认识三角形第五章

第五 三角本章共分七节：12图形的全等3全等三角形4探索三角形全等的条件5作三角形6角形全等测距离7探索直角三角形全等的条件.间的1直角三角形两锐三角形的表示法：△ABC△BAC三要素：边图5-1-1AB、BC、AC，顶点A的边BCa，顶点B对AC表示为b，顶点C的边ABc 图5-1- 图5-1- 图5-1-2：5-1-3所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形.2:三角形三边之间的关系?.（1）∵527<8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形（2）∵581313，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形（3）∵55=10>8，两较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形3：3、5、7、10（）A、 D、变式练习4：已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围 .若X是奇数，则X的值是 若X是偶数，则X的值 变式练习5：已知a、b、c是三角形的三边长,试判数式(a-b-c)(a-b+c)的值与0的大小关系,并说明即：△ABC中A∠B+∠C=180由“三角形的内角和等于180°”这个性质还推出了直角三角形的一个性质：直角三角形的两个锐角互余.即：Rt△ABC中，∠C90°，则∠A∠B=90（acutetrangle）（righttriangle）（obtusetriangle）“三角形的内角和180°”揭示了三角形三个内角之间的一个确定的数量关系，所以求解一个三角形解法一：设这个三角形的三个内角分别为x,3x,5x,则x+3x+5x=180°解得:x=20所以这个三角形的三个内角分别是200°，１０019

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等于35，那么它的另一个内角等 度7：5-1-4,在△ABC图5-1- 变式练习8：.如图5-1-5，已知∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，可得：∠1= .分线.如图5-1-6，AD是∠BAC的角平分线1由定义可知：如果AD是∠BAC2

我可利量器进量画三角分可折的法到条平线.三. 5-1-如图5-1-7,EBC的中点，线段AE是△ABC的中线.1由定义可知：如果AE是△ABC的中线，那么有 2变式练习9：.如图5-1-8，△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，图中相等的线段和相等的角 图5-1- 变式练习10：.如图5-1-9，∠ACE=∠BCE.BD=CD，图中三角形的特殊线段.5：三角形的高线三角形的高.（height）如图5-1-10，线段AGBC边上的高.注意：三角形的高是由定义可知：AG是△ABCBC另两条高恰是它的两条直角边（图5-1-12）.角形外.（图5-1-13）图5-1- 变式练习11：.图5-1-14中三角形的高 5-1-AD △ABD的高 在△ABF中 是AF边上的高,在△ACE中，CE CD是 边上的高，是 边上的高，也是 角平分中高3:如图5-1-15，在△ABC中，AD、BE、CF是三条中线，它们相交于同一点G，问△AGF的面积和△AGE的面积是否相等？为什么？5-1-1解析:寻找这两个三角形的关系.要求面积，需知面 2

.并且会运用它.所以，△ABD的面积和△ADC的面积相等，同样道理可知：△BGD的面积与△CGD的面积相等.利用等式的性质可以知道：△ABG的面积与△AGC的面积也相等.又因为BE、CF是△ABC的中线.所以由“同高等底的两个三角形的面积相等”可以知道：△AGF与△BFG的面积相等，△AGE与△GEC的面积相等.从而可以知道：△AGE与△AGF的面积相等.13:5-1-16，锐角△ABC中，BDCE是两条高，相交于点M，BFCG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数.5-1-点拨:本题的易错之处是看到3+6>2就轻易结论,从而导致错误.2:钝角三角形的高的画法在画三角形的角平分线,中线和高线的时候,要注意这三种线都是线段,而不是射线或直线.另外,钝角三角形.1：复杂图形中三角形的个数5-1-例如这幅小猫的图案（图5-1-17）包含着若干个三角形，要想数出其中有多少个三角形，并不是一件特门别类地进行计数，从头,身体和脚分别来数,就可以解决问题了．这样我们就可以准确地数出共有20个三:5:一个零件的形状如图5-1-19所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别等于30°和20°，李DCB的度数不等于142°即可.为此，可连接BD构造三角形.解：连接BD，因为∠A=90°，∠ABC=30°，∠ADC=20°，图5-1- 图5-1-15:一个大型模板的设计要求是模板的BA边和CD边相交成50°的角，DA边和CB∠B的度数相差多少时，模板刚好合格6:如图5-1-21，△ABC中，I是内角平分线AD、BE、CF的交点，问∠BIC与∠A∠CIA与∠B呢？∠AIB与∠C呢？说明理由:义1 2 2

