第三节直线的投影

第三节直线的投影2023/3/291第一页，共七十九页，2022年，8月28日第三章直线的投影下一页返回上一页§3-1直线的投影一、直线投影图的画法

直线的空间位置是由线上任意两点决定的。画直线的投影时，可根据“直线的投影一般还是直线”的性质，在直线上任取两点，画出该点的投影后，再将其同面投影连接起来即为直线的投影。

同面投影：几何形体在同一投影面上的投影。比较A、B两点坐标值，可知AB的空间位置。第二页，共七十九页，2022年，8月28日HVWXZYABaba′b′b〞a〞直线的三面投影b,,a,,abb,a,xzOyWyH作图：1.作出直线上两点的投影2.用直线分别连接其各同面投影。第三页，共七十九页，2022年，8月28日Ｐ二、直线相对于一个投影面的的投影特性ＡＡＡＢＢＢaaabb(b)直线的投影特性1．AB∥P直线实形性2．AB∠P直线类似性3．AB⊥P直线重影性或积聚性第四页，共七十九页，2022年，8月28日

三、直线在三投影面体系中的投影特性直线对投影面的相对位置可分为三类（1）不平行于任何一个投影面的直线，称为一般位置直线（2）平行于一个投影面的直线，称为投影面平行线（3）垂直于一个投影面（平行于另外两个投影面）的直线称为投影面垂直线

(2)、(3)为特殊位置直线，下面分别予以讨论。

第五页，共七十九页，2022年，8月28日

投影面平行线

正平线//Ｖ面水平线//Ｈ面侧平线//Ｗ面

平行于一个投影面倾斜于另外两个投影面。平行线分三种：第六页，共七十九页，2022年，8月28日

水平线（//Ｈ面、倾斜Ｖ和Ｗ面）XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1、正面和侧面投影比实长短，abOX;abOYW2、ab=AB反映实长，倾斜于OX轴，反映、

角。第七页，共七十九页，2022年，8月28日XZYO正平线（//Ｖ面、倾斜Ｈ和Ｗ面）aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、水平和侧面投影比实长短，abOX;abOZ2、ab=AB反映实长,倾斜于OX轴，反映、角第八页，共七十九页，2022年，8月28日XZYO侧平线（//Ｗ面、倾斜Ｖ和Ｈ面）XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1、正面和水平投影比实长短，abOZ;abOYH2、ab

=AB反映实长,倾斜于OZ轴，反映、角第九页，共七十九页，2022年，8月28日投影面平行线的投影特性（1）直线在所平行的投影面上的投影表达实长（2）其它投影平行于相应的投影轴（3）表达实长的投影与投影轴所夹的角等于空间直线对相应投影面的倾角。第十页，共七十九页，2022年，8月28日投影面垂直线侧垂线⊥Ｗ面正垂线⊥Ｖ面铅垂线⊥Ｈ面垂直于一个投影面平行于另外两个投影面。垂直线分三种：第十一页，共七十九页，2022年，8月28日OXZYb

a(b)a

abZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、水平投影ab积聚成一点2、ab//OZ;ab//

OZ；

abOX;ab

OY

3、ab=ab=AB反映实长铅垂线（Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）AB第十二页，共七十九页，2022年，8月28日正垂线（Ｖ面、//Ｈ面、//Ｗ面）OXZYbababa投影特性：1、正面投影ab积聚成一点。2、ab//OY;ab//OY；

ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映实长。ABzXab

baOYHYWab第十三页，共七十九页，2022年，8月28日侧垂线（Ｗ面、//Ｖ面、//Ｈ面）OXZYAB投影特性：1、侧面投影ab积聚成一点2、ab//

OX

;ab//

OX；ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=AB反映实长。baababZXabbaOYHYWab第十四页，共七十九页，2022年，8月28日投影面垂直线的投影特性：

（1）直线所垂直的投影面上的投影积聚一点，有积聚性

（2）其它两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴下一页返回上一页第十五页，共七十九页，2022年，8月28日从属于V面的直线ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa第十六页，共七十九页，2022年，8月28日从属于V投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa第十七页，共七十九页，2022年，8月28日

从属于OX轴的直线ZXabaOYHYWa(b)bOOXZYABbba(b)aa第十八页，共七十九页，2022年，8月28日一般位置直线倾斜于三个投影面的直线。直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面Ｈ、Ｖ、Ｗ的倾角，用、、表示。第十九页，共七十九页，2022年，8月28日OXZY一般位置直线的投影特性ABbbabaa投影特性：1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴

