第一章 过程动态数学模型

第一章过程动态数学模型第一页，共六十二页，2022年，8月28日第一章过程动态数学模型主要内容1.1过程动态数学模型概述1.2机理建模方法1.3系统辨识概述1.4非参数模型辨识方法1.5最小二乘类辨识方法第二页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.1动态数学模型的作用和要求工业生产过程的数学模型有静态和动态之分。静态数学模型是过程输出变量和输入变量之间不随时间变化时的数学关系。动态数学模型是过程输出变量和输入变量之间随时间变化时动态关系的数学描述，动态数学模型也称为动态特性。1.1过程动态数学模型概述第三页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.1动态数学模型的作用和要求过程的动态数学模型，是表示输出向量（或变量）与输入向量（或变量）间动态关系的数学描述。过程动态数学模型的用途：分为两个方面，一是用于各类自动控制系统的分析和设计，二是用于工艺设计以及操作条件的分析和确定。1.1过程动态数学模型概述第四页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.1动态数学模型的作用和要求1.1过程动态数学模型概述对动态数学模型的要求：简单、正确可靠正确可靠简单在线实时控制——计算量前馈、解耦、预测等控制——如控制规律复杂，不易实施结构复杂，模型参数多，难于保证模型精度

实际使用的数学模型一般不高于三阶，常用一阶加时滞或二阶加时滞。第五页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.1动态数学模型的作用和要求应用目的过程模型类型精确度要求控制器参数整定线性、参量（或非参量）、时间连续低前馈、解耦、预估控制系统设计线性、参量（或非参量）、时间连续中等控制系统的计算机辅助设计线性、参量（或非参量）、时间离散中等自适应控制线性、参量、时间离散中等模式控制、最优控制线性、参量、时间连续、离散高对动态数学模型的应用要求1.1过程动态数学模型概述第六页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.2建立数学模型的基本方法机理分析方法（白箱）通过分析系统的运动规律，应用一些已知的定律、定理和与原理，如化学动力学原理、生物学定律、牛顿定理、物料平衡方程、能量平衡方程和传质传热原理等，利用数学方法进行推导，建立起系统的数学模型，这种方法也称为理论建模。1.1过程动态数学模型概述第七页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.2建立数学模型的基本方法机理分析方法1.1过程动态数学模型概述过程类型静态模型动态模型集总参数过程代数方程微分方程分布参数过程微分方程偏微分方程多级过程差分方程微分-差分方程几种类型的数学模型第八页，共六十二页，2022年，8月28日1.1.2建立数学模型的基本方法系统辨识方法（黑箱）系统的输入输出信号一般是可以测量的，由于系统的动态特性必然表现在这些输入输出数据之中，因此可以利用这些数据所提供的信息来建立系统的数学模型。这种建模方法就是系统辨识。两种方法的结合（灰箱）1.1过程动态数学模型概述第九页，共六十二页，2022年，8月28日第一章过程动态数学模型主要内容1.1过程动态数学模型概述1.2机理建模方法1.3系统辨识概述1.4非参数模型辨识方法1.5最小二乘类辨识方法第十页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.1动态方程的一般列写方法从机理出发，用理论的方法得到过程动态数学模型，其主要依据是物料平衡和能量平衡关系式，一般可用下式表示：

单位时间内进入系统的物料量（或能量）-单位时间内流出系统的物料量（或能量）=系统内物料（或能量）贮藏量的变化在建立过程动态数学模型时，输出变量y与输入变量u可用三种不同形式，即可用绝对值Y和U表示，用增量⊿Y和⊿U表示，用无因次形式的y和u表示。在控制理论中，增量形式得到广泛的应用。第十一页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例第十二页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例对于1#水槽，设V1表示水槽的液体体积，根据物料平衡关系：

第十三页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例输入流量qin与液位无关

α1是紊流状态下的节流

系数，f1是调节阀的开启面积。

第十四页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例对于2#水槽，可知

第十五页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例

上两式是非线性微分方程，为了便于分析计算，需将非线性微分方程线性化。

第十六页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例线性化原理：

第十七页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例第十八页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例对于1#水槽，线性化

