教师培训：数学教育研究方法课件

数学教育研究方法及案例1数学教育研究的一般方法定量研究：用数字和量度说明现象。例如：问卷调查，测试，定量观察，实验，准实验；定性研究：用语言文字描述现象。例如：访谈，课堂观察，历史研究，个案研究，行动研究理念和趋势：定量和定性分析相结合2数学教育研究课题的来源教学实践中提出的问题日常观察中发现的问题学科建设中需解决的问题不同学科交叉点上的问题分析国内外信息引出的问题3选题原则时间研究生毕业论文题目备注2003黄芳关于高中数学课堂师生交流现状的调查研究桂德怀数学史对高中生数学观影响之初探发表所指导的教育硕士和教育学硕士学位论文5选题原则时间研究生毕业论文题目备注2004方匡雕M·克莱因的HPM思想及其若干启示发表赵红琴初一和初二学生所用的代数方法发表张建国几何画板对中学数学教学的影响探析王朝和物理方法在数学教学中的运用发表徐斌关于中学生数学史知识的调查研究王静波关于东亚学生数学问题解决的调查研究6选题原则时间研究生毕业论文题目备注2005周保良高中生对实无穷概念的理解发表张文蔚职高生的数学信念及其对数学学习的影响田新红高中生对函数平移的理解张厚品关于高中数学优秀生成功因素的调查研究发表任明俊高中生对函数概念的理解:历史相似性研究发表张小明中学数学教学中融入数学史的行动研究发表7选题原则时间研究生毕业论文题目发表情况2007柳笛高中新课程数学史选修课的教学设计发表赵瑶瑶复数概念的历史与教学发表沈金兴中学生对古典概率的理解:历史相似性研究董成勇高中生学习空间向量的困难及相应教学策略张献峰高中生对斜率概念的理解高令乐美国天才教育数学教材中的三角函数内容雷世清高中生对数学定义的理解9数学教育研究的主要方法调查研究实验研究个案研究行动研究比较研究10调查研究的步骤计划样本的确定访谈程序或问卷的设计研究问题的定义变量的操作性定义文献查阅调查设计总体的定义详细的抽样方法抽样编制题目预研究修正题目11问卷调查编制问卷—发放—回收—整理—分析—总结结论13问卷调查题目的制定原则1、题目要与研究的问题、假设直接相关；2、题目要清楚、不含糊，所用术语要使答卷明白易懂；3、一个题目中只包含一个问题；4、防止使用导向性问题；14问卷调查5、避免使用会给答卷人带来社会或职业压力的问题；6、避免使用那些涉及个人隐私或其他微妙的问题；7、所有的问题都应该是答卷人能够提供信息的问题，与答卷人的信息背景相适应；15问卷调查11、题目的选择答案应是可以穷尽的，选项应具有排他性，有时需要提供一种中庸的答案，以免强迫答卷人选择不愿选择的选项；12、尽可能避免使用否定性题目和双重否定性题目。17问卷调查问卷格式：标题—前言—答卷者资料—问题问卷格式应具备吸引人和易懂两个特点；问卷不宜太长；问题应按逻辑次序排出；选择回答型在前；开放型在后；问卷的排列不能给人以拥挤的感觉，各种题目应易于回答18N.Sirotic,R.Zazkis(2007).Irrationalnumbersonthenumberline--wherearethey?InternationalJournalofMathematicalEducationinScienceandTechnology,38(4):477-488FacultyofEducation,SimonFraserUniversity,Canada案例1数轴上的无理数——它们在何处？191研究背景前人的研究表明：被试在有理数和无理数的判断、有理数、无理数的定义和对无理数不同表征的灵活运用等方面，存在困难。案例1数轴上的无理数——它们在何处？21Arcavi运用数学史知识，从教师的知识、观念、误解三个方面对84位在职初中数学教师作了调查。70%的教师知道无理数概念最早出现于公元前的希腊。但很少有人知道无理数是如何产生的。关于历史上负数、小数和无理数的出现次序，55%的教师认为历史上小数的出现比无理数早；10%的教师不作回答。这表明，教师不仅缺乏历史知识，而且认为无理性取决于小数。案例1数轴上的无理数——它们在何处？22Arcavi认为，与几何学有关的的无理数起源可以对无理数的理解和课堂教学提供一个新的视角。大约在公元前400年，欧多克斯首次从理论上讨论了无理数，后出现在欧几里得的《原本》中。斯蒂文（S.Stevin，1545-1620）在《十进算术》（1585）中引入了十进制小数。欧拉（L.Euler,1707-1783）在《代数学引论》(1770)中首次正式引入负数。案例1数轴上的无理数——它们在何处？23

