高等数学课后习题及参考答案第十一章

高等数学课后习题及参考答案

（第十一章）

习题11-1

1.写出下列级数的前五项：

(i)y1+n-

(*1+〃2，

客暨=坦+华+串+丐+兽+….

念1+〃21+P1+221+321+421+52

解£岩=1+白白+系+■+•••・

〃=J+〃25102637

%24-2〃'

解^l-3-(2n-l)^l1-31-3-51-3-5-7,1・3・5・7・9

占24…2〃212-42-4-62-4-6-82-4-6-810

解1-3-(2n-l)=1+3+15+105+_945+.

占2.4…2〃28483843840

⑶犬*；

n=\3

解玄5"=552+5354+55…，

〃=]JJJJJJ

解fHTl=l_X+J__L+，一…

占5"5251256253125

00

解z

n=\

解落=阜+且+2+3+…

n=\/p>

2.写出下列级数的一般项:

解一般项为4=去.

解一般项为4=(T)"T等.

4x,X,Xy/x,X2,

(3)----------r----------r-----------------------------------十

22-42-4-62-4-6-8

n

解一般项为〃”=言

(4)与一冬+午.好….

解一般项为〃”=(-l)"T科•.

ZH4-1

3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:

00_______

⑴z(«口一厢；

n=\

解因为

%=(应-亦+(6-扬+("-6)+•­■+(Vn+l-Vn)

=(J九+1—71)—>8(〃­8),

所以级数发散.

(2)---I---I—-—P•••H-------------F,,•

,71-33-55-7(2〃-1)(2〃+1)

解因为

1,1,1,,1

S------------------------F•••4------------------------

"1-33-55-7(2〃—1)(2〃+1)

2J3，235,2、57,2v2/?-l2〃+】

」d」+Ll+_L—L+…+」_____U)

2'1335572n-l2n+V

=40-T^ZT)7]-8),

2271+12

所以级数收敛.

(3)sinj+sin竺+sin寻+…sin-^4-…

6666

解s〃=sin]+sin率+sin率+・・・sin等

6o66

—?—(2sin-^-sin^+2sin^-sin^+•••+2sin^-si

2si哈12612612

]rz-八K八八3乃\1/八八3兀八八5乃\1,z八八，2〃一1__2〃+l

[(cos--CnOS—)+(C05r--cos—)+•••+(COS——^-COS——^)]

短I1.乙x乙L4X乙1!乙X乙

=——-——（co痣-COS、?：1力）.

2si晤1212

12

因为limcos簿乃不存在，所以lims〃不存在，因而该级数发散.

4.判定下列级数的收敛性：

oQ2O3on

⑴一勺+5下+…+（T）"而+…；

解这是一个等比级数，公比为4=-1,于是⑷=5<1,所以此级数收敛.

⑵---（■?+•,•;

3693〃

解此级数是发散的，这是因为如此级数收敛，则级数

也收敛，矛盾.

⑶;+打击+…

解因为级数的一般项M”=西=3"->1声0(〃->oo),

所以由级数收敛的必要条件可知，此级数发散.

(呜+券+%+…+言+…；

解这是一个等比级数，公比4=1〉1,所以此级数发散.

(5)g+g)+(导/)+($+/)+…+夕+9)+….

8[004

解因为X/和X=都是收敛的等比级数，所以级数

/?=12〃=i3

是收敛的.

习题11-2

1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收

敛性：

(1)1+—+-+---H-------F••,;

'/35(2/7-1)'

]

解因为lim2*=],而级数£上发散，故所给级数发散.

i12n=[n

n

el।1+2।1+31+力

⑵"廿言+…+b

解因为%=上与＞上4=!，而级数票81发散,

l+〃2+-n

nnn=\n

故所给级数发散.

,253-6(»+1)(0+4)'

]

解因为lim(，¥〃+4).=lim、F;=1,而级数收敛,

??—>00]>00+5〃+4n=Jn

rr

故所给级数收敛.