第十九页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例对于1#水槽，线性化

第二十页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例同样，对于2#水槽

第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例对于2#水槽，线性化

第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例对于2#水槽，线性化

第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例

液阻

容量系数

第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日1.2机理建模方法1.2.2机理建模示例

时间常数

第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日第一章过程动态数学模型主要内容1.1过程动态数学模型概述1.2机理建模方法1.3系统辨识概述1.4非参数模型辨识方法1.5最小二乘类辨识方法第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.1辨识的定义L.A.Zadeh曾给辨识下过这样的定义：“辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。”三要素：输入输出数据（辨识的基础）模型类（寻找模型的范围）等价准则（辨识的优化目标）第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.1辨识的定义

三要素：输入输出数据（辨识的基础）模型类（寻找模型的范围）等价准则（辨识的优化目标）第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.1辨识的定义

例：建立一个热交换器的数学模型，即建立T/Q模型

第三十页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.1辨识的定义

例：建立一个热交换器的数学模型，即建立T/Q模型经观测得到一组输入输出数据，记作{Q(k)}和{T(k)}，k=1,2,…,L

选定一组模型类：一个等价准则：第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.1辨识的定义

例：建立一个热交换器的数学模型，即建立T/Q模型辨识问题：根据所观测到的数据{Q(k)}和{T(k)}，确定模型中的未知参数n及ai、bi

，使得准则J最小。T(k)+a1T(k-1)+…+anT(k-n)=b1Q(k-1)+…+bnQ(k-n)+e(k)第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.2辨识的基本原理

为了得到模型参数的估计值，通常采用逐步逼近的办法输入输出噪声未知模型参数参数估计值输出预报值新息第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.3辨识的内容和步骤

辨识的分类

离线辨识、在线辨识非参数模型辨识、参数模型辨识

非参数模型辨识（经典辨识）：假定过程是线性的前提下不必事先确定模型具体结构。阶跃响应、脉冲响应、频率响应、相关分析、谱分析等

参数模型辨识（现代辨识）：必须假定一种模型结构，通过极小化误差准则来确定模型参数。最小二乘类法、梯度校正法、极大似然法等第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日1.3系统辨识概述1.3.3辨识的内容和步骤

辨识的内容：步骤：根据辨识目的，利用先验知识，初步确立模型结构→采集数据→进行模型参数和结构辨识→验证，获得最终模型。第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日第一章过程动态数学模型主要内容1.1过程动态数学模型概述1.2机理建模方法1.3系统辨识概述1.4非参数模型辨识方法1.5最小二乘类辨识方法第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日1.4非参数模型辨识方法1.4.1阶跃响应法

什么是阶跃响应法？

施加一个阶跃扰动信号，测定出过程的输出响应随时间的变化曲线，该曲线就是利用阶跃响应法得到的非参数模型，再根据该曲线获得待辨识过程的传递函数。第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日1.4非参数模型辨识方法1.4.1阶跃响应法

两步：第一步实际测取过程的阶跃响应，第二步由阶跃响应求取过程的传递函数。

测取阶跃响应曲线：先使工况保持平稳一段时间，然后使阀门做阶跃式的变化（通常在10%以内），同时把被控变量的变化过程记录下来，得到广义对象的阶跃响应曲线。

求取传递函数：过程的增益K、时间常数T和时滞τ可以用多种方法求取。第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日1）近似法当对象可用一阶惯性环节表示时：式中，K

为对象的放大系数；T为对象的时间常数1.4非参数模型辨识方法取y(t)=0.63y(∞)时对应的t就是过程的时间常数T。第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日1）近似法当对象可用具有时滞的一阶对象来表示时：可在响应曲线拐点处作切线，该切线与时间轴相交于L，与稳态值渐近线相交于M，则线段0L的长度即为τ值，切线ML在时间轴上的投影就是T。1.4非参数模型辨识方法第四十页，共六十二页，2022年，8月28日2)两点法根据阶跃输入信号作用下输出响应曲线的计算公式在响应曲线上取两点；，由于阶跃幅值r已知，联立求解得式中，；。1.4非参数模型辨识方法第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日

