第4章操作臂的雅可比

1第4章机器人的雅可比公式

4.1雅可比矩阵的定义

4.2机器人的微分运动和广义速度

4.3雅可比矩阵的构造

4.4机器人雅可比矩阵计算实例

4.5力雅可比

4.6奇异性和灵巧度

4.7刚度和变形

4.8误差标定和补偿

4.9小结2

前面我们建立了操作臂的运动学方程，实际上是建立了机器人操作臂在操作与关节空间中的位移关系。通过求解运动方程的反解，建立了两个空间的映射关系。本章在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间与关节空间的速度间的线性映射关系–––雅可比矩阵

雅可比(Jacobian)。雅可比不仅表示了两个空间之间的速度线性映射关系，也表示两空间的力的传递关系。为进行速度分析，要利用到微分运动的概念。3

机器人的操作与控制，常涉及到机械手位姿的微小变化。这些变化可由描述机械手位姿的T

的微小变化来表示。在数学上，这种微小变化可用微分变化来表达。机械手运动过程中的微分关系是很重要的。如用摄像机观察机械手的末端执行装置时，需把一个坐标系的微分变化变换为对另一坐标系的微分变化，如把摄像机的坐标系建立在T6上。应用微分变化的另一情况是当已知对T6的微分变化时，要求出对各关节坐标的相应变化。微分关系对于研究机械手的动力学问题，也是十分重要的。4§4.1雅可比矩阵的定义操作臂的雅可比矩阵定义为其操作速度与关节速度的线性变换，可看成是从关节空间向操作空间运动速度的传动比。操作臂的运动方程X＝X(q)(4.1)代表操作空间x与关节空间

q

之间的位移关系。将式(4.1)两边对时间

t

求导，即得出

q

与

X

之间的微分关系

X＝J(q)q(4.2)式中，X

称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度，q

为关节速度；J(q)是6×n的偏导数矩阵操作臂的雅可比矩阵。它的第

i

行第

j

列元素为5Jij(q)＝Xi(q)/qj，

i＝1,2,…,6；j＝1,2,…,n(4.3)式(4.2)表示，对给定的qRn，雅可比J(q)是从关节空间速度q

向操作空间速度x

映射的线性交换。6

例4.1

对图示平面2R机械手，其运动学方程如下：

x

＝l1c1＋l2c12；y

＝l1s1＋l2s12

让运动学方程两端分别对时间t求导，

x＝–l1s11

–l2s12(1＋2)

y＝l1c11

＋l2c12(1＋2)写成矩阵的形式：

X＝J(q)q式中，X＝{xy}，q＝{1

2}，

J(q)＝(4.4)式(4.4)中的J(q)是2×2的方阵。7当2＝0(或180)时。J(q)＝0，矩阵的秩为1，处于奇异状态。从几何上看，机械手完全伸直(2＝0)，或完全缩回(2＝180)时，机械手末端丧失了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。

对关节空间的某些形位q，J(q)的秩减少，这些形位称为操作臂的奇异形位。可用J(q)判别奇异形位：J(q)＝l1l2s28满秩的，关节速度就可解出q＝J–1(q)X

对平面2R机械手，J–1(q)可由式(4.4)求得J–1(q)＝(4.5)

例4.2

如图4–1，为实现平面2R机械手末端沿x0轴以1m/s的速度运动，求相应的关节速度q＝{1,2}。由式(4.2)可见，只要J(q)是图4–1平面2R机械手的速度反解

9∴得到对应于末端速度X＝{1,0}的关节速度反解为1＝c12/l1s2；2＝–c1/l2s2－c12/l2s2

当20(或180)时。机械手奇异形位，相应的q。当操作臂有较多自由度时，用上述定义计算雅可比较为复杂，但有两种构造性方法(矢量积法和微分变换法)相对较为简单。下面介绍利用操作空间与关节空间的微分运动关系构造雅可比矩阵的微分变换法和矢量叉积构造法。10

