第二章麦克斯韦方程

第二章麦克斯韦方程第一页，共六十八页，2022年，8月28日麦克斯韦方程组是揭示了时变电磁场基本性质的基本方程组；时变电磁场中，电场和磁场相互激励，形成统一不可分的整体。全电流定律

电磁感应定律

磁场的散度定律（磁通连续性原理、不存在磁单极子）电场的散度定律（电场的通量定理）2.1麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组H：磁场强度，B：磁感应强度；E：电场强度；D：电位移矢量第二页，共六十八页，2022年，8月28日第一项全电流安培定律物理意义：表示磁场的“漩涡源”是由传导电流和位移电流；什么是传导电流？由电荷的定向运动形成的电流什么是位移电流？电场随时间变化形成的“电流”Maxwell对位移电流的认识Maxwell认为：电流由两个部分组成，一部分为传导电流，另一部分他称之为位移电流，即总电流密度：第三页，共六十八页，2022年，8月28日第二项推广的法拉第电磁感应定律Faraday电磁感应定律Faraday从1820年开始探索磁场产生电场的可能性，1831年实验发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，闭合导线中有感应电流产生，感应电流方向总是以激发磁通量对抗原磁通量的改变第四页，共六十八页，2022年，8月28日

进一步的实验还证明:只要闭合曲线内磁通量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回路上，同样存在于非导体回路上，并满足：曲面磁通量改变率回路的电动势第五页，共六十八页，2022年，8月28日Faraday电磁感应实验定律表明：变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场的性质，变化的磁场是其旋涡源。（变化）磁场电场第六页，共六十八页，2022年，8月28日第三项和第四项第三项指的是不存在独立的磁荷（磁单极子），磁力线是闭合的（即连续）第四项指的是存在独立的电荷，无旋电场的电力线是起于正电荷，止于负电荷电流连续性原理：旋度的散度恒为零第七页，共六十八页，2022年，8月28日无源麦克斯韦方程组思考：麦克斯韦方程的物理意义是什么呢？第八页，共六十八页，2022年，8月28日麦克斯韦方程组揭示的物理涵义时变电场的激发源除电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除传导电流以外，还有变化的电场；

电场和磁场互为激发源，相互激发；

电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量；

麦克斯韦方程预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。（他的这一预言在Maxwell去世后（1879年）不到10年的时间内，由德国科学家Hertz通过实验证实。）说明：静态场只是时变场的一种特殊情况。第九页，共六十八页，2022年，8月28日±⊝⊝⊖

⊕⊖⊕电磁波产生电路示意图第十页，共六十八页，2022年，8月28日第十一页，共六十八页，2022年，8月28日2.2本构关系什么是本构关系？媒质电磁特性相联系的常量之间或源与场量之间的关系，又称本构方程。包括媒质分子极化、磁化和电子传导机理；本构关系是对各种媒质的一种描述，包括电介质、磁介质和导电媒质；实验表明，各向同性的媒质中，本构关系可以描述为：参考关于介质极化和磁化的分析第十二页，共六十八页，2022年，8月28日麦克斯韦方程组的限定形式在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在线性、各向同性媒质中：

将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得麦克斯韦方程组限定形式

注：麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。第十三页，共六十八页，2022年，8月28日§2.3电磁场的边界条件思考：边界上的电磁场问题实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。第十四页，共六十八页，2022年，8月28日所谓边界条件，即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。第十五页，共六十八页，2022年，8月28日由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以Maxwell方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件。第十六页，共六十八页，2022年，8月28日本节内容2.3.1不同介质分界面上的边界条件H的切向分量的边界条件E的切向分量的边界条件D的法向分量的边界条件B的法向分量的边界条件2.3.2理想导体表面的边界条件第十七页，共六十八页，2022年，8月28日H的切向分量的边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，并且宽度趋于0；电流垂直纸面向里。利用全电流的安培环路定理可以得到：第十八页，共六十八页，2022年，8月28日E的切向分量的边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，并且宽度趋于0；利用推广的法拉第电磁感应定律可以得到：第十九页，共六十八页，2022年，8月28日D的法向边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。让h→0，得到：第二十页，共六十八页，2022年，8月28日B的法向边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。h→0，得到：第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日介质边界条件一般表达式:第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日2.3.2理想导体表面的边界条件什么是理想导体？电导率无穷大的导体称为理想导体。通常电导率很大的导体都认为是理想导体，如金、银、铜等常见金属。理想导体的特点：电力线不能进入理想导体内部，故其内部不存在电场；由于理想导体内部不存在电场，所以也就不存在时变磁场；第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日一侧为导的边界条件表达式结论：电力线垂直于金属表面，磁力线平行于金属表面第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日2.4复数形式的麦克斯韦方程2.4.1正弦电磁场的复数表示法2.4.2复数形式的Maxwell方程2.4.3复数形式和瞬时值形式的转换第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日2.4.1正弦电磁场的复数表示法电路中正弦量有三要素：振幅、频率和相位。正弦电磁场也有三要素：振幅,频率和相位。第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示用复数的实部表示式中:称为时谐电场的复振幅第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日故式中称为时谐电场的复矢量时谐场对时间的导数二、复数形式的麦氏方程由麦氏第一方程设为时谐场第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换约定不写出时间因子，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数形式同理其他三个麦氏方程