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例7:某在某海域进行实战演习,岛礁A的周围方圆10千米内的区域为区域,有一艘海船误入离A4千米的B处,为了尽快驶离区域,该船应沿哪条射线方向航行?为什么?分析:如图5-1-22,渔船要想尽快离开区域,必须走最近的路程.易知沿AB方向走BC距离最短,用三角形三边关系定理证明图中BD＞BC即可.解:AB方向行驶,理由:设射线AB与圆交于点再在图上任取一点D(不在直线AB上,且不与点C重合),连结ADBD，进而在△ABD中有AB+BD＞AD(三但半径AD=AC=AB+BC,∴AB+BD＞AB+BC,图5-1- 图5-1-16:已知△ABC分别为a、b、c,化简:│a-b-c│+│b-c-a│+│c-a-17:5-1-23,4ABCD4修站H,试问维修站H处,才能使它到4HA+HB+HC+HD由.18:（2007永州市） 5-1- （2006湖南娄底）用长为5cm，6cm，7cm的三条线段围成三角形的是 随机B．必然C．不可能D．以上都不三角形及相关概念（三角形三边之间的关系及应用（三角形的内角和定理及应用（三角形内角和定理的推论及应用（三角形中的三条重要线段（判断三条线段能否成三角形（由内角和定理求相应的角（三角形的三条线是线段而不是直线或射线（钝角三角形的高的位置及画法（假设这个球体是地球．三角形的底边AB在赤道上，图中与赤道相交的两条线AC，BC是经线，它们相交于北极，从而构成三角形ABC．因为球面角是由形成该角的两条弧所夹的角来度量的，而已知经线个三角形的内角和大于180°．5.1（P137）1.6个三角形.问题解,在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°所以∠B+∠C=100°因为∠B=∠C所以∠B=∠C=50°5.2（P141）知识技设三个角分别为3x,2x,x,3x+2x+x=180°,x=30°则三个角的度数分别为30°,60°,90°.x3.设这个角为x,2

=90°,x=60.即这个角是4.（1）有三个直角三角形,分别是△ABC，△ACD,△BCD直角边和斜边略（2）∠1和∠C互余,∠2和∠A相等.∠ACB=40°.当轮船距离灯塔C最近时,解法一：设这个三角形的三个内角分别为x,3x,5x,则x+3x+5x=180°解得:x=20所以这个三角形的三个内角分别是200°，１０01解法二9

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5.3（P144）1（1）∠DAC，∠BAC21∠ADB=180°-2联系拓

知识技问题解提示:A,B两点作对边的垂线,两线交于一点,过这点作AB的垂线.B4.1〈X〈7，35，两，2、46，5.ABCa+c>b,a<b+c,因此a-b+c>0,a-b-7.∠ADB∠B CE是△ABC的角平分线；AD是△ABC的中线；ED是△EBC的中线；CF是△ACD的角平分线.△ABD的高是AD、（2）在△ABF中，BFAF边上的高.在△ACECEAC边上的高.CD是△ACEAE边上的高，是△ADCAD边上的高，也是△EDCED边上的高.角平分AAA中AAA高AA、A、因为BD、CE是△ABC的因为BF、CG是△ABC的角平分线12