4.2机器人的微分运动和广义速度若已知一个变换的元素是某个变量的函数，那么对这个变量的微分变换就是其元素为原变换元素的导数。本节推导出一种方法，使得对{T}的微分变换等价于对基系的变换。此方法可推广至任何两个坐标系，使它们的微分运动能联系起来。机械手的变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和投影变换等。这里的讨论限于平移和旋转变换。∴可把其导数项表示为微分平移和微分旋转。111.微分平移和微分旋转（补充内容）用给定的坐标系(也可用基系)来表示微分平移和旋转。已知{T}，可表示T＋dT为(相对基系)T＋dT＝Trans(dx,dy,dz)·Rot(f,d)·T式中，Trans(dx,dy,dz)是基系中微分平移变换；Rot(

f,d)是基系中绕矢量

f

的微分旋转变换。由上式得dT为dT＝[Trans(dx,dy,dz)·Rot(f,d)－I]·T(B.1)同样，可给出对{T}的微分平移和旋转的微分变换T＋dT＝T·Trans(Tdx,Tdy,Tdz)·Rot(

f,dT)式中，Trans(Tdx,

Tdy,

Tdz)为对{T}的微分平移变换；Rot(

f,dT)是绕{T}中矢量

f

的微分旋转。这时有12dT＝T·[Trans(Tdx,Tdy,Tdz)·Rot(

f,dT)

－I](B.2)式中(B.1)和(B.2)都有相似项Trans(dx,

dy,

dz)·Rot(

f,

d)－I。当微分运动是相对基系时，记为；当运动是相对{T}时，记为T。即，当对基系有微分变化时，dT＝·T；而当对{T}有微分变化时，dT＝T·T。表示微分平移和{T}的齐次变换分别为

Trans(dx,dy,dz)＝T＝(B.3)

13上式中Trans的变量是由微分变化dx

i＋dyj＋dz

k表示的微分矢量d。利用前面的通用旋转变换式(参考式(2.45))：

Rot(f,)＝

对微分变化d，其相应的正、余弦函数和正交函数为代入到上式，可把微分旋转齐次变换表示为Rot(f,d)＝(B.4)14将式(B.3)和(B.4)代入＝Trans(dx,dy,dz)·Rot(

f,d)－I，可得＝化简得

＝(B.5)绕矢量

f

的微分旋转d等价于分别绕三个轴x、y和z的微分旋转x,y和z，即

fxd＝x，fyd＝y，fzd＝z。代入上式得15＝(B.6)类似，可得T为T＝(B.7)

于是，可把看成是由微分平移矢量d

和微分旋转矢量

构成的，且有：d＝dxi＋dyj＋dzk(4.6)＝xi＋yj＋zk(4.7)四.微分旋转的无序性当θ→0时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，δz=dθz，则绕三个坐标轴的微分旋转矩阵分别为略去高阶无穷小量两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。同理可得结论：

微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋转）的一个重要区别。若Rot（δx，δy，δz）和Rot（δx‘，δy’，δz‘）表示两个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代数和，即微分旋转是可加的。kxdθ=δx，

kydθ=δy

，

kzdθ=δz所以有由等效转轴和等效转角与等效，有即20用列矢量D来包含上述两矢量，并称为刚体或坐标系的微分运动矢量D＝{dx

dy

dz

x

y

z}或D＝{d

}

(4.8)同理，相对{T}有下列各式

Td＝Tdxi＋Tdyj＋Tdzk

T

＝Txi＋Tyj＋Tzk(B.8)TD＝{Tdx

Tdy

Tdz

Tx

Ty

Tz}或TD＝{Td

T

}(B.9)21

例4.3

已知{A}和对基系的微分平移与微分旋转为

A＝，d＝1

i＋0

j＋0.5k，＝0

i＋0.1

j＋0k试求微分变换dA。解：首先据式(B.6)可得下式

＝在按照dT＝·T，有：dA＝·A，即

dA＝{A}的这一微分变化如图B–1。图B–122

2．微分运动的等价变换要求机械手的雅可比矩阵，需要把一个坐标系内的位姿的微小变化，变换为另一坐标系内的等效表达式。∵dT＝·T和dT＝T·T，当两坐标系等价时，·T＝T·T，变换后得T

–1·T＝T(B.10)由式(B.3)和(B.6)有·T＝＝

(B.11)23(B.11)式与下式等价

·T＝用T

–1左乘上式得

T

–1·T＝＝24＝应用三矢量相乘的两个性质a·(b×c)＝b·(c×a)及a·(a×c)＝0，由式(B.10)可把上式写为

T＝化简得T＝(B.12)25

∵T已被式(B.7)所定义，∴令式(B.7)与(B.12)各元分别相等，并利用三矢量相乘的性质：a·(b×c)＝c·(a×b)等，可求得下列各式Tdx＝·(p×n)+d·n＝n·[(×p)+d]Tdy＝·(p×o)+d·o＝o·[(×p)+d]