2研究方法问卷调查与访谈。你怎样在数轴上找出的准确位置？这里用而不用，是因为会让测试者不由自主地回忆起原来的知识，而不是自己构造。题目已经给出带有格点的笛卡尔坐标系，为了简化作图已在其上标出数轴。显然是利用勾股定理来构造所需的长度。答案如图1所示。案例1数轴上的无理数——它们在何处？25图1的几何构造法一案例1数轴上的无理数——它们在何处？263.1几何表示法有4人运用以下方法：图2的几何构造法二

案例1数轴上的无理数——它们在何处？29有4人运用以下方法：图3运用现成的直角三角形来确定的位置案例1数轴上的无理数——它们在何处？3011案例1数轴上的无理数——它们在何处？31有1人运用以下方法：图4运用螺旋三角形法来构造

案例1数轴上的无理数——它们在何处？32有1人运用以下方法：图5运用等积法来确定的位置A的面积=B的面积案例1数轴上的无理数——它们在何处？333.2数字表示法有24人运用的小数展开形式来确定的位置，按照精确度由低到高来排列：一些教师在可能存在的周围画了一个“大大的点”，并说“大约在这里”。，因此在2和3之间。在2和3之间的某个位置。我不知道具体的位置，但是肯定比较接近2。案例1数轴上的无理数——它们在何处？34我用计算器算出，找到2、3之间的中点，再