•+si.n-7-1--F…

2”

•71

sin—sin—81

解因为lim—=»lim----而级数£=收敛，

71—>001n^x)71

F2"

故所给级数收敛.

001

3〉0).

⑸£n

n=\i+a

解因为

10O<4Z<1

a,t

lim-/-<1

lim-1+尸”ai,

〃一>811+a"2

1a>\

而当a>l时级数收敛，当0<〃41时级数£」-发散,

”=附„=1«

81

所以级数V—!—当a>i时收敛，当0<“勺时发散.

喜1+。"

2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性：

⑴*+券+券+…喂7+…；

解级数的一般项为=3二.因为

/1-2

〃foo〃->oo（〃+1>2"+3"n->oc272+12

所以级数发散.

oo2

⑵姿;

n=\J

解因为lim殳旦=lim维平芸=lim4•目）2芸<1,

,,+|

un…3〃2,183〃3

所以级数收敛.

00

⑶仁2〃•4

n

77=1n

解因为lim%L=21im(3)"=2<l,

w—>ooU??—>00〃+1e

fJ典”•5

所以级数收敛.

(3)f〃tan^y.

n=\乙

兀71

解因为lim*=lim竺吧％^=lim正

〃->8un〃T8.tan冗w—><»nn2

2〃+i2〃+i

所以级数收敛.

3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:

00

⑴Z(£)"；

M2〃+i

n_

解因为lim点=lim<1,所以级数收敛.

〃一>002〃+12

8]

（2）y---

念口皿+1）「

解因为lim啊'=1而岛r°<i,所以级数收敛.

〃一>8〃一>8

⑶身（』r）2"T；

M3〃一1

解因为

2/z-l

lim(-3〃—Ylim--------r

n—>oon—>ocn—>oo(3-1与2—〃

n

1去<1，

lim

“-8二二“1、2」

3"F"

所以级数收敛.

00i

⑷沁",其中斯―%,b,a均为正数.

〃=14

解因为lim疯=lim互=幺

M—>0C〃—>8UnCl

所以当匕〈“时级数收敛，当b>a时级数发散.

4,判定下列级数的收敛性：

(D(+2(()2+五()3_|------------；

解这里廿吟“，因为

(〃+1)目)"+1

coUfJcon—><x)〃44

所以级数收敛.

|494Q4

⑵丁要+于+…

解这里因为

lim--(—)3=0<1,

4

〃一>00UfJ/?—>00(rt+l)!nn〃

所以级数收敛.

解因为lim”(〃+2)=lim%~=l,而级数f发散,

故所给级数发散.

(4)Z2"sin条

n=l3

2"+，4

解因为lim------泡-=lim----史-=《<1,

所以级数收敛.

解因为lim〃”=limj胆=1HO

n—>oon—>ooV〃

所以级数发散.

(6)^—+—^―-+••-+—[+■■■(a>0,b>0).

a+b2a+bna+b

解因为廿焉4%而级数制发散

故所给级数发散.

5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是

条件收敛？

⑴1-%+古*+

00001]

解这是一个交错级数£(—1)"TN”=Z(T)"T；，其中〃“=+.

"=in=\Tn\/n

因为显然“心“用，并且lim〃“=0,所以此级数是收敛的.

〃一>8

008]

又因为Zl（T）"T〃,』=Z+是P<1的P级数，是发散的,

"=1n=lvn

所以原级数是条件收敛的.

（2）f（T）"-*；

77=1,

0000

J

n=ln=\口

〃+1

因为limML=!<l,所以级数是收敛的,

一0_3印1

3"T

从而原级数收敛，并且绝对收敛.

nd1-1±+1±-1

（）32~3^

解这是交错级数£（一1）弋自，并且±1（-1）喝遂1=殆去.

因为级数£*次是收敛的，所以原级数也收敛，并且绝对收敛.

（“4、）--I------—--I---I------1-,

ln2ln3ln4ln5'

解这是交错级数苴品品其中〃，尸温•

因为斯/+i,并且lim〃“=O,所以此级数是收敛的.