(4.11)Tdz＝·(p×a)+d·a＝a·[(×p)＋d]Tx＝·n＝n·

；Ty＝·o＝o·

Tz＝·a＝a·(4.12)式中，n,o,a和p分别为微分坐标变换

T

的列矢量。用上两式，能够十分方便地把对基系的微分变化变换为对{T}的微分变化。从上列两式可得微分运动TD和D的关系如下：26(4.13)上式可简写为

(4.14)式中，R是旋转矩阵，R＝(4.15)

对任何3维矢量

p＝[px,py,pz]T，其反对称矩阵S(p)定义为27S(p)＝(4.16)它具有以下性质(1)S(p)＝p×，S(p)＝p×；(2)T·S(p)＝–(p×)，

T·S(p)＝–(p×)(3)–RT·S(p)＝28

若定义刚体或坐标系的广义速度是由线速度和角速度组成的

6

维列矢量，即：V＝{v

}＝{d

}(4.9)则由式(4.14)可得相应的广义速度V的坐标变换为(4.17)任意两坐标系间的广义速度的坐标变换为(4.18)29

例4.4

已知{A}对基系的微分平移d

和旋转

，同例4.3。试求对{A}的等价微分平移和微分旋转。解：因为n＝0

i＋1j＋0

k

；o＝0

i＋0

j＋1

ka＝1

i＋0

j＋0

k

；p＝10

i＋5j＋0

k以及

×p＝＝0

i＋0

j–1

k加上d后有：×p＋d＝1

i＋0

j–0.5

k。又据式(4.11)和(4.12)可求得等价微分平移和微分旋转为Ad＝0

i–0.5

j＋1

k

A＝0.1

i＋0

j＋0

k

30由式dT＝T·T，计算dA＝A·A计算，以检验所得微分运动是否正确。据式(B.7)有

A＝dA＝＝所得结果与例4.3一致。可见所求得的对A的微分平移和微分旋转是正确无误的。31

3.变换式中的微分关系式(4.11)～(4.13)可用于变换任何两坐标系间的微分运动。由式(4.11)和(4.12)，可根据坐标变换T

和微分变换求T。若要从T的各微分矢量来求微分矢量，可从式(B.10)左乘T和右乘T–1，得：

＝T

·T·T–1或者变换为＝(T–1)–1·T·T–1(B.13)

设{A}和{B}，{B}相对于{A}定义。则{A}、{B}都可以用来表示微分运动。左图表示了这一情况。32＝A·B

·B·B–1·A–1或变换为

＝(B–1·A–1)–1·

B·(B–1·A–1)(B.14)此式表明了{B}内与基系内的微分运动间的关系，它具有式(B.13)的一般形式；而(B–1·A–1)则对应式(B.10)和(B.11)中的T。

图B–2表明了{A}、{B}间的微分关系，且有·A·B＝A·B·B对求解得33

同样，由图B–2还可得：A·A·B＝A·B·B或

A·B＝B·B对A求解得A＝B·B·B–1

A＝(B–1)–1·B·B–1(B.15)此式表示{A}内与{B}内的微分运动的关系。其中，B–1对应于式(B.10)中的T，但T已不是坐标系矩阵，而是微分坐标变换矩阵。它可从图B–2直接求得，即从已知的微分变化变换图箭头起，回溯到待求的等价微分变化止，所经过的路径。34

对上述第一种情况，从B之箭头至之箭头间所经路径即为B–1·A–1；而对于第二种情况，从B至A，所经路径为B–1。35

例4.5

有一摄像机装在机械手的连杆5上。连接由下式确定：

C＝机械手的连杆6的位置描述如下

A6＝被观察的目标物体为CO。要把机械手的末端引向目标物体，需要知道的坐标系{C}内的微分变化为：Cd＝–1

i＋0

j＋0k，C＝0

i＋0

j＋0.1

k试求在坐标系{T6}内所需要的微分变化。36解：上述情况可由图B–3(a)及下列方程描述T5·A6·E·X＝T5·C·O式中，T5描述连杆5与基系的关系；A6是以{5}描述连杆6；E为描述物体对末端的未知变换；O是用摄像机坐标系描述物体。变换图见图B–3(b)。T5CT＝T6＝T5A6图B–3例4.5的位姿及微分变换图37

从图可得相对T6至C的微分坐标变换T为：

T＝C–1T5–1·T5A6＝C–1A6∵

C–1＝∴可得此微分坐标变换

T＝又因为×p＝＝0

i＋0.2

j＋0

k最后据式(4.11)和(4.12)可得坐标系T6内的微分变化如下T6d＝–0.2

i＋0

j＋1k，T6＝0

i＋0.1

j＋0

k38

4.3机器人的雅可比矩阵的构造法上面分析了机械手的微分运动。下面将研究机器人操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系，即雅可比矩阵。