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（1）OC边对应∠OECCE边对应∠COEOE边对应∠OCEBACDE，则∠E=50DACB的延长线于点F，则∠F=30°，所以∠CDF比∠CBE即∠D比∠B20°时，模板刚好合格维修站H角线ACBD求,现不妨任取异于H一点H′,连结AHBH′、 ①+②得∴对角线AC、BDH到4小220B2图形的全等180度将一个图形分成几个全等1:什么叫全等图形观察图5-2-15-2-形状大小一样.象这样两个能够完全重合的图形称为全等图形（congruentfigures）.1:找出图5-2-2中`的全等图形. 5-2-变式练习1:下列说法正确的个数为 用一张像底片冲出来的10张一寸是全等 B.2 C.3 D.42:观察图5-2-3中哪些是全等图形?为什么 5-2-32:5-2- 5-2- 画法 画法 画法 画法5-2-5-2-图（2）中的两个图形的面积相同，但形状不同，所以这两个图形也不是全等图形.全等图形必须是两个 分析：图中共有36分成4应是9格;因为第一份中要有“巧分图形”四个字,所以相同的两个字必须分支;又因为分成的每一份一定要通过大正方形的中心点,所以正方形解：如图5-2-9方案.图5-2- 图5-2-6:5-2-10AD分点为E,FEABCFG,得凸多边形ABCGE,请用四个这样的小多边形形AEAE DD 5-2-7:请将如图5-2-11全等图形,你还能将它分成三个、四个、六个全等5-2-变式练习8:（2007山东）一个正方体的侧面展开图有（ B.3 C.4 D.69:（2006江西）下列 A.4 B.3 C.2 D.1全等图形的定义（全等图形的特征（把一个图形分成几个全等的图形（形状相同的图形是全等形（面积相同的图形是全等形（埃舍尔.1898年出生在荷兰的Leeuwarden，全名叫MauritsCornelisEscher他把自己称为是他在学校里那的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业.他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展,这个画展得到了《时代》的好评,并且获得了世界范围的名望.在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家他们认为在他的作品中数学的直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果对于学”.5-2-12为他的几幅作品.从中你能找到全等的图形吗?5-2-5.5（P151）3.A与I，B与G，C与D，E与J，F与问题解381.等如图所示DB分析：只有第（2）个正确

35-3-1以5-3-的一种全等三角形的性1:全等三角形的概念及表示方法能够完全重合的两个三角形，就是全等三角形.全等三角形是全等图形的一种5-3-如图5-3-2所示,△ABC与△DEF重合，也是全等的,我们记作:ABC≌DEF.这时，点A与点D重合.B与点E重合.我们把这样互相重合的一对点就叫做对应顶点；ABDE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角.对应边对应角1:如图5-3-3，图中的两个三角形是全等三角形，且AC=AD.说出这两个三角形的对应边和对应角分析:根据题意知:ABC≌ABD，则其对应元素如下：对应边：ABAB，BCBD，ACAD；对应角C D图5-3- 图5-3-1:取一张长方形纸片,A、B、C、D表示它的四个顶点，将其折叠，使点B与点D重合，折痕为E、F，如图5-3-4所示.∵点B与点D完全重合∴△BEF与△DEF完全重合，得△BEF与△DEF全等，则对应顶点分别为：B与 对应，E与 对应，F与 对应边分别为：BE 对应，BF 对应，EF 对应角为：∠BEF 对应，∠EBF 变式练习2:如图5-3-5,△ABC与△ABD全等,∠D=∠C,∠DAB=∠ABC.将对应顶点写在对应位置上,确的写法是（）5-3-5-3-A.△ABD≌△B.△BDA≌△C.△ABD≌△D.△ADB≌△2:解:因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE cm,∠B=FAF 图5-3- 图5-3- 图5-3-变式练习4:如图5-3-8所示，△ABC≌△CDA，AC=7cm，AB=5cm，BC=8cm，则AD的长是 A、7cm B、5cm C、8cm 变式练习5:如图5-3-9,若△ABC≌△ADE,∠EAC=30°,求∠BAD的度数.1:本节易出错误的地方是在表达两个三角形全等时，忽视对应点的位置导致对应线段和对应角出例3：已知，如图5-3-10，若△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C，图中的对应边与对应角 图5-3- 图5-3-1：寻找对应元素的方法（一）翻折如图5-3-12，BOC≌EOD，BOCEOD直线AO折180CO COD 图5-3- 图5-3- 图5-3-旋转如图5-3-13，COD≌BOA，CODBOA着点O转180得到的平移如图5-3-14，DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACBBC方向平行移动而得到的4：拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形，把这两个三角形一起放在下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能5-3-15中的各个图形.5-3-解：图（1）是把△ABC沿直线BCBC那样长的距离，可以变到△ECD的位置.图（2）是把△ABCBC180°，可以变到△DBC的位置.图（3）是把△ABC以点A180°，可以变到△AED的位置图（4）是把△ABC沿直线AB向下移动线段AD的长的距离，可以变到△DEF的位置图（5）是把△ABCB为中心旋转180°后，沿直BCBD那样长的距离，可以变△EDF的位置图（6）是把△ABCA为中心旋转∠BAD的度数.可以变到△ADE的位置图（9）是把△ABC绕边AC180°，可变到△CDA的位5-3-6如图5-3-16,△ABC≌△ADE,ABAD,ACAE边,那么∠DAC=（ 1:如果两个全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连结对应顶点的边是对应边，对应例如，图5-3-17中所示的△ABC与△A′B′C′是剪出的两个三角形纸片.如果点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，那么对应相等的元素为：AB=A′B′,BC=B′C′图5-3- 图5-3- 图5-3- 图5-3-方法2:如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边；第三个角为对应角方法3:如果两个边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角；第三条边为对应边.例如，图5-3-17中，如果BC=B′C′，AC=A′C′A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠方法4:公共边是对应边.方法5:公共角或者对顶角是对应角5-3-19中的△OCD，是通过△OBA旋转得到的，其中，∠AOB与∠COD是对顶角，则它们就是对应角，其对边也是对应边，即AB=CD.方法6:按照全等三角形的对应顶点中字母的出现位置来确定对应元素，在相同位置上出现的字母所表示本节在中常考的问题是利用全等三角形找对应边或对应角,以及利用全等三角形的性质说明线段或角.. 112 5-3-全等三角形的概念（全等三角形的性质（角（）利用全等三角形的性质说明线段与角相等（点是对应顶点（）全等三角形的所有的边和角相等（祖冲之（公元429500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3. 与3. 分数形式的近似值，取22/7为约率，取355/133为密率，其中355/133取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新．称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重随堂练习（P154在△ABC中，∠ACB=85°，∠B=30°，根据三角形的内角和等于180°可得因为△ABC≌△AEC习题5.6（P155知识技∠C/=25°,B/C/=6cm,A/C/=4cm问题解DEF;DEDFEF;∠DEF∠EDF∠EFDC解析：ADCB是对应∠BAC-∠BAE∠DAE-∠BAE，即∠BAD依次取全等表达式中的第二、三个字母，则BC=DE.类似的，我们可以确定它们的对应角：依次取全等表4情况下可以说明两个三角形全等呢？是不是只能按照对应边相等及对应角相等进行一一比较才能确定两个三角形全等呢？有没有简单的方法来说.1:探索三角形全等的条件（一）若给出一个条件(一边、一角通过画一个有一条边为5厘米，有一条边为7厘米的三角形，画一个有一个角为6040的三角形以及画一个有一个角为30度，有一条边为6厘米的三角形，我们也可以画出多个.由此我们可以知识点2:判断三角形全等的条件：边边边画一个三边分别为3厘米,5厘米,6厘米的三角形5-4-AB在△ABH和△ACH