3、不反映

、

、

实角与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。ZXabaOYYabb第二十页，共七十九页，2022年，8月28日

直角三角形法求解实长、倾角。1求直线的实长及对水平投影面的夹角角2求直线的实长及对正面投影面的夹角角3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角

§3-2

一般位置线段的实长

及其对投影面的倾角第二十一页，共七十九页，2022年，8月28日|zB-zA

|ABABbbaaboXO1求直线的实长及对水平投影面的夹角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-zA|ab|Z第二十二页，共七十九页，2022年，8月28日ABbbaaCXO2求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|第二十三页，共七十九页，2022年，8月28日XZYO3求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|第二十四页，共七十九页，2022年，8月28日直线实长直线实长直线实长α水平投影长△Z正面投影长侧面投影长△Y△Xβγ距离差实长投影倾角:H投影,Z，实长:V投影,Y，实长:W投影,X，实长第二十五页，共七十九页，2022年，8月28日用直角三角形法求线段的实长XOaba′b′b0b01Yb-YaZb-ZaZb-ZaαβAB实长AB实长Yb-YaXOaba′b′abAB实长α第二十六页，共七十九页，2022年，8月28日例：已知EF=30，试完成如图所示的e’f’

下一页返回上一页Xee'fα△Zf'第二十七页，共七十九页，2022年，8月28日例已知正平线AB＝30mm、

＝30°、AB距Ｖ面20mm、A点在B点的右上方，试作该直线的两面投影。XO30°b′a′3020ba第二十八页，共七十九页，2022年，8月28日试用直角三角形法确定直线AB的实长及对投影面V的倾角。例题ababXOAB第二十九页，共七十九页，2022年，8月28日投影长度a'b'Y实长投影长度a'b'实长例题

已知线段AB＝30毫米及其投影ab和a，试求出ab。baab第三十页，共七十九页，2022年，8月28日例题已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zB-zA|abab|yA-yB|ABABab|zB-zA|bXabABa第三十一页，共七十九页，2022年，8月28日§3-3直线上点的投影特性和直线的迹点ＰＡＢＣabc１２１２一、直线上点的投影特性

点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上，并且符合点的投影特性。直线上的点分割直线之比，在其投影后保持不变。

利用上述性质，可以在直线上求点和分割线段成定比。ABbbaaXOccCc第三十二页，共七十九页，2022年，8月28日HaZVWXYABba′b′b〞a〞Cc′c〞cXYHYWOZa′b′abb〞a〞cc′c〞第三十三页，共七十九页，2022年，8月28日10b,aefbf,e,a,例1E点在AB直线上F点不在AB直线上判断E、F点是不是在直线AB上。第三十四页，共七十九页，2022年，8月28日例2已知点C在AB上，求c’，c’’。XYHYWOZa′b′abb〞a〞cc′c〞第三十五页，共七十九页，2022年，8月28日

例3求点C使AC：CB=1：4如图：解：因AC：CB=1：4根据直线上点的投影特性可得ac：cb=a’c’：c’b’=1：4这样只要将aba’b’分成5等分后取一份即可求得c，c’。15下一页返回上一页Xb’a’bacc’B0第三十六页，共七十九页，2022年，8月28日例4判断点D是否在直线AB上

若D在AB上，那么应有a’d’：d’b’=ad：db因为a’B1=aba’D1=ad，D1d’不平行B1b’所以D不在AB上。下一页返回上一页XB1da’bab’d’D1第三十七页，共七十九页，2022年，8月28日试判断K点是否在直线EF上。feefkkXOYZVfefeefEFKkkkXO直接判断第三十八页，共七十九页，2022年，8月28日例题5已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV第三十九页，共七十九页，2022年，8月28日已知K点在直线AB上，试求作K点的H面投影。ababXOk'k例6第四十页，共七十九页，2022年，8月28日二、直线的迹点

直线和投影面的交点叫迹点。直线和水平面的交点叫水平迹点，通常用M(m，m‘，m”)表示和正面的交点叫正面迹点，

N(n，n`，n”)和侧面的交点叫侧面迹点。

L(l，l`，l”)