1．J(q)矩阵的分解刚体或坐标系的广义速度

X

是由线速度

v

和角速度

组成的6维列矢量V＝

X

＝{v¦}＝{d¦}(4.9)J(q)阵既是从关节→操作空间的速度传递的线性关系，又是微分运动转换的线性关系，由式(4.9)和式(4.2)有：39V

＝J(q)q

(4.19)D

＝{d}＝X·t＝J(q)q·t即D＝J(q)·dq(4.20)对n关节的机器人，J(q)＝J(q)6×n，每列代表相应的关节速度

qi对手爪线速度和角速度的变换。J(q)可分块为{v¦}＝{q1

q2…

qn}(4.21)由上式可把v

和

表示成

qi的线性函数v＝Jl1q1＋Jl2q2＋…＋Jlnqn＝Ja1q1＋Ja2q2＋…＋Janqn

(4.22)式中，Jli和Jai分别表示关节

i

的单位关节速度引起手爪的线速度和角速度。40

2．J(q)矩阵的求法式(4.8)、(B.9)、(4.13)、(4.14)和(4.20)等是计算J(q)的基本公式，但这些公式计算J(q)的过程较复杂。下面介绍两种直接构造J(q)的方法。

(1)矢量积法：求机器人J(q)的矢量积法是建立在运动坐标系的概念上的。图4–2是关节速度的传递情况，末端手爪{T}的v和

与qi有关。图4–2

关节速度的传递41

对移动关节i，有

{v}＝{zi0}qi；

Ji＝{zi0}(4.23)

对转动关节i，有

{v}＝{zi×ipn0

zi}qi

；

Ji＝{zi×ipn0

zi}＝{zi×(i0R·ipn)zi}(4.24)式中，ipn0表示{T}的原点相对{i}的位矢在{0}中的表示，即ipn0＝i0R·ipn(4.25)而zi是{i}的z轴单位矢量在{0}中的表示。42

(2)微分变换法(前面已介绍过推导方法)

①旋转关节i，连杆

i

相对

i–1绕{

i

}的

zi轴作微分转动di

，其微分运动矢量为d

＝{000}di

，＝{001}di

(*)由式(4.13)可得手爪系{T}相应的微分运动矢量为

{Tdx

Tdy

Tdz

Tx

Ty

Tz}＝{(p×n)z(p×o)z(p×a)z

nz

oz

az}di(4.26)

∴可得J(q)的第

i

列如下：TJli＝{(p×n)z(p×o)z(p×a)z}TJai＝{nz

oz

az}

(4.28a)43

②移动关节i，连杆i

相对i–1沿zi轴作微分移动ddi，其微分运动矢量为d

＝{001}ddi

，＝{000}di

(**)

同样，由式(4.13)可得手爪的微分运动矢量为

{Tdx

Tdy

Tdz

Tx

Ty

Tz}＝{nz

oz

az

000}ddi

(4.27)则

TJli＝{nz

oz

az}；TJai＝{000}

(4.28b)式中，n,o,a和

p

是

iTT的4个列矢量。上述求TJq的方法是构造性的，只要知道i–1Ti，就可自动生成J(q)

，而不需求解方程等手续。步骤如下：44

①

计算i–1Ti

：0T1，1T2，…，n–1Tn(,nTT)。

②

计算iTn

(或iTT)(见图4–3)：

n–1Tn，n–2Tn＝n–2Tn–1n–1Tn，…，i–1Tn＝i–1TiiTn，…，

0Tn＝0T11Tn(，0TT＝0T11TT)

③

计算TJ(q)的各列元素，第

i

列TJi由iTn决定。由式(4.28)计算TJli和TJai。从上述两种构造法得出的J(q)和JT(q)间存在有关系：图4–3

Tji和iTn之间的关系JT(q)＝J(q)或

J(q)＝JT(q)(4.29)0231方法一：微分变换法方法一：矢量积的方法对转动关节i，有

{v}＝{zi×ipn0

zi}qi

；

Ji＝{zi×ipn0

zi}＝{zi×(i0R·ipn)zi}(4.24)式中，ipn0表示{T}的原点相对{i}的位矢在{0}中的表示，即ipn0＝i0R·ipn(4.25)而zi是{i}的z轴单位矢量在{0}中的表示。i=15354i=2554.4

机器人雅可比矩阵计算实例下面举例说明计算具体机器人微分运动和雅可比矩阵的方法。先计算PUMA560机器人的Jacobian矩阵，再计算西博特奇(Cybotech)V–80机器人的Jacobian矩阵。1.PUMA560机器人的雅可比矩阵

