第八章热传导

第八章热传导第一页，共二十七页，2022年，8月28日求解上式方程，并根据确定的边界层条件即可求出温度分布及导热速率问题。直角坐标：如方形燃烧炉的炉壁。（8-1）柱坐标：如蒸汽管的管壁。（8-2）球坐标：核反应的压力容器壁。（8-3）第二页，共二十七页，2022年，8月28日⑴平壁稳态一维导热单层平壁的一维导热是最简单的。方程是：

（8-1）边界条件：积分后的分布函数为：（8-2）第三页，共二十七页，2022年，8月28日沿x方向通过平壁的导热速率q为：得：（8-5）根据方程（8-5）即求出导热速率。对于固体材料：k为t的线性函数。

（8-6）大多数金属β为负值。绝缘材料的β为正值。第四页，共二十七页，2022年，8月28日⑵管壁的一维稳态导热：用柱坐标较方便：边界条件：两次积分的分布函数：（8-7）由该方程看出，通过管壁进行径向稳态导热时，温度分布是半径r的对数函数。第五页，共二十七页，2022年，8月28日导热速率：qr为径向距离r处的导热速率，Ar是该处的导热面积。导热系数k可用t1

和t2的算术平均温度下的km值代替。

第六页，共二十七页，2022年，8月28日

⑶二维稳态导热的数值解二维或三维导热问题，工程上多采用数值计算法求解，下面以无内热源的二维稳态为例说明之。

a.

体内部的结点温度方程在直角坐标系内，二维稳态导热能量方程为：

数值解法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用梯级变化的差分方程近似表达。从而求出温度分布。第七页，共二十七页，2022年，8月28日将二维面分成若干个组成的子方格。分割线的交点即为结点。

的长度视精确度的要求选取，设其有n个结点。在温度场内任取一结点I其温度为，考察与其周边的四个点有何关系。2314第八页，共二十七页，2022年，8月28日在二维温度场中，在i点附近沿x方向展开f(x,y)呈Taylor级数的形式为：两式相加得：第九页，共二十七页，2022年，8月28日将上两式相加并忽略项，得：同理得：令第十页，共二十七页，2022年，8月28日由于：所以可得：该式称为物体内部的结点温度方程。即在无内源的二维稳态温度场中，其内部任一结点的温度都可用其附近的四个结点温度的算术平均值表示。第十一页，共二十七页，2022年，8月28日b.

物体边界上的结点温度方程结点位于边界上，其温度就不能用上式表达了，可分五种情况加以讨论。

①对于恒温边界，其温度已知，问题简单。②对于绝热边界，导出：第十二页，共二十七页，2022年，8月28日1i1231132i32i14③对于一般的对流边界：第十三页，共二十七页，2022年，8月28日④对于对流边界上的外角：⑤

对于对流边界上的内角c.

二维稳态温度场的结点温度方程组

第十四页，共二十七页，2022年，8月28日式中的利用计算机即可求解该方程组，获得n个结点的温度值。根据上述推导，就可确定每一个结点与其它相邻结点的方程，共可获得几个方程得出如下方程组：

第十五页，共二十七页，2022年，8月28日第二节

一维不稳态导热的分析解对于一维无内热源的导热，能量方程可简化为：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：为了求解方便，常假设α值不随温度和位置而变化，而是一常数。第十六页，共二十七页，2022年，8月28日于是上述方程就为一常系数线性偏微分方程，在特定初始条件和边界条件，可获得唯一解。

①初始条件，即θ＝0时，物体内部的温度分布情况，最简单的初始条件是：第十七页，共二十七页，2022年，8月28日②边界条件：指物体两端点处的温度随时间变化的情况分为三类：a.b.c.第十八页，共二十七页，2022年，8月28日半无限固体的不稳态导热：

如图：为一半无限固体，左端位于yoz平面上，右端面为无限。它可以是无限厚的平板或无限厂的圆柱体等。ztyxo第十九页，共二十七页，2022年，8月28日

设导热开始时物体的初始温度为t0。然后突然将左端面温度变为ts，而且在过程中维持不变。除两端面以外，其余表面均绝热。由于右端在无限远处，其温度在导热过程中维持其初始温度t0不变。这类传热可作为一维不稳态处理能量方程为：第二十页，共二十七页，2022年，8月28日

根据所给的初始条件和边界条件，上述偏微分方程可采用Laplace变换法求解，也可采用变量置换，将其化为常微分方程求解。（过程略）最后结果为：第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日

实际上某处距离x处，经历某一足够长时间后，该处的温度便开始以渐近线的形式趋近于ts。

θt0

θts

ts

某处x冷却过程中t~θ曲线加热过程中t~θ曲线第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日有了温度分布方程，就可以求经左端面流入物体或自物体流出的热流速率。在0～θ时间间隔内，总热量通量为：第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日

实际例子：

（1）地面气温突然变化时土壤温度随之变化。

（2）大建筑物表面温度变化时，内部温度随之变化

（3）大块钢锭的热处理等。第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日大平板的不稳态导热

具有两个平行端面的大物体内的导热问题，可作为一维导热处理。平板两个端面维持恒温的不稳态导热。l2l0x设两板间距为2l，