在两投影面系中的直线，最多只有两个迹点。迹点是直线和投影面的共有点，它的投影同时具有直线上的点和投影面内的点的投影特性。根据这些特点可以求迹点的投影。第四十一页，共七十九页，2022年，8月28日ＶHa′m′b′XabM(m)ABnN(n′)Xaa′m′bM(m)nb′N(n′)第四十二页，共七十九页，2022年，8月28日

例4如图所示、求作直线AB的迹点M，N的投影图解：若M为水平迹点，由于M在H面内，m必与M重合；ZM=0m’必在X轴上，又因为M在AB上，m’必在a’b’或其延长线上，m必在ab或其延长线上。同理N为V面内的点n’表达N的位置，且yN=0n必是X轴与ab或其延长线的交点。作图方法是：（1）将a’b’或ab延长与X轴交于m’或n（2）在ab或a’b’上求出m或n’下一页返回上一页Xm′nN(n′)aa′bb′M(m)第四十三页，共七十九页，2022年，8月28日§3-4两直线的相对位置

一、两直线平行二、两直线相交三、两直线交叉第四十四页，共七十九页，2022年，8月28日两直线的相对位置Va'b'd'c'a'a'b'b'd'c'c'e'(f')AAABBBDCCCDEF平行两直线相交两直线交叉两直线第四十五页，共七十九页，2022年，8月28日XOV一两直线平行5规则：若空间两直线平行，则它们的各同面投影平行。abcdbacdABDCbadcbacdabcd同向、同比例第四十六页，共七十九页，2022年，8月28日6不平行判断空间两直线是否平行。badcbacdXO平行cdcdghhg第四十七页，共七十九页，2022年，8月28日XOYZVfefeefCDdccddc7EF第四十八页，共七十九页，2022年，8月28日基本作图8过已知点A作直线AB平行于已知直线CD。bacdcdab第四十九页，共七十九页，2022年，8月28日bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk二相交两直线

交点K的三面投影符合点的投影规律。第五十页，共七十九页，2022年，8月28日10dcaba'b'c'd'c''d''b''a''k'kk''投影图利用投影判两断直线是否相交？e'f'efg'h'ghe'f'第五十一页，共七十九页，2022年，8月28日基本作图过已知点作直线与已知直线相交。11答案有多少个？关键问题是什么？交点。无数个。第五十二页，共七十九页，2022年，8月28日c'd'cd1220mmb'k'a'答案有多少个？无数个。abk举例

如图所示，作一条与V面相距20mm并与已知直线CD相交的直线AB。x第五十三页，共七十九页，2022年，8月28日dd'kk'aa'bb'cc'••例：过C点作水平线CD与AB相交。先作CD的正面投影第五十四页，共七十九页，2022年，8月28日三交叉两直线空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。第五十五页，共七十九页，2022年，8月28日aa'bb'cc'dd'cdcdghhg第五十六页，共七十九页，2022年，8月28日XOYZVfefeefCDdccddc7EF第五十七页，共七十九页，2022年，8月28日判断交叉两直线重影点的可见性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。

前遮后、上遮下、左遮右上遮下前遮后第五十八页，共七十九页，2022年，8月28日aa'bb'cc'dd'

交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。

11'22'33'44'()()第五十九页，共七十九页，2022年，8月28日基本作图过已知点作直线与已知直线交叉。cdc'd'a'abb'15能否过A点随意作线呢？答案有多少个？无数个。第六十页，共七十九页，2022年，8月28日例题判断两直线的相对位置dacboYWYHzXaacddcbb第六十一页，共七十九页，2022年，8月28日例题判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1第六十二页，共七十九页，2022年，8月28日例：判断两直线的相对位置。交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。∵ab与cd在一直线上，而a'b'∥c'd'，∴两直线平行。∵CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'Emk第六十三页，共七十九页，2022年，8月28日例：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MN∥CD并与直线AB相交于N点。nn'm'作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'；过n'作n'm'∥c'd'，求得m'。aa'bb'cc'dd'mOX第六十四页，共七十九页，2022年，8月28日例题判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)第六十五页，共七十九页，2022年，8月28日

§3-4直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。第六十六页，共七十九页，2022年，8月28日一、垂直相交的两直线的投影AHBCacbcXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac第六十七页，共七十九页，2022年，8月28日二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。第六十八页，共七十九页，2022年，8月28日二、交叉垂直的两直线的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB垂直于