PUMA560有6个旋转关节，其雅可比矩阵有6列。由式(4.28)可计算各列元素。现分别用两种方法计算。56

(1)微分变换法求TJ(q)

TJ(q)的第1列TJ1(q)对应着1T6，式(3.63)给出了1T6的各元素，由式(4.26)得

TJ1(q)＝{TJ1x

TJ1y

TJ1z

–s23(c4c5c6–s4s6)–c23s5c6

s23(c4c5c6＋s4c6)＋c23s5s6

s23c4s5–c23s5}式中，TJ1x＝–d2[c23(c4c5c6–s4s6)–s23s5c6]–(a2c2＋a3c23–d4s23)(s4c5c6＋c4s6)TJ1y＝–d2[–c23(c4c5c6＋s4c6)＋s23s5s6]

＋(a2c2＋a3c23–d4s23)(s4c5s6–c4c6)

TJ1z＝d2(c23c4c5–s23c5)＋(a2c2＋a3c23–d4s23)s4s5教材中是式(3.14)57同理，利用变换矩阵2T6得出TJ(q)的第2列

TJ2(q)＝{TJ2x

TJ2y

TJ2z

–s4c5c6–c4s6

s4c5s6–c4c6

s4s5}式中，TJ2x＝a3s5c6–d4(c4c5c6–s4s6)

＋a2[s3(c4c5c6–s4s6)＋c3s5c6]TJ2y＝–a3s5s6–d4(–c4c5c6–s4c6)

＋a2[s3(–c4c5c6–s4s6)＋c3s5s6]

TJ2z＝a3c6＋d4c4s5＋a2(–s3c4s5＋c3c6)同样可得，

TJ3(q)＝{–d4(c4c5c6–s4s6)＋a3s5c6–d4(c4c5c6＋s4c6)–a3s5s6d4c4s5＋a3c6

–s4c5c6–c4s6

s4c5s6–c4c6

s4s5}

TJ4(q)＝{0

0

0

s5c6

–s5c6

c5}；

TJ5(q)＝{0

0

0

–s6–

c6

0}；

TJ6(q)＝{0

0

0

0

0

1}58

(2)矢量积法求J(q)

对都是转动关节的PUMA560，其J(q)矩阵为

J(q)＝由图3–7及各连杆的0T1,1T2,,5T6，可计算出各中间项，再求J(q)的各列，即J1(q),J2(q),,J6(q)J(q)。利用第3章的公式，可计算上式中各量，过程如下：

①

10R，21R，32R，43R，54R和65R；

②

z1，z2，z3，z4，z5和z6；

③

1p6，2p6，3p6，4p6，5p6和6p6；用第3章的公式

④

1p60，2p60，3p60，4p60，5p60和6p60；用式(4.25)

⑤

J(q)中的各列：J1(q),J2(q),,J6(q)。用式(4.24)

教材中是p40的式(3.09)59

2．V–80机器人的雅可比矩阵图B–4是法国西博特奇公司生产的V–80工业机器人的外形图和停止位置。在停止位置：悬臂与基系的x轴平行，末端夹手垂直向上。连杆和关节参数见表4–1，其6个关节都是旋转运动的。

在建立V–80操作机器人的雅可比矩阵时，应用了图4–3的变换图。图B–4

V–80机械手外形图及停止位置6061

J(q)阵的第6列把关节6的运动变换为T6坐标，而关节6也作用于{5}。通过跟踪变换图，从{5}至T6坐标，可得微分坐标变换矩阵5T6。据(*)式可得

T6d6＝0

i＋0

j＋0k，T66＝0

i＋0

j＋1

k这两矢量构成了J(q)阵的第6列。对第5列，其微分变换为5T6。将其元素代入(*)式，得T6d5＝0

i＋0

j＋0k，T65＝s6

i＋c6

j＋0

k

对第4列，采用矩阵4T6。则有

T6d4＝0

i＋0

j＋0k，T64＝–s5c6

i＋s5s6

j＋c5k62

对V–80机械手J(q)阵的第3列，其微分坐标变换矩阵为3T6。∵是旋转关节，∴用(*)式求本列各元素

T6d3x＝–nxpy＋nypx＝–[c3(c4c5c6–s4s6)–s3s5c6](a3s3–d4c3)

＋[s3(c4c5c6–s4s6)＋c3s5c6](a3c3＋d4s3)

T6d3y＝–oxpy＋oypx＝–[–c3(c4c5s6＋s4c6)＋s3s5s6](a3s3–d4c3)

