2022-2023学年广东省佛山市南海区瀚文外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区瀚文外国语学校八年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题只有一项正确）1．25的平方根是（）A．±5 B．5 C．± D．﹣52．下列各数：，，23，π﹣3.14，，﹣0.1010010001，其中无理数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）4．下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，10 B．8，24，25 C．8，15，17 D．5，10，135．下列计算正确的是（）A．+＝ B．×＝ C．3﹣＝3 D．＝﹣36．已知点M（2，﹣2）、N（2，5），那么直线MN与x轴（）A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．不确定7．有下列说法：（1）有理数与数轴上的点一一对应；（2）绝对值等于本身的数是1和0；（3）两个无理数的和是无理数；（4）算术平方根是它本身的数是1和0；其中说法正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．估计的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间9．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．2b﹣c B．c﹣2b C．c﹣2a D．2a﹣c10．若Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，则它的第三边c为（）A．5 B． C． D．5或二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．9的算术平方根是，﹣27的立方根是．12．如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为cm2．13．比较大小：3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）14．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是尺．15．如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为8，则点A的坐标是．16．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是cm；此长方体盒子能放入木棒的最大长度是cm．17．观察等式2；3；4；…；根据规律写出第（n﹣1）个等式为（n为自然数，且n≥2）．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．计算：﹣4×+|1﹣|．19．已知某正数m的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，求a和m的值．20．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）、B（﹣2，﹣3）（1）描出A、B两点的位置，并连接AB、AO、BO．（2）△AOB的面积是．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上；梯子底端C离墙20米，如图．（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？23．小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边AC＝6，BC＝8，他想用所学知识求出CD的长．（1）AB＝；AE＝；BE＝；（2）设CD为x，则BD可用x表示为；（3）利用以上结论求出CD的长．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：（1）化简：①＝；②＝；（2）计算：（+++…+）（+1）＝；（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．25．阅读与思考．如果数轴上的点A1、A2分别表示实数x1、x2，两点A1，A2间的距离记作|A1A2|，那么|A1A2|＝|x2﹣x1|．对于平面上的两点A1、A2间的距离是否有类似的结论呢？运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．（1）如图，平面上两点A（1，2），B（5，5），求这两点之间的距离|AB|；（2）一般地，设平面上任意两点A（x1，y2）和B（x2，y2），如图，如何计算A，B两点之间的距离|AB|？对于问题（2）．作AA'⊥x轴，BB'⊥y轴，垂足分别为点A'，B'；作AA''⊥y轴，垂足为A''；作BC⊥AA'，垂足为点C，且延长BC与y轴交于点B''，则四边形BB'A'C，ACB''A''是长方形．∵|CA|＝，|CB|＝．∴|AB|2＝|CB|2+|CA|2＝．∴|AB|＝．这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．（3）运用上面公式求下列两点之间的距离：A（﹣1，2），B（﹣5，﹣6）．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题只有一项正确）1．25的平方根是（）A．±5 B．5 C．± D．﹣5【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．解：∵（±5）2＝25∴25的平方根±5．故选：A．【点评】本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．2．下列各数：，，23，π﹣3.14，，﹣0.1010010001，其中无理数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：23，＝﹣2，这是整数，属于有理数；﹣0.1010010001是有限小数，属于有理数；无理数有，，π﹣3.14，共有3个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．3．如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）【分析】根据点的坐标的定义判断即可．解：由图可得，点P的横坐标是﹣2，纵坐标是1，故点P的坐标为（﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键．4．下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，10 B．8，24，25 C．8，15，17 D．5，10，13【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．解：A．72+82≠102，∴不是勾股数，不符合题意；B．∵82+242≠252，∴不是勾股数，不符合题意；C．∵82+152＝172，∴是勾股数，符合题意；D．∵52+102≠132，∴不是勾股数，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．5．下列计算正确的是（）A．+＝ B．×＝ C．3﹣＝3 D．＝﹣3【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝＝，所以B选项正确；C、原式＝，所以B选项错误；D、原式＝|﹣3|＝3，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．6．已知点M（2，﹣2）、N（2，5），那么直线MN与x轴（）A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．不确定【分析】根据横坐标相同即可判断．解：∵M（2，﹣2），N（2，5），∴横坐标相同，∴MN⊥x轴，故选：A．【点评】本题考查坐标与图形性质，关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．有下列说法：（1）有理数与数轴上的点一一对应；（2）绝对值等于本身的数是1和0；（3）两个无理数的和是无理数；（4）算术平方根是它本身的数是1和0；其中说法正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据实数的概念、数轴、绝对值、平方根和立方根知识进行辨别．解：∵实数与数轴上的点一一对应，∴语句（1）不符合题意；∵绝对值等于本身的数是非负数，∴语句（2）不符合题意；∵当两个无理数是互为相反数时，它们的和为0，∴语句（3）不符合题意；∵算术平方根是它本身的数是1和0，∴语句（4）符合题意，故选：A．【点评】此题考查了实数的概念、数轴、绝对值、平方根和立方根等知识的应用能力，关键是能准确理解和运用以上知识．8．估计的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出﹣1的大小即可．解：∵＜＜，即5＜＜6，∴4＜﹣1＜5，故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．9．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．2b﹣c B．c﹣2b C．c﹣2a D．2a﹣c【分析】先根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，再根据二次根式的性质即可求出答案．