找2和2.5之间的中点，则大约在2.25处。

在4和9这两个平方数之间一共有5个整数，而5就在4的后面，因此在2和3之间的处。线形插值法把2和3之间10等分，找到两个相邻的分点，使得的平方值小于5而的平方值大于5。然后再将之间10等分，重复以上过程直至找到最合适的近似值。案例1数轴上的无理数——它们在何处？35离5最近的平方数是4，，所以应该比2大一点。为了更加精确，我们尝试更多的数字。案例1数轴上的无理数——它们在何处？363.3函数图像表示法有3名教师运用图像法。他们假设图像是具有有效性，从图中可以简便地读出长度，而不是寻找一种构造该长度的方法。应该指出的是，其中一名教师对该做法有效性进行质疑。根据函数的图像，然后找到的解。该解法附有如下说明，“如果图像作得绝对精确，我就会找到确切的位置”。与上述做法类似，运用函数的图像，在图上找出函数在的值。案例1数轴上的无理数——它们在何处？373.4不可能一些教师对该题的正确性产生了怀疑，大部分可能是因“准确”这个词产生了如下的回答。我认为在数轴上无法找到确切的位置，因为它是一个无限小数。我确信用计算器可以做出来，但是我不知道怎么做。案例1数轴上的无理数——它们在何处？38如果不知道小数点后的无穷位数，我能找到准确的位置吗？你不能作出确切的位置。这是个诡秘的问题，是无理数（即无限小数），因此它不可能在数轴上准确地标出。计算器上就没有那样的点。案例1数轴上的无理数——它们在何处？393.5实数轴与有理数轴只有9名职前教师（19.6％）能够找到的位置，我们调查其中的原因。结果发现，绝大多数准教师认为数轴就是有理数轴。那些认为“你不能”和或多或少用小数近似值的人都持有这一看法。我们希望从访谈中，探讨一个精确的而不是近似的位置。在这样的要求下，大家共同的意见是它必须四舍五入后才可以定位。案例1数轴上的无理数——它们在何处？40安娜：不可以，因为我们不知道确切值。由于以5结尾的小数0.05比以6结尾的小数0.06要小。所以它们不相等，而没有尾数我们就永远都不会知道其确切的值。卡拉：嗯，它就在那，因为还有很多其它无理数。你看，如果你能够像距离1和2点之间就是1厘米或什么，你就可以精确地做出这个点，像这样一个无理数我不能标出精确的位置，或者你也知道……访谈的问题：在数轴上是否可以精确地标出的位置？案例1数轴上的无理数——它们在何处？413.6找出有理数精确的位置访谈者：呢，你能够在数轴上找到的位置吗？安娜：在数轴上？访谈者：是…一数。但因为我们假设3是循环的，我们可以四舍五入。从这些片断中，很显然看出困惑在于无限小数。认为它不是无理数而是小数的无限展开，访谈者询问有理数的精确位置。案例1数轴上的无理数——它们在何处？42安娜：是啊，也就是，好吧你可以用除法，1除以3等于0.3的循环小数…哦它又是没有终点的。好吧，（停顿）嗯，我觉得由于3是不变的，所以我们可以知道它的位置，但是它是循环的我又不知道了。就像我们不知道在小数的百万分位上是4或什么，或是0访谈者：也就是说我们无法找到确切的位置吗？安娜：不是，是说在0.3的循环小数与0.4之间的某个位置。访谈者：在中间的某个位置？安娜：但是，不（笑）我猜不是，因为它是一个不同的数，如果使它不循环的话你减小它的值。像假设它有一个特定值，而实际上它没有，在现实中也不会有。案例1数轴上的无理数——它们在何处？43在进一步采访中,讨论做法产生这样一个疑问，究竟是什么导致大家认为把一个单位10等分比把它3等分更容易。威廉：我知道，我把直尺放在那我就知道了，很简单的。直尺可以十等分，我也可以用圆规来做…（在这，威廉想要示范用圆规来十等分一个单位，但没有成功）…我不知道怎样做，但我认为显然是可能的。直尺是最简单的，在直尺上你不用看，如果把10厘米分成3等分，作每一份是3.33时，我想，我通常取近似值大概是3…案例1数轴上的无理数——它们在何处？44应该指出的是，威廉对无理数的理解是接受访谈教师中最差之一。从威廉的有理数概念上很难建构无理数的概念。在大多数实际应用中有理数的近似值就足够了，他看成数轴变成一把普通直尺子的极端例子，也就是说无限循环小数不存在。案例1数轴上的无理数——它们在何处？453.7从数值法到几何法如上所述，最常见的方法是小数近似值。这个问题很少有人用勾股定理。我们好奇地是，是否因为一看题目没人想起勾股定理，或是否有更深层次的问题。原来，虽然职前教师熟悉定理，一般会用它来求某个直角三角形的未知边长，而不会构造所需的长度。访谈者提示史蒂夫思考几何方法，甚至用例子来说明对于如何来做。访谈如下：访谈者：好的，下一个问题。嗯，你在数轴上如何找到确切的位置？史蒂夫：那么，这次也不能用计算器？访谈者：是的，不能。案例1数轴上的无理数——它们在何处？46史蒂夫：嗯，大致找到。两个最近的完全平方数，4的平方根是2，9的平方根是3，所以就在2和3之间的某个地方。那么我猜我会用2.2试一下，看2.2平方是否是5，或是否太小了，我猜我会尝试不同的数，然后平方看它与接近的程度…访谈者：如果不用计算器的话，这种做法相当的枯燥，对吗？史蒂夫：是的，是的。访谈者：用一种几何的方法呢？（访谈者介绍找的思想，就是边长是1的等腰直角三角形的斜边）史蒂夫：哦好的，这很有趣。案例1数轴上的无理数——它们在何处？47访谈者：嗯，其他方法很好，但是都只是一个近似值而且做法相当繁琐。那么我想看看是否也可以用几何法来找确切的位置。史蒂夫：嗯，嗯，那么你怎么处理的问题，嗯（停顿）访谈者：你知道的，我打算跳过的…史蒂夫：别跳过，我要用很长的时间来思考哪些数可以凑成

…访谈者：你用什么方法来凑出的？案例1数轴上的无理数——它们在何处？48史蒂夫：好的，你看边长为45、45、90的三角形可作出，边长为60、30、90的三角形可以作出，但是我必须，我猜我能够找到关于的比率。只是看看是找不到答案的…不用计算器的话对我来说确实很难。经提示后，史蒂夫引用一些常用三角形比，这些三角形比是要求学生记忆的，如果想不起来就先用勾股定理来算。事实上，只有20％职前教师能够运用勾股定理解题。此外，在访谈通过启发提问，也没能从职前教师的概念印象中唤起该定理。基于此，我们认为勾股定理对大多数职前中学数学教师来说，是一种惰性知识。我们可以把它看成目前国家数学教育2个普遍问题的征兆：一、在学校课程中弱化几何的趋势；二、不成体系的课程。案例1数轴上的无理数——它们在何处？493.8精确的位置：可以得到什么？那些能够找到确切位置的职前教师，我们发现他们确信这样的数是存在的。他们的理解似乎更强劲。甚至我们可以说正是几何表示的有效性，帮助他们的概念发展升华到最后阶段。这与那些提供小数近似值的人形成了对比，数被看作是一个过程，需要不停地试。斯蒂芬妮的访谈如下：斯蒂芬妮：嗯，好吧。我想，你怎么可以建立这样一个三角形并且该三角形是存在的，是无理数的另一种解释。由于存在这样一个三角形，这个斜边长表示。所以应该我们可以接触的一些一样，我不知道。案例1数轴上的无理数——它们在何处？50在克莱尔的访谈中，她谈了一下教师不应该仅满足于无理数近似值的原因。克莱尔的访谈如下：克莱尔：一点当然没有尺寸的。因此在数轴上你不能用铅笔点，因为这样是有尺寸的，尽管它没有。从直觉上你可以说是的，它在那，用这种方式表示一个数…作为答案，如果你用圆规来做，而且你假设构造是准确和精细的，好的，