＋[–s3(c4c5s6＋s4c6)–c3s5s6](a3c3＋d4s3)

T6d3z＝–axpy＋aypx

＝–(c3c4c5＋s3c5)(a3s3–d4c3)＋(s3c4c5–c3c5)(a3c3＋d4s3)化简得：

T6d3x＝d4(c4c5c6–s4s6)＋a3s5c6

T6d3y＝–d4(c4c5c6＋s4c6)–a3s5s6

T6d3z＝d4c4s5–a3c563

第3列后三个元素为：T63x＝nz＝s4c5c6＋c4s6

T63y＝oz＝–s4c5c6＋c4c6T63z＝az＝s4s6

用同样方法可以得到本机械手J(q)阵的第2列和第1列，结果如下：

T6/2＝{(a2s3＋d4)(c4c5c6–s4s6)＋(a2c3＋a3)s5c6┇

–(a2s3＋d4)(c4c5c6＋s4c6)–(a2c3＋a3)s5s6

┇

d4c4s5–a2c3c6＋a2s3c4s5–

a3c5┇

s4c5c6＋c4s6┇–s4c5s6＋c4c6┇s4s5}64

T6/1＝{(s4c5c6＋c4s6)(a2c2＋d4s23)┇–(s4c5c6–c4s6)(a2c2＋d4s23)┇s4s5(a2c2＋d4s23)

┇–s23(c4c5c6–s4s6)＋c23s5s6

┇s23(c4c5c6＋s4s6)–c23s5s6┇–s23c4c5＋c23c5}

于是用{6}所表示的V–80机械手的TJ(q)如下65§4.5力雅可比机器人与外界环境相互作用时，在接触处要产生力

f

和力矩n，统称为末端广义(操作)力矢量。记为F＝{

f

n}(4.30)如：手臂提取重物时承受的外力和力矩；手爪抓物体的作用力和力矩；步行机构与地面的作用力和力矩。在静止状态，F应与各关节的驱动力(或力矩)相平衡。n个关节的驱动力(或力矩)组成的n维矢量

＝[1,2,…,n]T(4.31)称为关节力矢量。令各关节的虚位移为qi，末端执行器相应的虚位移为D。用虚功原理就可导出

～F

的关系。66

各关节所作虚功的总和W1＝Tq＝1niqi应与末端执行器所作虚功的W2＝F*TD＝f

Td＋nT

相等(总虚功为零)，即

T·q＝FT·D

(4.32)

将式(4.20)代入上式(4.32)可得出

＝JT(q)F

(4.33)式中，JT(q)称为操作臂的力雅可比，表示在静平衡时，F向

映射的线性关系。可以看出：力雅可比＝运动雅可比的转置，即操作臂的静力传递关系与速度有关。式(4.19)和式(4.33)具有对偶性。图4–4画出了关节与操作空间的速度及静力映射的线性关系。

DT＝qT·JT(q)

qT·

＝DT·FqT·

＝qT·JT(q)·F67

图中，n是关节数，m是操作空间维数。J(q)＝J(q)m×n。对给定的q，J(q)的值域空间R(J(q))代表关节运动能够产生的全部操作速度的集合。当J(q)退化时，操作臂处于奇异形位。图4–4速度和静力的线性映射

另一方面J(q)的零空间N(J(q))表示不产生操作速度的关节速度的集合。若N(J(q))不只含有0，则对给定的操作速度，关节速度的反解有无限多。

68

静力映射是从m维操作空间向n维关节空间的映射，其零空间N(JT(q))代表不需要任何关节驱动力(矩)，就能承受的所有操作力的集合。即：末端操作力完全由机构本身承受。

值域空间R(JT(q))则是F

能平衡的所有

矢量的集合。

69

由线性代数可知，零空间N(J(q))是值空间R(JT(q))在n维关节空间的正交补，即对非零的qN(J(q))，则有qR(JT(q))，反之亦然。

物理含义：在不产生操作速度的那些关节速度方向上，关节力矩不能被操作力所平衡。为使操作臂保持静止不动，在零空间N(J(q))的关节力矢量必须为零。

70

在m维操作空间中存在着相似的对偶关系，R(J(q))是N(JT(q))在操作空间的正交补。∴不能由关节运动产生的那些操作运动的方向恰恰是不需要

来平衡的F

的方向。反之，若外力作用的方向是末端执行器能够运动的方向，则外力就由

来平衡。当J(q)退化时，操作臂处于奇异形位，零空间N(JT(q))不只包含0，因而外力可能承受在操作臂机构本身上。

利用瞬时运动和静力的对偶关系、可从瞬时运动关系导出相应的静力关系。由式(4.18)可导出{A}和{B}间广义操作力的坐标变换关系若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J力雅可比JT若已知则有{T}{0}{0}{T}{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。解：由前面的推导知例:如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，求力的等效关节力矩。所以得：图3-18关节力和操作力关系y0x0例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用在螺钉上的力和力矩。()解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：{S}{T}{S}{T}微分运动关系时：静力传递关系时：77§4.6奇异性和灵巧度*