7?->00

00

又因为1113,而1级数工一］发散，

0000I

故级数£|（—1尸七=£一1八发散,从而原级数是条件收敛的.

“=iz,=lln（H+l）

00»2

⑸Z（T）〃』.

n=\几

.2〃2

解级数的一般项为〃"=（一1）"+|

因为lim\un卜limJ=lim"=lim二・…J,二・J

n—>oon—»a）ri.〃foo〃！“TOOnn-1n—2321

所以级数发散.

习题11-3

1.求下列基级数的收敛域:

(1)x+2x~+3x^+■■,+nx"+■••;

解lim|4a|=lim@=l,故收敛半径为R=l.

〃一>8an〃->8n

因为当x=i时，事级数成为是发散的;

n=\

00

当x=-l时，基级数成为2(-1)"〃，也是发散的,

〃=1

所以收敛域为(-1,1).

(2)1-^+^2+•••+(-l)/，^y+•••；

2/nz

］

解lim|4a|=lim"D-=limhJ=l,故收敛半径为R=l.

>8%〃->8_1_〃-+

n2

001001

因为当ml时，幕级数成为是收敛的；当％=-1吐幕级数成为1+23,也

，，=2n-"="

是收敛的，所以收敛域为［T,IJ.

Y尤2

(3)-+—+^—+

224246

解胆曾卜，胆声语T妈始旷°'故收敛半径为收敛域为E

4-00).

(F乔+方+…+寿+…

解妈任昌E蝎嵩斗故收敛半径为R=3.

因为当m3时，幕级数成为之00工1，是发散的；当x=-3时，幕级数成为020(-1)”工1，也是收

n=\nn=in

敛的，所以收敛域为［-3,3).

⑸”率2+岸％-+言都+…

解lim|3=lim,2：；笆1=21加］；=2,故收敛半径为R=4.

n吸

«->°°an〃T8(〃+iy+i2〃T°°(〃+1)/+12

因为当X=2时，基级数成为之，：，是收敛的；当m-1时，基级数成为

2念〃2+1

£(一1)”?7,也是收敛的，所以收敛域为［—《,白.

“=i〃"+122

v2n+l

（6）E（-DZ,

n=l2/1+1

解这里级数的一般项为〃“=(-1)"^~

Z71+1

丫2〃+3113-

因为lim|以4㈣品.猾2,由比值审敛法,当XJ即乐时幕级数绝对

«->℃un

收敛；当了2>1,即团>1时，塞级数发散，故收敛半径为R=l.

因为当Z时’幕级数成为为-1)，，*’是收敛的；当hl时’累级数成为

001

沙产药，也是收敛的，所以收敛域为5］.

(7)£铲冰2；

w=l乙

解这里级数的一般项为与=若虫工20/.

因为Hm|3=lim|(2弋?产.3“2总f,由比值审敛法，当袅2<i,即

2

〃f8un2nz(2〃-1)力〃22

|x|<应时，基级数绝对收敛；当3工2>1,即|x|>五时，幕级数发散，故收敛半径为R=J5.

因为当x=±应时，哥级数成为£2昙，是发散的，所以收敛域为(々10).

n-\,

⑻W呼

〃=]yjn

解lim|%+lim-^=l,故收敛半径为/?=1,即当-1y5<1时级数收敛，当

〃->8%〃+1

|x-5|>l时级数发散.

因为当尤-5=-1,即x=4时，塞级数成为才印二是收敛的；当>5=1,即x=6时，基级数

77=1V〃

00

成为£,是发散的，所以收敛域为［4,6).

2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:

⑴斗犬T；

n=l

解设和函数为S(x),即S(X)=£>?T,则

n=\

_"800

S(x)=&vS(x)dx]'=[[)2〃/-9灯=[80ny-'dxl'

n=ln=\

n=\IT(1-X)2

⑵ZJ；

占4〃+l

co4T7+1

解设和函数为5(x),即S(x)=£)V~；•,则

工4〃+1

„oo4n+l_oo

Yvr4n

S(x)=S(O)+JoS,(x)dx=f0rE7—j-l^=JoYxdx

=*占T)dx=J；(T+/±+4•占"

-+~arct3nv-x(-1<x<1).