为了反映动态特性，输出响应曲线上的两点通常可取如下配对点，并据此计算时间常数和时滞。y1y2Tτ0.2840.6321.5（t2-t1）(3t1-t2)/20.3930.6322（t2-t1）2t1-t20.550.865（t2-t1)/1.2(2.5t1-t2)/1.51.4非参数模型辨识方法第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日1.4.1脉冲法

阶跃响应法使工况长期偏离正常值，对生产带来不利的影响。为解决这一矛盾，在施加阶跃响应以后，隔一段时间再施加一个反向的阶跃输入，合起来就是用脉冲作为输入信号。1.4非参数模型辨识方法第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日1.4非参数模型辨识方法tt输入：⊿u(t)=⊿u1(t)+⊿u2(t)=⊿u1(t)-⊿u1

(t-⊿t)输出：⊿y(t)=h1(t)+h2(t)=h1(t)-h1(t-⊿t)∴h1(t)=⊿y(t)+h1(t-⊿t)第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日

h1(t)=⊿y(t)+h1(t-⊿t)在0～⊿t时间内，h1(t)等于脉冲响应即h1(t)=⊿y(t)，而后h1(t)等于当时的脉冲响应⊿y(t)加⊿t时间以前的阶跃响应h1(t-⊿t)，随着时间推移就可得到完整阶跃响应曲线。得阶跃响应曲线后，可以通过前述有关方法求取过程的数学模型。1.4非参数模型辨识方法tt需要的观察的第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日1）过程脉冲响应的辨识通常采用矩形脉冲输入；2）由脉冲响应求过程的传递函数一阶过程：直接从曲线上求取二阶过程：也可直接从曲线上求取1.4非参数模型辨识方法第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日1.一阶过程参数T和K可以直接在脉冲响应曲线图上直接确定1.4非参数模型辨识方法第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日2.二阶过程参数和可以直接在脉冲响应曲线图上直接确定1.4非参数模型辨识方法第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日第一章过程动态数学模型主要内容1.1过程动态数学模型概述1.2机理建模方法1.3系统辨识概述1.4非参数模型辨识方法1.5最小二乘类辨识方法第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日1.5最小二乘类系统辨识方法G(z-1)N(z-1)v(k)输入u(k)输出z(k)n(k)噪声黑箱第五十页，共六十二页，2022年，8月28日最小二乘类辨识算法最小二乘法增广最小二乘算法广义最小二乘法1.5最小二乘类系统辨识方法G(z-1)N(z-1)v(k)输入u(k)输出z(k)n(k)噪声黑箱第五十一页，共六十二页，2022年，8月28日1.5最小二乘类系统辨识方法1.5.1最小二乘法的基本概念

1.最早于1795年高斯提出

2.两种形式的结果：

经典的一次完成算法（理论研究较方便）

现代的递推算法（适于计算机实现在线辨识）

3.基本原理：通过极小化准测函数求得参数的估计值。第五十二页，共六十二页，2022年，8月28日1.5最小二乘类系统辨识方法1.5.2最小二乘法的提法

u(k)和z(k)是过程的输入输出量，n(k)是噪声，要解决的问题是如何利用过程的输入、输出数据，确定A(z-1)和B(z-1)的系数。

假设模型阶次na，nb已定，且一般na>nb

在最小二乘法中，必须假设{n(k)}是白噪声序列

第五十三页，共六十二页，2022年，8月28日1.5最小二乘类系统辨识方法1.5.2最小二乘法的提法

（满足L>(na+nb)，L应充分大）第五十四页，共六十二页，2022年，8月28日1.5最小二乘类系统辨识方法1.5.3最小二乘法的解

设有使，则当可逆时：

实际输出估计输出为最小二乘估计值第五十五页，共六十二页，2022年，8月28日1.5最小二乘类系统辨识方法1.5.3最小二乘法的解

当可逆时：

为加权最小二乘估计值（可取（0<μ<1），这体现了对不同时