BH

AH在△ABD和△ACD

ABBDDH

BHCH,在△DBH和△DCH中BD

DH1：5-4-2:5-4-3，AB=DC,AD=BCBAD△DCB等理由图5-4- 3:5-4-4，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF3: 2:5-4-5，点C是线段AB的中点，∠A=∠ECB，AD=CE，ADCADCD∠E吗5-4-点C是线段AB的中 点拨:根据SAS和全等三角形的性质：全等三角形对应角相等4:观察图5-4-6和图5-4-7中每个图形中的两个三角形，哪些条件相同，写出来图5-4- 5:5-4-8，OBD的中点，∠D=∠B，△AOD与△COB全等吗？为什么？如果将∠D=∠B改为∠A=∠C,△AOD与△COB全等吗？为什么？5-4-4:边及夹角对如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两边分别为5cm，7cm，它们所夹的角为40°，我们不论画多少三角形都一定是全等的.于是我们得到结论：为40°，我们可以画出如图5-4-95-4---∥，＝,.与△?图5-4-分析:要说明△ADFCBEAD∥BC可得到角相等,AD＝CB的条件外，还需要AF＝CE,必须利用已知得到AF＝CE.解:AD∥BC,得∠A＝∠C,AE=CF,可得ADAC△ADF≌AF 且CBE师测出AB吗？8:已知如图5-4-13，△ABC中，∠ACB=90°，延长BCB，使CB=BC，连结A则△ABB是等腰三角形吗?为什么5-4-:那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？1:在说明两个三角形全等的时候，一定要注意比较的都是对应边和对应角，如果所找的不是对应10：已知：如图5-4-14,∠BAC=∠EDFC=∠F△ABC≌△DEF（ 图5-4- 图5-4- 图5-4- 图5-4-易错剖析.如图-417C和△D，∠B∠，=，C和△ABD并不全等18所示，DE∥BC，ADE和ABC它们对应相等的关系是：“AAA”，显然不全等）图5-4- ..4：已知：如图5-4-19，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE解：DC⊥CA，EA⊥CA∠C=∠A=90°在△BCD≌△EAB中CDCCB点拨：本题是用的