提示：由Cs'(x)dx=S(x)-S(O)得5(x)=5(0)+Cs'(x)dx.

1*3y5丫2〃-1

(3)x+y+y

解设和函数为S(x),即

oo2z?-ly352n-l

S(x)=X—v=x+2+v卷+•,•v+―+…，

〃=]2〃—1352〃-1

--002/7-1-J-00

则s(x)=s(o)+£rs/(x)J%=£r[£yV--T</x=££x2z!--c/x

M=1—171=1

■占"a刎岩(T<x<l).

提示：由1:S'(x)dx=S(x)—S(0)得S(x)=S(0)+1:S'(x)dx.

习题11-4

1.求函数./U）=cosx的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数.

解/（,,）（x）=cos（x+n~）（/j=l,2,­•■）,

/（"）（M）=cos（%+〃・9（"=1,2,…），

从而得於）在孙处的泰勒公式

\/717\8s（与+］）\2

/（X）=COS+COS（X（）+y）（X-X0）+-------力——（工一闻）'+・一

COS（Xo+华）

+-----------^-（x-而）〃+RQ）.

rv.

COS［AQ+^（X-A^）+——I_P+1

因为困（x）H-----------（〃+］）!2（x—殉）"咋方rr舟〜生1）,

而级数£与其口总是收敛的,故lim与黑二=0,从而lim|/?„(x)hO.

（〃+D!〃->8+〃->8

因此/(X)=cos而+cos(而+日)(大_X。)+c°s(?+")(%一的)2+...

COS(M+竽

+------------------^―(x—与)〃H------,XG(-OO,4-00),

川

2.将下列函数展开成x的骞级数，并求展开式成立的区间:

pX一户

(l)sh¥=—^―;

解因为

8

瓦

oon

所以e-x=£(_])"—r,xe(-o),+8),

"=o«!

[8Y〃00”100丫〃8丫2〃-1

故萨法[1一(一1)"口=说标京

(2)ln(a+x)(a〉0);

解因为ln(a+x)=lnQ(l+3)=lna+ln(l+W),

aa

8丫〃+1

lnQ+x)=Z(-iyJ(-1<X<1),

„=o"+1

所以ln(a+x)=lna+W㈠)"熹(?严=E。+工黑％](一〃.).

(3)，；

oon

解因为"=ErY，xe(-co,+8),

n=0几

所以aX=kn”="=£(xlna)"=,^E-叫伊),

n=04n=04

(4)sin2x;

解因为sin2]=：-/cosZr,

ooJin

cosx=X(T)"7^-7n，xe(-8,+00),

»=oQ〃)！

所以sin2x=/—3£(一1)"'^^=£(T)"2；2不x€(v,+8).

22,MQ〃)！M(2〃)！

(5)(l+x)ln(l+x);

8”+1

解因为lnQ+x)=X(-1)"J(-l<r<l),

„=o〃+l

oon+\

所以(i+x)ina+x)=(i+x)£(-ir^Y—-

"=o〃+1

8Y〃+l8Y〃+28Y〃+18丫〃+1

2P〃3+当一。"焉=、+4一)"Q+Z㈠尸个

x+京号+Hw+』+弹吗E(-l<r<l).

Nn+lnM〃(〃+l)

(2/7-1)!!

解因为=i+E(-ir2n

2l/2(-l<r<D,

(l+x)n=\(2n)!'

/,2n+l2,,+1

所以-7^=x+x(-D-^^-v=x+£(-ir^|^(y)(-1^<D.

Vl+X2急(2")!!M(〃!)22

3.将下列函数展开成(x-1)的塞级数，并求展开式成立的区间：

⑴必；

解因为

加=]+如+尤

(1+X)〜，2+・..+_^-----L_2----------Lxn+...(_]<%<])

2!〃！

-3

所以VX3=[1+(X-1)]2

=l+|(x-l)+——(x-1)2+…--------------------(%—1)〃+…

2!IT.