一、J(q)的奇异性操作臂J(q)依赖于形位q，与奇异形位q对应的J(q)6×n是不满秩的，此时有

Rank(J(q))＜min(6,n)(4.33)对应操作空间中的点X＝X(q)为工作空间的奇异点。在奇异形位处，操作臂丧失操作自由度。机器人的奇异形位有两类：78(1)边界奇异形位。平面2R机械手(例4.1)当s2＝0时，2＝0和2＝180处于工作空间的边界，只有一个操作自由度。这种奇异点容易避免,不至于带来很大麻烦。

(2)内部奇异形位。由两(或多)个关节轴线重合造成的，操作臂各关节运动相抵消，不产生操作运动。如PUMA560机械手：在3＝–90附近，手臂伸直，处于边界奇异状态；当5＝0时，关节4和6的轴线重合，丧失了一个自由度，处于内部奇异状态。

79

二、速度反解机器人在工作时，所需手爪的独立运动参数的数目m(≤6)随任务的性质而异。如弧焊、喷漆等有对称轴线，独立参数是5个；带球形测头的机器人有3个独立参数；用于圆柱和端铣刀加工的都是4个独立参数；平面作业的机器人需要3个独立参数。独立参数数目＝操作空间维数m。

(1)当m＜n，且J(q)是满秩时，机器人具有冗余自由度，冗余度定义为dim(N(J))；

(2)当m＝n，且J(q)是满秩时，称为满自由度；

(3)当m＞n，机器人是欠自由度的。80

对满自由度的机器人，J(q)是方阵，通常由X

可反解相应的q。只是在奇异形位时，J–1(q)不存在，速度反解可能不存在。并且，在奇异点附近，J(q)矩阵是病态的、反解的q

。操作臂的运动和动态性能变坏。实际上，若J(q)是满秩方阵时，操作臂运动方程(4.2)的速度反解为

q＝J–1(q)·X(4.36)

对冗余度机器人，其J(q)的列数多于行数，即n＞m。当J(q)是满秩时，冗余度为

dim(N(J))＝n－m＞0(4.37)81由于运动方程(4.2)的速度反解不唯一，解集合所包含的任意参数的数目等于冗余度dim(N(J))。其通解可表示为q＝qs＋kqa

式中，qs是方程(4.2)的特解；qaN(J(q))是J(q)零空间的任意矢量，k是任意常数。

冗余度机器人对避免碰撞，避开奇异状态，增加操作臂的灵巧性，改善动态性能会带来好处。

82

三、雅可比矩阵的奇异值分解*(略讲)

操作臂雅可比的奇异性定性地描述了操作臂的运动灵巧性和运动性能。为了定量分析操作臂的灵巧性和速度反解的精度，提出了许多度量指标。所有这些指标在概念上都与雅可比的奇异值有关。根据矩阵的奇异值分解理论，对操作臂在任意形位的雅可比J(q)进行奇异值分解，即J(q)＝UV

式中，URmn；VRnn，为正交矩阵。而

＝式中，1≥2≥…≥m≥0为J的奇异值。

83

可以证明，Rank()＝Rank(J)＝r。当r＜m时，的形式为

＝式中，1是最大奇异值，r是最小奇异值。

84

四、灵巧性度量指标

1．条件数

Salibury和Craig利用J(q)的条件数作为评定Stanford/JPL手爪理想尺度最优化的准则。条件数的定义为k(J)＝||J(q)||·||J–(q)||，当m＝n，且非奇异时(4.42)||J(q)||·||J＋(q)||，当m＜n时式中，||·||代表任意矩阵范数，通常取Euclidc范数。可以证明，条件数与奇异值的关系为k(J)＝1/r1和r的含义同上，上式定义的条件数k(J)对非方阵情况也适用。显然，矩阵的条件数取值范围是1≤k≤当k＝1时，操作臂所具有的形位称为各向同性。，一般在设计机器人机械结构时，应尽量使最小条件数为1，这时灵巧性最高，各奇异值相等：1＝2＝…＝r