图5-4- 线段或角的数量关系一般是相等，或者是2倍关系，或者是两线段之和等于第三条线段..5:已知：如图5-4-21，△ABC和△DEC都是等边三角形，各角都等于ADBE相等吗？为什么解：△ABC和△DCE都是等边三角形∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE在△ADC与△BEC中ACACDCD

点拨：本题是用了SAS说明两个三角形全等及全等三角形对应边相等的性质.6：已知：如图5-4-22，1＝2，AD＝AE.OBOC相等吗？为什么？5-4-

E 5-4-OBOC分别在BOD和COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件.根据已知条件，可说明ABEACD.OBOC相等.理由：在ABE和ACD中A ABAEADABEACD（ASA）B2 AD＝AEBD1＝2在BOD和COEBD BODCOEOB＝OCB，∠三角形全等是初中数学的最基础也是最重要的知识.而有关全等三角形的探索题目有多种,,.例7:（1）如图5-4-24，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是图5-4- 图5-4- 图5-4-（2）如图5-4-25，AB、CD相交于点O，AD=CB，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件 （1）∠ABC=∠ABD和∠ACB=∠ADB中的任一个；（2）隐含有∠AOB=∠COD，利用已知AD=CB，故AO=OC或OB=OD.点拨:两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS，结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是变式练习15:已知，如图5-4-26，∠1=∠2，AC=AD，能使△ABC≌△AED的条件有 Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1图5-4- 解:已知：如图5-4-27，在△ABD△ACEAB=AC，AD=AE，∠1=∠2，则，变式练习16:如图5-4-28，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予说 ，你得到的一对全等三角形是 ≌ EBFEB C图5-4- 图5-4-本节内容在中考查的比较多,要求灵活地运用三角形全等的判别方法说明两个三角形全等,进而解决线变式练习17:（2007福州）如图5-4-29,点D和点E分别段AB和AC上,BE和CD相交于点要使ABE≌ACD,需添加的一个条件 如图5-4-30，A、E、B、D△ABC与△DEF中，ABDE，ACDF，AC∥DF 19:（2006年大连市）5-4-31，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并说明它和图中已有连 1三角形全等的判别方法（1.边边角不能说明两个三角形全等（2.利用三角形全等解决与线段或角相等有关的2.角角角不能说明两个三角形全等（（3.在运用定理说明两个三角形全等时,必须是对3.通过添加辅助线构造全等三角形说明线段或边和对应角,否则不能说明两个三角形全等（等量关系（读师从张恭庆教授（现中国），1984年获得.同年，他被公派赴美位.1990年在召开的国际数学家大会上应邀作45分钟报告.1992年起任纽约大学柯朗教授.自1998年起，受聘为教育部“长江计划”在的特聘教授.Kahler-Einstein度量研究中做了开创性的突出贡献，田刚教授获国家基金委1994年度沃特曼奖，1996年，他获数学会的伦奖.5.7（P160）问题解5.8（P164）问题解（1）△ABC≌△EFD,依据是（2）△ADC≌△CBA,依据是能,因为根据SAS△EDH≌△FDH,5.9（P167）1.△ACE≌△ADE△ACB≌△ADB,依据是数学理问题解观察图形,可知未被墨水污染的有两条边及其夹角,根据SAS可以作一个与原来一样的三角形△EHJ≌△FIH△HIJ的三边相等.由AF=DCAF-CF=DC-CF,在△ABC和△DEF,由AB=DE，BC=EFAC=DF,解：由边角边得，△ACBDCE，得△ABB是等腰三角形,理由:∠ACB=90°B、CB在同∠ACB=∠ACB=90°(平角定义在△ACB和△ACBB/CB