则表示无理数，而不是我们常说的近似值1.41。访谈者：在你看来，我们让学生了解这一点的重要性是什么，你知道精确值和近似值，他们什么时候做出的答案是近似值？对你有什么价值？你觉得他们应该了解这些东西吗？案例1数轴上的无理数——它们在何处？51克莱尔：我仍然认为最好求出精确值，而不是估计值。我是一个喜欢讲数学术语的人，如果你在7、8年级不强调不是3.14，它只是一个数的估计值的话，你解释圆的周长或什么就出现问题。我觉得对于理解某个特定值来说，这是一个非常重要的术语。访谈者：好的…克莱尔：因此我认为不应该轻视这个问题。当它是精确值，那么就求精确值，当它是四舍五入的时候，那么就求四舍五入的估计值。案例1数轴上的无理数——它们在何处？524结论与教学建议无理数概念对于理解从有理数系到实数系——数的概念扩充是至关重要，因此教学应关注这个概念的发展。

无理数的小数表示，对无理数概念的理解毫无帮助。必须清楚地认识到，从有理数的发现到建构实数集合经历了2500年。数学家们花费几千年才发展起来的内容，要让学生几节课的时间就理解了，这是不合理的。尤其是学习者处于无理数概念的形成阶段时，无理数的几何表示是一个非常有力的和不可缺少的教学工具。案例1数轴上的无理数——它们在何处？53无理数的几何表示可以从以下两方面来帮助学生。第一，学生可能会对无理数和它的有理近似值之间的区别更加敏感。第二，通过无理数的另一种表示法（数轴上的点，无理数的长度）来吸引学生的注意力，及时地摆脱无限构造，帮助他们掌握无理数的概念。但是如果教师自己没有掌握相关的知识，企图让学生理解是不可能的。案例1数轴上的无理数——它们在何处？54案例2学生解代数不等式的策略与障碍P.TSAMIRANDN.ALMOGSchoolofEducation,Tel-AvivUniversity,Israel55问题的提出1.研究背景不等式在数学中占有重要地位,它被广泛用于代数、几何、线性规划和函数的研究等各种数学课题中不等式是对等式的补充“学校数学课程与评价标准”要求9-12年级的所有学生学会‘用含变量的表达式、等式、不等式和矩阵描述数学关系’案例2学生解代数不等式的策略与障碍56一、问题的提出以色列不等式的教学情况不等式的教学没有受到应有的重视。只有中学高年级的数学专业的学生才学习不等式，而且偏重计算，只介绍“如何解”，”为什么这样解”57一、问题的提出关于不等式的数学教育研究情况此类研究数量较少，主要是探讨学生对某一种类型不等式的解法，而且只谈到学生的一至两种障碍。大多数相关文章给教师和研究者提出了教学建议，但未提供相关的研究支持58一、问题的提出研究目的1.扩大关于学生解代数不等式的策略和障碍的知识体系2.描述学生解不等式的解法（所解不等式是在以色列中学高年级数学专业的学生课堂中所学的常见不等式）59一、问题的提出主要研究问题1.学生在解线性不等式,一元二次不等式,分式不等式和无理不等式中的常用策略(对的或错的)是什么?2.学生在解这些不等式中会遇到哪些障碍？60二、研究方法问卷调查问卷包括5个方程，10个不等式，发放给高中数学专业的160个学生，在一节90分钟的数学课上进行测试。要求学生解这些方程和不等式，详细解释每一步的解法，以提供他们思考方法的隐含信息。为了更好的了解学生的想法，对25名学生进行访谈。61三、研究结果策略代数解法图像解法数轴标根总计√×√×√×√7618----76173331215592938244125413344422459245082--3216452841245766153132314096616161873--412239531-3-4362三、研究结果测试结果综述1.整体的正确率范围是16%-76%2.正确率最高的是线性不等式；正确率最低的是复合的分式不等式（第8题）3.即使是同一类不等式正确率的差异也很大：(1)二次不等式(第2,3,4,5题)正确率范围是32%-59%.当二次不等式对应的方程有两个根时(第2,3,4题)有60%的学生作对;当二次不等式对应的方程无解时只有1/3的学生作对.63三、研究结果测试结果综述(2)分式不等式(第6,7,8题)正确率的范围是16%-45%.当不等式右边是零时(第6题),大约一半的学生作对;当不等式右边不为零时(第7题),大约1/4的学生作对;只有16%的学生作对了复合不等式(第8题)

