第三章 一元函数的积分学

第三章一元函数的积分学第一页，共四十九页，2022年，8月28日要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．第二页，共四十九页，2022年，8月28日§3.1不定积分内容重点：1.不定积分、原函数的定义2.不定积分的计算(主要是换元法和分部积分法)第三页，共四十九页，2022年，8月28日例定义：1、原函数与不定积分的概念第四页，共四十九页，2022年，8月28日原函数存在定理：连续函数一定有原函数.注意：(1)原函数不唯一;(2)原函数之间的关系:若和都是的原函数，第五页，共四十九页，2022年，8月28日任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量第六页，共四十九页，2022年，8月28日显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.第七页，共四十九页，2022年，8月28日基本积分表是常数);说明：简写为2、基本积分表第八页，共四十九页，2022年，8月28日第九页，共四十九页，2022年，8月28日第十页，共四十九页，2022年，8月28日（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）3、不定积分的性质第十一页，共四十九页，2022年，8月28日凑微分法说明使用此公式的关键在于将化为4、不定积分的计算★即第十二页，共四十九页，2022年，8月28日则有换元公式定理2一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令换元法★

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.第十三页，共四十九页，2022年，8月28日基本积分表第十四页，共四十九页，2022年，8月28日第十五页，共四十九页，2022年，8月28日由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.分部积分法★第十六页，共四十九页，2022年，8月28日若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.若分部产生循环式,由此解出积分式(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)第十七页，共四十九页，2022年，8月28日§3.2定积分内容重点：1.定积分的定义3.定积分的计算(主要是换元法和分部积分法)4.定积分的性质及积分中值定理5.定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用6.广义积分的收敛与发散，广义积分的计算2.变上限积分及其导数第十八页，共四十九页，2022年，8月28日1、定积分定义定义第十九页，共四十九页，2022年，8月28日被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第二十页，共四十九页，2022年，8月28日注意：第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日定理1定理2存在定理★第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义★第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日几何意义：第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日2、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日6.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则推论2.7.设则8.积分中值定理则至少存在一点使第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日考察定积分记积分上限函数3、积分上限函数及其导数第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日积分上限函数的导数补充★第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日定理3（微积分基本公式）4、牛顿—莱布尼茨公式第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第三十页，共四十九页，2022年，8月28日定理5、定积分的换元法和分部积分法设函数单值函数满足:1)2)★定积分的换元公式第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日应用换元公式时应注意:（1）（2）第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日定积分的分部积分公式推导定积分的分部积分法★第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日★第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日6、广义积分★无穷限的广义积分第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日

无界函数的反常积分★第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日第四十页，共四十九页，2022年，8月28日定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若

b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日微元法7.定积分的应用★第四十三页，共四十九页，2022年，8月28日这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积；体积。第四十四页，共四十九页，2022年，8月28日曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形的面积1.直角坐标系情形★第四十五页，共四十九页，2022年，8月28日

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体的体积★第四十六页，共四十九页，2022年，8月28日xyo旋转体的体积为