ACB/

△ACB'AC所以AB=AB',即△ABB是等腰三角形11.55BAD理由：∠BAC=∠DAE∠BAD=∠CAE1BD

CE⊥AB，DF⊥AB∠CEBCEAE=BFAF=BE,CEBAFDAFBD=AB+ED理由：说明ABC和CDE全等.则得到BC=ED，AB=CD.解析:已知∠1=∠2，AC=AD，从而∠DAE=∠CAB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以有AB=AE，∠ACB=∠ADE和∠B=∠E.AC=ADAB=AB，故根据SSSSAS AC∥DF，AD，在△ABC和△DEF中ABAC点拨：此题为探索、猜想、并证明的试题.猜想是一种次的思维活动，在先观察的基础上，提出一

5我们已经掌握了用尺规作线段和角.边和角是三你能用尺规作出一个三角形，使它满足已知条件吗？这节课我们就来利用尺规作一个三角形与已.作三角1:已知三角形的两边及其夹角求作这个三角形图5-5- 图5-5-分析：假设这个三角形已作出，如图5-5-2从图中可知，是两边夹角，所以可先作一条线段等于已知线段作示1.作一条线段2.B为顶点，以BC3.在射线BD上截取线段1：已知两直角边,求作直角三角形．已 线段ａ、ｂ（图5-5-求 △ＡＢＣ使∠Ｃ＝90°，ＢＣ＝ ＡＣ＝图5-5- 作法 １．作∠ＭＣＮ＝２．在射线ＣＮ上截取ＣＢ＝ａ 在射线ＣＭ上截取ＣＡ＝ｂ．３．连结ＡＢ．注意:本题实际上是已知两边及其夹角求作形全等的边角边公理判定△ＡＢＣ就是1:a，∠α（图5-5-求作：△ABC，使AB=AC=a,5-5-已知：∠α，∠β，线段c（图5-5-5-5-作图1.2.在射线AF上截取线段3.B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β.BEAD于点△ABC 5-5-5-5-作图1.作一条线段例2：已知两边和其中一边上的中线 已知ａ、ｃ、ｄ（图5-5-求作＝ｃ,＝ａ,ＢＣ边上的中线ＡＤ＝ｄ分析:我们可以说明“如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等那么这两个三角形全等”．循着推理过程我们可以完成本题的作图．警示在作图题中,警示在作图题中, １．作△ＡＢＤ使ＡＢ＝ｃＡＤ＝ｄ,ＢＤ＝ａ．＝３．连接ＡＣ．点拨:依据三角形全等的边边边公理先作出基础三角形△ＡＢＤ又依据边角边公理 ＡＤＣ从而完成△ＡＢＣ的作图．从本题的作图步骤可以看出三角形奠基法的作用．5-5-3：已知：线段a,b(a＞b)如图5-5-求作：△ABC,AB=AC=a, 易错剖析:在作三角形时，不一定知道三个条件就一定能作出三角形，例如知道三个角的度数就不能作出只要知道三角形的三个基本元素，就可以作出唯一的三角形 用量角器作一个角等于已知角也是尺规作图的一种 已知两边和一角一定能做出唯一的三角形. 作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段是尺规作图中的最常用的基本作图之一（ 变式练习7：利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ 1：三角形作图的综合运用5-5-分析:已知三角形,求作与它全等的三角形,只要选取三个对应相等的元素来做,根据三角形全等的条件,可以:（）（）3）.;;,NFE=∠ACB;MENF交于点D.则△DEF就是所求作的三角形EF=BC（38：已知,如图△ABC（5-5-13）.图5-5- 2：复杂图形的作图几何作图题是建立在基本作图基础上的．复杂的作图题常用三角形奠基法先画一个三角形以它为基础作直径AC垂直于直径OC的中点E为圆心，EB为半径画弧交OA于点BFB点起依次截取就可得到正五边形的五个顶点.