2

即>/7=l+1(x-l)+^(x-l)+.­-+3-l-(-l)-(-3)---(5-2n)(x_1)„+

乙乙*乙,fLt

(0<x<2).

上术级数当x=0和户2时都是收敛的，所以展开式成立的区间是[0,2].

(2)lgx.

解3=黑=』1叩+(尸1)]=』3(-1)'1^^(-1<户口)，

InlOInlOInlO^Jn

即lgx=』£(-1)1鱼辿(0<x<2).

4.将函数段)=cosx展开成(x+§的基级数.

解COSX=COS[(r+y)-y]=cos(x+y)cosy+sin(x+y)siny

=已督。+F〃+乎:£*«+安向

2,图(2〃)！32^o(2n+l)!3

£(一1)"[夫。+年之+^^/犬+9产力(-8<%<+8).

2氢(2n)!3(2n+l)!3

5.将函数f(x)=L展开成(x-3)的基级数.

X

解1~^=；£(一1)"(与)"(一1<与<1)，

x3+%—3311x—53〃=()33

丁

即1)"(千)"(0<x<6).

X3〃=03

6.将函数人力=十4"^展开成(衣4)的基级数.

x+3x4-2

解/3=士=+一6，

11

而马半”白KD,

x+l-3+(x+4)3]X+43〃=033

即

1=111=-《（竽"（苧<1），

x+2-2+(x+4)2!_X±4

]_号(x+4)〃

益=一*(—6<x<-2).

1=RQ+4)”:(x+4)”

因此/+3x+2=一念3向'2"+】

师00击1一由1（3（"<-2）.

习题11-5

1.利用函数的暴级数展开式求下列各数的近似值:

（l）ln3（误差不超过0.0001）;

解In廿=2(x+袅+禀+…+；^口-1+…)(-1<%<1),

1-x35m-\

"(2〃—1>22"T+(2〃+3>22"+3+…]

2ri,(2〃+1>22"+1,(2〃+1>22”+I,।

(2/7+l)22n+,(2n+3)-22n+3(2n+5)-22,,+5

<2,,+1)=22

(2n+l)2(1+2T+27+"'3(2n-l)2«-，

故|“K—^~0.00012,|yK—i-^«0.00003.

15I^3.11-2853-13-210

因而取〃=6,此时

ln3=2(2+3-i+5'i+7^+94+HW1°986

⑵八(误差不超过0.001);

解e，=l+x+!%2_|----H—(―oo<x<+oo),

2!〃！

由于

(〃+l)!2"+i(〃+2)!2"+2

—2+__11

n!-2"n+12(n+2)-(n+l)22+

1

3〃!2"-2

故〃=--~~r~0.0003.

43-5!-23

因此取n=4得

«1.648.

(3)々/短(误差不超过0.00001);

解(1+幻，"=1+癖+吗Q/+...+皿0?匕四lx""**'),

2!IT.

羽五=2(1+鄂/9

=211+1也--^-(四2+延.(呜3_...I

492992.2;12”32.3%"b

由于i^w000217C-含(¥)2a0.0000K

故^/522=2(1+0.002170-0.000019®2.00430.

(4)cos2。(误差不超过0.0001).

r2r4丫2〃

解COSX=1--—H■--------卜(-1)”,+,••(―oo<x<4-oo),

2!4!(2n)!

cos2-cos^=l-l.(^+l.(^-l.(^+-.

由于—“6xlg/（甜』产

故cos2°«l-^-A2-«1-0.0006=0.9994.

2.利用被积函数的累级数展开式求下列定积分的近似值:

⑴「5丁二公（误差不超过0.0001）;

J。1+X4

8H4,!

解「j14公=。口-短+^-/"!---1-(—1)XH—]dx

=(A*+9%9-13%13+…斓

11X,1J___L1

2-5'2^'

因为|-^»0.00625,1-^-«0.00028,=.4=0.00000£,

fc?^H^+9^*a4940-

所以

(2)(5arc：nx公(误差不超过0,0001).