解：原式＝|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣c﹣（b﹣a）＝a+b﹣c﹣b+a＝2a﹣c，故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系是解题关键．10．若Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，则它的第三边c为（）A．5 B． C． D．5或【分析】首先根据非负数的性质求得a＝3，b＝4；然后由勾股定理求得c的长度．这里需要分类讨论：4为直角边和斜边两种情况．解：∵Rt△ABC的两边a，b满足+（b﹣4）2＝0，∴a﹣3＝0且b﹣4＝0．∴a＝3，b＝4．当b为直角边时，由勾股定理知：c＝＝＝5，即c＝5；当b为斜边时，由勾股定理知：c＝＝＝，即c＝；综上所述，c为5或．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据算式平方根和立方根的定义求出即可．解：9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3，故答案为：3，﹣3．【点评】本题考查了对算术平方根和立方根的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．12．如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为12cm2．【分析】利用勾股定理和正方形的面积计算方法进行推理解答．解：如图，S①＝b2，S②＝a2，S③＝c2，a2+b2＝c2．所以S①+S②＝S③＝6cm2，所以S①+S②+S③＝2S③＝12cm2．故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理．注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．13．比较大小：＜3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用平方法比较大小即可．解：∵（）2＝7，32＝9，7＜9，∴＜3．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．14．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．这根芦苇的长度是13尺．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故答案为：13．【点评】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．15．如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为8，则点A的坐标是（0，4）．【分析】根据等边三角形三线合一定理，即可求出OC的长度，再根据勾股定理，即可得到AO的长，进而得到点A的坐标．解：由等边三角形的三线合一，可知：OC＝BC＝4，由勾股定理可知：OA＝＝4，∴A（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是利用等边三角形的性质解决问题．16．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是25cm；此长方体盒子能放入木棒的最大长度是2cm．【分析】（1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．（2）利用长方体的性质，连接AG，BG利用勾股定理解答即可．解：（1）将长方体沿AB剪开，使AB与D在同一平面内，得到如图所示的长方形，连接CD，∵长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，即DE＝12cm，EF＝30cm，AE＝8cm，∴CD＝＝＝25（cm），故答案为：25；（2）连接AP，BP，在Rt△BFP中，PF＝12cm，BF＝8cm，由勾股定理得，P＝＝＝（cm），在Rt△APB中，PB＝cm，AB＝30cm，由勾股定理得，AP＝＝＝2（cm）．故答案为：2．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．17．观察等式2；3；4；…；根据规律写出第（n﹣1）个等式为n（n为自然数，且n≥2）．【分析】根据题意找出规律即可求解．解：∵2；3；4；…；∴第（n﹣1）个等式为n（n为自然数，且n≥2），故答案为：n．【点评】本题主要考查算术平方根中的规律题，理解题意掌握题中规律是解题的关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．计算：﹣4×+|1﹣|．【分析】根据二次根式的加减运算、乘除运算、二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．解：原式＝2﹣4﹣4×+﹣1＝2﹣4﹣2+﹣1＝﹣5+．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算、二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．19．已知某正数m的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，求a和m的值．【分析】根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．解：∵正数m的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，∴a﹣3+2a+15＝0，解得：a＝﹣4，m＝（a﹣3）2＝49．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题关键．20．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，3）、B（﹣2，﹣3）（1）描出A、B两点的位置，并连接AB、AO、BO．（2）△AOB的面积是9．【分析】（1）在坐标系内描出A、B两点，并连接AB、AO、BO即可；（2）根据三角形的面积等于矩形的面积减去三角形三个顶点所在的三角形的面积即可．解：（1）如图所示：（2）S△AOB＝4×6﹣×4×3﹣×6×2﹣×2×3＝24﹣6﹣6﹣3＝9．故答案为：9【点评】本题考查的是作图问题，三角形的面积等于矩形的面积减去三角形三个顶点所在的三角形的面积是解答此题的关键．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上；梯子底端C离墙20米，如图．（1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？【分析】（1）利用勾股定理可得AB＝，再代入数计算即可；（2）根据题意表示出EA长，再在直角△EDB中利用勾股定理计算出BD长，进而可得CD长．解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝20米，则AB＝＝＝15（米）．答：这个梯子的顶端距地面有15米；（2）由题意得：EA＝4米，则BE＝19米，BD＝＝＝2（米），∵BC＝20米，∴CD＝（20﹣2）米，答：云梯的底部在水平方向应滑动（20﹣2）米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵台风的速度为25km/h，∴140÷25＝5.6（小时）即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．23．小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边AC＝6，BC＝8，他想用所学知识求出CD的长．（1）AB＝10；AE＝6；BE＝4；（2）设CD为x，则BD可用x表示为8﹣x；（3）利用以上结论求出CD的长．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再利用翻折变换的性质求出AE，可得结论；（2）利用线段的和差定义求解；（3）在Rt△BDE中，利用勾股定理求解即可．解：（1）∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB＝＝＝10，由翻折的性质可知，AC＝AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4．故答案为：10，6，4；（2）∵CD＝x，BC＝8，∴BD＝8﹣x．故答案为：8﹣x；（3）由翻折的性质可知，DE＝CD＝x，∠AED＝∠C＝90°，在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴CD＝3．【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：（1）化简：①＝；②＝；（2）计算：（+++…+）（+1）＝2020；（3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由．【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算；②先确定分母有理化因式，然后进行计算；（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；（3）通过比较a，b，c的倒数，然后进行a，b，c的大小比较．解：（1）①，故答案为：