5-5-变式练习10：（2007）已知下列各元素，一定能作出三角形的是（） C.三角形的两边及一角D.三角形的两角一边已知三角形的两边及夹角作三角形（已知三角形的两角及夹边作三角形（已知三角形的三边作三角形（正确的使用作图语言（正确的应用条件作出三角形（1985年6月12日卒于东京，、1924年金坛中学初中毕业，后刻苦.1930年后在任教.1936年赴英国大学、学习.1938年回国后任西南联合大学教授.1946年赴，任普林斯顿数学研究员、普林斯顿大学和伊长，中国数学学会理事长、名誉理事长，数学竞赛，国家国外，第三世界 ，、中国科学技术大学数学系、副校长，中国科协，委员等职.曾任一至六届.主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、数值积分特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳.，发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法40余年来其主，《多复变型域的和分》精密分析矩技巧结合表示，具给了典域完整正交而出柯与松的达这工在和分微方等究有广深入的影响，曾获国自然科学一等奖倡导应用学与计算的研制，曾《统筹方法《优选等多著作并广应.王教授作近代论法应研究面重成果被为“-法”发数教和学及面出重贡.究 20篇并专和普著数十种.5.10（P171）在射线CM上截取CA=a,在射线CN上截取（1）作线段（2）以A为顶点，以AB为一边，作∠MAB=∠,B为顶点，以AB为一边，作∠NBA=∠2射线AM与BN交于点C,则△ABC即为所作的三角形.图略.(2)分别以点A,B为圆心,2a为半径画弧,两弧交于点C,（3）连接AC,BC则△ABC为所求作的三角问题解略在射线AM上截取线段AB=a,在射线AN上截取线段AC第1题 第3题以.C为圆心，a为半径，在CM上截取CB=aB为顶点，BC为一边作∠ABC=∠αCN于点A.连接AB，则△ABC即为所作的三角形解析：本题实际上就是已知三边，求作三角形(1)画线段(2)分别以点B,C为圆心,以a为半径画弧,两弧交于点A．连AB,AC则△ABC分别以B、C为圆心，以a为半径画弧，两弧交于A点.D

61:这个问题可用图4-6-1来表示:5-6-CCAC A例1:如图5-6-2，A、B两点分别位于一个的两端.小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，图5-6- 图5-6-分析:要测量无法直接得到的两个点之间的距离时，常常来构造三角形全等.从而得到所要的距离.如解:5-6-3，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离.:因为AD与BE相交于点，所以∠ACB与∠DCE是对顶角.从而有∠AB=∠DC.又因为CD=A、CE=B，所以由“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”可得：△.E即E、B.ACBC1:如图5-6-4，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离在地上取一个可以直接到达A、B点的点OAO并延长到C，使COAO，你能完成下面的图说明你是如何求AB的距离图5-6- 变式练习2:如图5-6-5，要量河相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使易错剖析1:本节易出错的地方是在说明两个三角形全等时用错条件,其实出错的原因还是对于全等三角形2:如图（5-6-6）的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？图5-6- 图5-6- 图5-6-解：要测量A、B间的距过点BAB的垂线BFBF上取两点C、DCD=BC，再定出BF的垂线DEA、C、E在一条直线上，测出DE的长就是A、B之间的距离.（5-6-7）理由：利用角边角说明两个三角形全等.DE的长就是A、B间的距离.（如图5-6-8）理由：是利用边角边说明两个三角形全等.3:请你测量这两个物体之间的距离.并说明利用什么数学变式练习4:请利用我军战士测隔河相望的敌人碉堡的方法,试测你校操场中旗杆底座到门的距离(不能直接测量),并验证战士的做法,你是否还有其他的方法?并与进行交流.5:在一座楼相邻两面墙的外部有两A、C5-6-9所示，请设计方A、C两点间的 图5-6- 变式练习6:如图5-6-10，一的边缘有A、B两点，试设计两种方案测量A、B两点间的距离.本节主要考查灵活运用所学三角形全等的知识测量不能到达的两点之间的距离,是中常考的内容之一.变式练习7:（2006山东）如图5-6-11,A、B两点分别位于一个的两端，小明想用绳子测量A，B间先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点CAC并延长到ECD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；DE的长就是A与B两点间的距离吗？请说明理如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？三角形全等的判别方法（利用三角形全等测量距离（选择适当的方法测量距离（的半例如从根眼的度是150厘，步就是75米.握自的长步1.5米，40540.5米81054105410405015米810.".目测"..200000050000.你.用测战士手中的半自动、冲锋枪、轻机枪等，都是消灭敌人的；可是在简易测绘上又怎么还能测量距离呢?这是根据准星的宽度能遮盖目标的情况计算出来的，所以叫准星覆盖法.工厂里制造，都是有一定尺寸的，如准星的宽度是2毫米，瞄准时眼睛到准星的距离，各种都可以直接量出(如半自动为74厘米).目标(主要是)的宽度一般是50厘米.这样，根据相似三角形成比恰好能遮住一个时，各种的距离分别是：半自动200米，冲锋枪160米，轻机枪170米；若遮住半个，就是它们距离的一半，即100米、80米和85米；若准星的一半就能遮住一个，那就是它们距离的一倍，即400米、320米和340米了.所以，只要记住准星遮盖目标的情况，就能立即估出距5.11（P175）略数学理OB1.AOCBODOD