解arctanr=x—袅+《好―…+(—1)〃/^钟+1+…(―1<X<1),

352n+l

广一小『吟个人…+㈠尸露".快

=（A#十a5_击，+…出5

l_j__L+_LJ___L_L+

2-3.委'3,委'—而

因为IX皿。139,X.1«0.0013,看系。。。。2

92^

所以mw9导血487.

3.将函数e'cosx展开成x的幕级数.

解cos=-^(eix+e-ix),

6弋0.=吗（/+6七）=义例+，）+源1刃

„等（1一户„^lyCl+zT+q-zT

一诒〃！

•74•//

因为l+i=&e”4,i_j=&e'4,

n.nn•〃4nn,.

所以(1+。”+(1—=2可e'N+?'才]=2$(2cos等)=2,cos等.

n

n7V

严、2—cos---

x

因此ecosx=y^j----(-oo<x<+oo).

〃=o"

习题11-7

1.下列周期函数人工）的周期为2工，试将於）展开成傅里叶级数，如果段）在［-石九）上的表

达式为：

（1次r）=3f+1（-胫y加；

解因为

g=l「f(x)dx=—「(3x2+X)dx=2^/r2+1),

7CJ一乃71J一4

1.乃

a--f(x)cosnjidx

n7C、一兀

=—「(3x2+l)cos〃成工=(一1)"耳(〃=1,2,…),

7CJ-乃rr

=—[f(x)sinn7idx

a71、一4

--「Gd+Dsin〃欣x=05=1,2,­••),

所以危）的傅里叶级数展开式为

cosnx(-oo<x<+oo).

(2)J(x)=e2X-7i<x<7f);

解因为

1Frz1「乃2“/乃一0-2乃

心/蚀=^-

«;1=—Jf{x}cos,nmlx

，f>ci=2(T—产)5=1,2,…),

71Jr(nL+4)万

%=—「f(x)sinn7idx

4J一乃

=42、皿出=」（一1）¥：一产）

（H=l,2,•••）,

71+4）乃

所以40的傅里叶级数展开式为

(/(2〃+1)石〃=0,±1,±2,••-)•

(3)/(%)=?%]廿x<°(“,b为常数，且a>b>0).

[ax0<x<7r

解因为

a)=­[hxdxv—faxdx=^-(a—b),

7tJ-乃万Jo2

1PojC7C

a„=—hxcosnxdx\■—axcosnxdjd

〃兀JF乃JO

=空[1-(-l)"gl,2,…)，

1V71

不

h=­1r°bxsin.nxdx]--1faxs.innxdx

〃nTC'F%JO

=(—1)"T近(〃=1,2,…)，

n

所以兀0的傅里叶级数展开式为

一=9(〜)+£{”(-1)邛-叽0也i血X}

4〃=]〃"〃

(x#(2〃+l)石〃=0,±1,±2,•••)•

2.将下列函数/U）展开成傅里叶级数:

(1)/(x)=2sin^(~7T<x<7i);

解将./U)拓广为周期函数则尸㈤在(-石乃)中连续，在后土力间断，且

，产(一万一)+/(一万+)#/(-%),3尸(万一)+尸(乃+)#/(万)，

故尸(x)的傅里叶级数在(-石田中收敛于式x),而在%=士万处F(x)的傅里叶级数不收敛于犬X).

计算傅氏系数如下：

因为2sin方(-衣x<;r)是奇函数，所以为=0(”=0,1,2,•••),

2=2])2sinsinnxdx=—£[co—H)X—cos(^+n)x]dx

=(-1)”+L•渭]("=1,2,…)，

7t9n2-l

所以/\x)="庭之(-1)"+1空粤(-小<初

兀售9nz-l

⑵/(，)=：oSf-

解将./U)拓广为周期函数尸(x),则F(x)在(-石田中连续，在户旬断，且

夕产(一4一)+尸(一4+)#/(一©,3田(万一)+尸(乃+)#/(1)，

故尸㈤的傅里叶级数在(-%万)中收敛于式x),而在后士"处尸(x)的傅里叶级数不收敛于犬X).

