f(x)x2x1(2x4)-2-1o1D.f(x)2x6(1x2)x3(2x4)2【分析】当x[2,0]时,y21x1,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得分析式为y21(x2)1121x1,所以f(x)2x2(x[1,0]),当x[0,1]时,y2x1,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得分析式y2(x2)112x4,所以f(x)21x2(x[0,2]),综上可得f(x)2x2(1x0)应选A.x,2(0x2)25．作分段函数的图像例5．函数ye|lnx||x1|的图像大概是（）yy1x1O1o1xA

Byy11xxO1O1CD分析：在定义范围议论，当0<x<1时，y11，应选Dx1；当x>1时yx6．求分段函数得反函数例6已知yf(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)3x1,设f(x)的反函数为yg(x),求g(x)的表达式.【分析】设x0,则x0,所以f(x)3x1,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)f(x),且f(0)0,所以f(x)13x,所以3x1(x0)log3(x1)(x0)f(x)0(x0),进而可得g(x)0(x0).13x(x0)log3(1x)(x0)7．判断分段函数的奇偶性x2(x1)(x0)例7．判断函数f(x)的奇偶性.x2(x1)(x0)【分析】当x0时,x0,f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x),当x0时,f(0)f(0)0,当x0,x0,f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此,对于随意xR都有f(x)f(x),所以f(x)为偶函数.8．判断分段函数的单一性x3x(x0)例8．判断函数f(x)(x的单一性.x20)【分析】明显连续.当时,'2f(x)x0f(x)3x11所以f(x)是单一递加函数,恒建立,当x0时,f'(x)2x0恒建立,f(x)也是单一递加函数,所以f(x)在R上是单调递加函数;或绘图易知f(x)在R上是单一递加函数.例9．写出函数f(x)|12x||2x|的单一减区间.y3x1(x12)5【分析】f(x)3x(12x2),绘图易知单一53x1(x2)2减区间为(,11ox2].2-29．解分段函数的方程2xx(,1],则知足方程f(x)1例10．（01年上海）设函数f(x)(1,)的x的log81xx4值为【分析】若2x41,则2x22,得x2(,1],所以x2（舍去）,若log81x41,1则x814,解得x3(1,),所以x3即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数2x1(x0)f(x)1,若f(x0)1,y则x0得x2(x0)取值范围是（）A.(1,1)B.(1,)1-11xC.(,2)(0,)D.(,1)(1,)【分析1】第一画出yf(x)和y1的大概图像,易知f(x0)1时,所对应的x0的取值范围是(,1)(1,).【分析2】2x01因为f(x0)1,当x00时,11,解得x01,当x00时,x021,解得x01,综上x0的取值范围是(,1)(1,).应选D.例12．设函数f(x)(x1)2(x1)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为4x1(x1),（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]【分析】当x1时,f(x)1(x1)21x2或x0,所以x2或0x1,当x1时,f(x)14x11x13x10,所以1x10,综上所述,x2或0x10,应选A项.【评论：】以上分段函数性质的观察中,不难获得一种解题的重要门路,若能画出其大概图像,定义域、值域、最值、单一性、奇偶性等问题就会水到渠成,方程、不等式等可用数形联合思想、等价转变思想、分类议论思想及函数思想来解,使问题获得大大简化,成效明显.反应练习－x2＋2x，x≤0，1．（2013新课标全国Ⅰ，

5分）已知函数

f(x)＝

若|

f(x)|

≥ax，则

a的取ln

x＋1

，x＞0.值范围是

(

)A．(－∞，

0]

B.(－∞，

1]C．[－2,1]

D．[－2,0]分析：此题观察一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒建立求参数的取值范围问题，意在观察考生的转变能力和利用数形联合思想解答问题的能力．当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以＋2≥恒建立，所以≥－2；当x＞0时，( )＝ln(＋1)＞0，所以|( )|≥化axafxxfxax简为ln(x＋1)＞ax恒建立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2a≤≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒建立，选择D.答案：D2x3，x<0，π2．（2013福建，4分）已知函数f(x)＝π则ff4＝________.－tanx，0≤x<2，π分析：此题主要观察分段函数的求值，意在观察考生的应用能力和运算求解能力．∵f4＝－tanππ＝－1，∴ff＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.44答案：－2log1x，x≥1，3．（2013北京，5分）函数f(x)＝2的值域为________．2x，x<1分析：此题主要观察分段函数的观点、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在观察考生对函数定义域、值域掌握的娴熟程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，log1x≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．2答案：(－∞，2)4．（2012江西，5分）若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，则f(f(10))＝( )lgx，x>1，A．lg101B．2C．1D．0分析：f(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011北京，5分）依据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为c，x<A，xf(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第cx≥AAA件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16ccc分析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以A＝15(1)，所以必有4<A，且4＝2＝30(2)，联立(1)(2)解得＝60，A＝16.c答案：D6．（2012江苏，5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝＋1，－1≤＜0，axx13bx＋2此中，∈R.若( )＝f( )，则＋3的值为________．22，0≤x≤1，x＋1分析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f(31)＝f(－)，且f(－1)＝f(1)，故221112b＋21f( )＝f(－)，进而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.①2212＋12b＋2由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，故b