用复数形式研究时谐场称为频域问题。

复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义,

2.实数形式代表真实场，具有明确物理意义；3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；（称为二次式），只能用场量的瞬时形式表示。说明:第三十页，共六十八页，2022年，8月28日2.4.2复数形式的Maxwell方程第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日2.4.3复数形式和瞬时值形式的转换若复数形式为：则瞬时值形式为：第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日2.5坡印廷定理及坡印廷矢量2.5.1坡印廷定理坡印廷定理坡印廷矢量2.5.2正弦电磁场的坡印廷定理和坡印廷矢量电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律——坡印廷定理坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷定理(Poyntingtheorem)关于电磁场中能量流动的一个定理。1884年由J.H.坡印廷提出。他认为电磁场中的电场强度E与磁场强度H叉乘所得的矢量,即E×H，代表场中能流密度，即在单位时间内穿过垂直于此矢量方向的单位表面的能量。第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日坡印廷定理在时变场中，能量密度为体积V内储存的能量为（1）（2）电场能量密度磁场能量密度第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日代入式(3)得式(2)对t

求导，则有矢量恒等式（3）MaxWell方程单位体积内的焦耳热损耗第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日

物理意义：穿入闭合面的电磁功率等于闭合面内电场能量和磁场能量随时间的变化率加上封闭面内的总损耗功率。坡印廷定理第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日坡印廷矢量

表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。W/m2定义坡印廷矢量电磁波的传播第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日2.5.2正弦电磁场的坡印廷定理和坡印廷矢量由前一小节定义的坡印廷矢量——坡印廷矢量的瞬时值对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值——平均坡印廷矢量正弦变化矢量式中为相应的复矢量虚部实部于是第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日故其平均值平均坡印廷矢量

与时间无关。第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日主要内容Maxwell方程组、宏观电磁场的边界条件及坡印廷定理第二章麦克斯韦方程麦克斯韦方程组本构关系电磁场的边界条件复数形式的麦克斯韦方程坡印廷定理及坡印廷矢量第四十页，共六十八页，2022年，8月28日补充

介质极化、磁化和传导电流分析介质的基本概念介质是物质的一种统称，由原子或原子团、分子或分子团组成。介质内部大量带电粒子的不规则的运动，在微观尺度上产生随机变化的电磁场，宏观上相互抵消，没有外部影响和作用的介质呈中性。第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日当介质在外部宏观电磁场作用之下，介质中带电粒子产生宏观的规则运动或排列，形成宏观上的电荷堆集或定向运动，主要表现出三种形态：①介质的极化(Polarization)介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日没有外加电场有外加电场第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日②介质的磁化(Magnetization)介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩H第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日③传导电流(Conductioncurrent)介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，导致带电粒子的定向运动，形成电流第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日3.极化强度概念极化强度矢量P，定义为单位体积中分子或原子团的电偶极矩的叠加第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日极化强度的特点：①极化强度P是外加电场强度的函数②极化强度P可以是空间的函数③极化强度P还可能是时间的函数一般情况下，P是电磁场强度、时间和空间的复杂函数。对于线性均匀介质，P仅与外加电场强度成正比。第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日极化使得分子或原子的正负电荷发生位移，体积元内一部分电荷因极化而迁移到外部，同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部有可能出现净余的电荷，称为束缚电荷。2.束缚电荷第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日（2）不均匀介质或由多种不同结构物质混合而成的介质，可出现极化电荷。（1）线性均匀介质中，极化迁出的电荷与迁入的电荷相等，不出现极化电荷分布。第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日（3）在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于两种物质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。第五十页，共六十八页，2022年，8月28日束缚体电荷密度为：第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日束缚面电荷密度为：第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日

当外加电磁场随时间变化，极化强度矢量P和束缚电荷也随时间变化，并在一定的范围内发生运动（其物理实质是正负电荷位移的距离量随时间变化），从而形成极化电流，它们同样满足电荷守恒定律。应用电荷守恒定律，得到极化电流的表达式为：

4.极化电流问题：极化电流与传导电流的异同点？第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日介质的极化过程包括外加电场的作用使介质极化，产生束缚电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，达到平衡。介质中的电场既有外加电场的贡献，同时也有束缚电荷产生的附加电场。5.介质中的电场、电位移矢量第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日介质中的电场的最终求解必须知道电场E和电位移矢量D之间的关系（物质本构关系）。这种关系有两种途径可以获得：1)直接测量出P和E之间的关系2)用理论方法计算P和E之间的关系第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日对于线性均匀各向同性介质，极化强度P和电场强度E有简单的线性关系：第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日为了描述介质在外加磁场作用下磁化程度，引入磁化强度M，定义为单位体积中的磁偶极矩的矢量和：6.磁化强度与磁化电流密度第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日与外加磁感应强度矢量B

垂直的横截面上，存在数量巨大的分子电流环。对于均匀物质，分子电流大小相等，在相邻电流环的交界线上因电流的方向相反，大小相等，不出现剩余的电流。第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日对于非均匀物质，在相邻环的交界线上尽管电流的方向相反，但大小不等，将出现剩余的电流，这种因磁化出现的电流为磁化电流。第六十页，共六十八页，2022年，8月28日在两介质交界面的薄的层内，存在面磁化电流分布介质2介质2介质1第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日7.介质中的Biot-Savart定律、磁场强度磁化和极化电流同样也激发磁感应强度，介质中的磁感应强度应是所有电流源激励的结果：第六十二页，共六十八页，2