计算傅氏系数如下：

%=刘?叱『囱二一

«,；=—[J°eXcos〃xd^Ccos“xdR」；)-(〃=1,2,­••),

bn=*sin〃"浒,sinnxdj]

1矶_(_1)5]『(—I)"

=-{-------5}(〃=1,2,…),

7Tl+〃-z------------1---------n--------

所以/(x)=

2兀

+巷占坐工。s〃x+[X华丝+必当sin〃x}

l+〃z1+H-n

(~K<JC<7l).

3.设周期函数次x)的周期为2万，证明火x)的傅里叶系数为

[2乃

an=一[1/(x)cos〃xdx(D,1,2,…)，

")

bn=~\^/(x)sinnxdx(n=1,2,…).

证明我们知道，若yu)是以/为周期的连续函数，则

『+'/(x)dx的值与a无关,且

因为/U),cosnx,sin均为以2小周期的函数，所以於)cosnx./x)sin磔:均为以2小周期的

函数，从而

27r

an=—^/(x)cosnxdx=J乃f(x)cosnxdx

=T：/(x)cos〃xdx(〃=l,2,•••).

同理b『f(x)smnxdx(n=l,2,…).

万JO

4.将函数/(x)=cos#aW»)展开成傅里叶级数：

解因为/(x)=cos或为偶函数,故乩=0(〃=1,2,...)，而

1.%Y2(九Y

a=—cos—cosnxdx=—cos—cosnxJx

n乃Jr2乃Jo2

=(7严点让1(1'2,一)

由于/(x)=cos楙在[-乃,加上连续，所以

]

cosnx(-^<x<^).

An2-1

5.设久r)的周期为2M勺周期函数，它在[-花,乃)上的表达式这

~-7T<X<―

22

/(x)=<x,

——<X<7t

122

将兀0展开成傅里叶级数.

解因为大x)为奇函数，故«„=0(n=0,1,2,••■),而

bn=—£/(x)sinnxdx=—\^xsinnxd^

(—1)"2.\

=------1-o-sm--(n=l,2,…)，

nn£7i2

又段)的间断点为4(2〃+D跖〃=0,±1,±2,…,所以

/(x)=---1--7—sin-^]sinnx(x^(2n+\);r,n=0,±1,±2,•••).

普几"万2

6.将函数/(尤)=号(0。0力展开成正弦级数.

解作奇延拓得F(x):

/(x)0<X<7T

F(x)=<0x=0,

-7T<X<0

再周期延拓F(x)到(-00,+8),则当xw(0,同时F(x)=J(x),F(0)=0^y=/(0).

因为斯=05=0J,2,…)，而

bnjg%2"nxdx='(n=l,2,,••),

仔、I

故f(x)=/^―sinnx{0<x<7f),

n=\n

级数在x=0处收敛于0.

7.将函数於)=2f(006分另别展开成正弦级数和余弦级数.

解对於)作奇延拓,则。〃=0(〃=0,1,2,…)，而

故正弦级数为

7r2o.

—)—y]sinz?x((Xv<m,

nA?

级数在40处收敛于0.

对危)作偶延拓，则历尸0(〃=1,2,•••),而

%=第2x"=#

2w

an=—^2xcosnxdx=(-l)(〃=1,2,…),

故余弦级数为

f(x)+8^2^cosnx(0<x<7f).

3n=ln

8.设周期函数/U)的周期为2区证明

⑴如果式x-;r)=TU),则加)的傅里叶系数的=0,〃2产0,岳E)(占1,2,••.)；

解因为

所以〃o=0.

因为

令f=4+X1「2万

^.=1£；/(X)COS2^—f(t-7T)COS2k(t-7T)dx

万Jo

f(t)cos2ktdt=-O2k,

所以侬=0.

同理版=0(b1,2,…).

(2)如果危-力守⑴，则危)的傅里叶系数知+尸0,历奸产0侬1,2,•••).

解因为

c以+1=—/(x)cos(2左+l)xdx

"J-乃

令1=乃+犬1r2冗

—J。f(t