85

2．最小奇异值雅可比阵J(q)的最小奇异值可用来作为控制所需关节速度上限的指标。即||q||＝(1/r)||X||

在奇异形位附近，r0，对给定的||X||，所对应的关节速度||q||非常大。最小奇异值越大，操作臂终端对关节运动的响应越快。

3．运动灵巧性指标

Angeles和Rojas于1987年提出把最小条件数km的倒数定义为度量操作臂灵巧性的指标，即D＝(1/km)×100％式中，km＝mink(J)。实际上，条件数k(J)只与中间的关节变量qi(i＝2,3,…,5)有关，∴记k＝k(q2,q3,q4,q5)。

864．可操作性(可操作度)Yoshikawa将J(q)与其转置之积的行列式定义为可操作性的度量指标，即w＝(det[J(q)JT(q)])1/2利用J(q)的奇异值，可得另一表达式：w＝12…m

显然，当m＝n时，w＝|J(q)|；当J(q)处于奇异形位时，Rank(J)＝＜m，w＝0，因此，操作臂的可操作性为0。

上述度量指标从不同的角度表示操作臂的灵巧性和反解的精确性。用可操作性可直接判别奇异形位。当w＝0时，处在奇异状态；w＞0时，处在非奇异状态。由于矩阵行列式的值并不能代表矩阵求逆运算的稳定性，因此用它作为可操作性指标，衡量操作臂的灵巧性，有一定的缺陷。87

如2×2的对角矩阵，主对角元素是1和1010，其行列式的值很大，但其求逆的计算精度很差；反之，若主对角元素都为10–10时，虽然其行列式值很小，但求逆的计算精度很高。∴用|J(q)|作为灵巧性的评定指标是有缺陷的。同样，用J(q)与其转置之积的行列式来作为灵巧性指标也是有问题的。用J(q)的条件数作为度量指标比较合理，例如前面两个矩阵的条件数分别为1010和1，定量地表示矩阵求逆的数值稳定性。基于条件数，Angcles和Cajun推导出6轴各向同性操作臂DIFSTRO的运动学参数。在表4–2中列出该操作臂在各向同性形位时的参数值，相应的雅可比值为

J＝88关节iaidii

i111900211–909031190–90411–909051190–90611–90180表4–2DIFSTRO的连杆参数

可以验证，其条件数k(J)＝1。实际上J–1＝JT/2；||J||＝21/2；||J–1||＝1/21/2因此，操作臂处在各向同性的形位。89§4.7刚度和变形操作臂末端在外力的作用下，会产生变形。变形的大小和方向与操作臂的刚度及作用力矢量有关。因此，操作臂的刚度是影响它的动态特性和定位精度的主要因素。本课程将在第7章讨论以刚度本身作为控制目标的顺应控制和阻抗控制，使机器人完成各种细微操作，实现自动装配和仿形跟踪。本节主要讨论操作臂的刚度和变形。90

产生变形的部位有连杆本身、支承和关节驱动装置。对细长臂，如：航天飞机的操作臂，长达20多米，连杆产生的变形是末端变形的主要部分。但工业机器人的变形要源于传动、减速装置和伺服系统。

PUMA760的模态分析表明，由第1、2阶振型图可看出，最薄弱的环节发生在第2、3关节。在传递驱动力(矩)时，每个元件都产生变形，驱动电机本身由于反馈系统的增益有限而具有的刚度也是有限的。整个驱动系统(含传动减速机构)的刚度用一弹簧系数Kqi表示，则有：91i＝Kqi·dqi，i＝1,2,…,n式中，i是关节力(矩)

静态误差力(矩)；dqi是qi由于i产生的附加变形。上式可写成矩阵形式

＝Kq·dq式中，Kq＝diag(Kq1,Kq2,

…,Kqn)。再由定义：D＝J(q)dq和＝JT(q)F，则有D＝J(q)dq＝J(q)Kq–1＝J(q)Kq–1JT(q)F＝C(q)·F(4.53)式中，Kq–1为关节柔度，它是存在的，∵各关节的刚度Kqi严格为正；C(q)m×m为操作臂末端柔度矩阵，用以表示操作空间F～D的线性关系。

92

∵C(q)和J(q)有关，∴也随操作臂的形位q而变化。J(q)满秩时，C–1(q)存在，C–1(q)称为操作臂的操作刚度矩阵。当J(q)退化时，零空间N(JT(q))包含非零向量(m维)，N(JT(q))中的任何操作力F

映射为零关节力(处)，亦不产生关节变形。这意味着沿这些方向的操作刚度为无限大。为说明C(q)的物理特征，对C