（1）略（2）连接BO并延长到D,则OAAOBOBABC

BC

ACB可利用边角边或角边角来说明两个三角形全等,从而测量出A、B两点间的距离.图示如下 7RtABC中，什么是直角边和5-7-1:斜边、直角边定理已知线段a,c（ac）和一个直角α（如图5-7-2）用尺规作一个RtABC，使（2）在（2）在射线CM上截取线段（1）（3）以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN（4）连接1：如图5-7-3,B、E、F、C上,AF⊥BCF,DE⊥BCE,AB=DC,BE=CF,ABCD么∵AF⊥BCF,DE⊥BC∴BE+所以AFE FED图5-7- 图5-7-变式练习1：如图5-7-4，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC 或“不全等”）,根据 2：如图5-7-5，AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，AC=BD，试说明 图5-7- 图5-7-ABAC

A△ABC≌△A′B′C′，ACA

△ABC≌△A′B′CBCA

CCACCC

△ABC≌△A′B′C′，CC

BCCC

BCAC AB

2：如图5-7-7，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 分析:∠ABC与∠DFE是互余的.Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF、AC=DF.因此这两个三角形是全等的.这样，∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DFE是互余的.BCEF、AC解：CABFDE

变式练习3：图5-7-8，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF， 若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF， 若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF， 若AC=BD，AE=BF，CE=DF.则△ACE≌△BDF， 4：5-7-9,△ABC∠C=90°,AB=2AC,MAB点,点NBC,MN⊥AB.求证:ANBAC.11M 易错剖析3:如图5-7-10,在△ABC,AD线,且BD=CD,DE,DF垂直于AB,AC,请说明5-7-:F或者⊥,产生错误的原因是审题不清,没有根据已知条件结合图形找出正确的证题方法,.解:在△AED和△AFD中DEABADADRt△BEDRt△CFD中

BDDEDF

Rt△AED 直角三角形全等的判别方法和其他三角形全等的判别方法没有太多的不同,大多都具有相同的思路,.5-7-4:如图5-7-11，∠ACB=∠BDA=90°.要说明△ACB≌△BDA，需要再补充几个条件，应补充什么条ADBBCAADABADBBCAACAB

ADBBCA也可补充：∠DBA=∠CAB即DABAB

ADBBCADBAAB

DDCO 5-7-若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( A. B.C. D.

5-7-判别直角三角形全等的条件（判别直角三角形与一般三角形全等的区别与联（两边对应相等的两个直角三角形全等（..

学是式样天里出的个就狮号万之，斯数家林称，有一个号—学子高不被认是九纪伟的学，且阿米、顿称历史上个伟的学.在基德牛的字已入中的科，们工或或成为大的而斯他数仍不及甚于大基课中不现但斯肖画赫然印在10马—流最泛德国上相地现在和镑的别乔·和丽莎二. 1777年4月30，斯生德下克的伦克（rausceg，的先没有个可说为么产高这的才.没有受过什么教育，但她聪明善良，有幽默感，并且个性很强，她以97岁高寿仙逝，高斯是独养儿子.据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上的一处错误.9岁那年在公立小学读书，一次他的老师为了让学生们有事干，叫他们把从1100这些数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的桌算过程.高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50101相加，从而答案是5050.高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人.高斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学.当时的哥廷根仍默默无闻，由于高斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来.起初，高斯在做个语言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796330日19）.，已炉纯了而以的十一维样水.斯处时，是国漫.的.”那个时代的人也都称高斯为“数学王子”.事实上，纵观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义ACAD、ABCD

ABAC、OAOAAOBAOC能,数学理

问题解1.

解析:利用“HL”得到△ADB与△BCA全等,从而12

AMANAMNACNAB

,∴∠1=∠2AN

ACBD∴Rt△ABC≌Rt△BAD,∴BC=AD.在△AODBOC有CAODBOCAD复习题（P182）45度3.（1）是;（2）DE垂直于BC;（3）平分BCEF分别等于BE+EC和CF+EC,所以它们相等