64三、研究结果测试结果综述(3)根式不等式(第9,10题)当不等式右边是零时(第9题),正确率大约是40%;当不等式右边不为零时(第10题),正确率大约只有20%65三、研究结果学生的解题策略1.代数法这种方法最为普遍,例如:(1)不等式两边同加或同减相等的量;不等式两边同乘以分母的平方,或不等式两边同乘以一个负的因式,不等式变号(2)通过考察二次不等式对应方程的根或考察“a”的符号和的符号来解不等式(3)把不等式ab>0转化成a>0且b>0或a<0且b<066三、研究结果学生的解题策略2.作图法作出相关的函数图像,用它解不等式.学生只在解分式不等式和一元二次不等式使用到这种方法.当学生做到不等式的左边是二次表达式,右边是零这一步时,开始用作图法继续求解.相应地,学生只用到抛物线的图像.67三、研究结果学生的解题策略3.使用数轴在解复合分式不等式时，许多学生用了代数法,并用数轴标根法解出最后结果.一些学生在涉及逻辑连接词的所有题目都使用了数轴.大约有一半的学生用数轴来解复合分式不等式.使用数轴或函数图像的学生通常都得出了正确的结果;使用代数方法解题错误率最高.

68三、研究结果学生解不等式的障碍1.排除增根的障碍解不等式时应该注意两种范围的限制:分式表达式中分母不为零和根式中表达式不为负.大约只有38%的学生明确指出排除增根的限制条件.有些学生尽管没有指出这些条件,但仍得出了正确的结果,因为排除增根的过程不影响结果.在第9题中没有排除增根的学生都得出了错误的结果,因为排除增根的过程会影响结果.第10题中一些学生直接写出正确的结果,无法区分这些学生是否排除了增根,这需要在访谈中证实.69三、研究结果平均FC24118332420FI24242091318NC2213912-11NI294842406244FNCIfoundneglectedcorrectincorrect70三、研究结果学生解不等式的障碍2.使用逻辑连接词障碍在解各种不等式的不同阶段都需要使用逻辑连接词.例如,解第8题的一开始和最后一步都用到了逻辑连接词.第2,3题的最后一步,在表示二次不等式的解时,也出现了逻辑连接词.学生在解复合分式不等式时,这种困惑尤为突出,大约13%的学生混淆了“或”和“且”.分式不等式的6,7题,以及对应方程有两个解的二次分式不等式的错解中有5-10%包含逻辑连接词的错误.71三、研究结果学生解不等式的障碍3.关于因式的积和商的符号的障碍求解“乘积-不等式”或“商数-不等式”的一种方法是考察因式的符号.例如,第4题(x-1)(x-2)>0,左边两个因式的乘积只有当两个因式同号时才为正.第6题(x-5)/(x-2)<0,只有当两个因式异号时,他们的商才为负72三、研究结果学生解不等式的障碍3.关于因式的积和商的符号的障碍大约15%的学生解二次不等式时(不包括第5题,它的二次因式不能分解),以及大约5%的学生解三个分式不等式时,都用到以下不完整的结论:(1)ab>0→a>0且b>0;a/b>0→a>0且b>0(2)a/b<0→a<0且b>0;a/b<0→a>0且b<0(3)→

a<b有极个别学生甚至认为ab<0→a<0且b<073三、研究结果学生解不等式的障碍4.关于分式不等式分母的障碍解分式不等式的一种方法是在分式不等式两边同乘以公分母的平方,于是去掉分母,得到一个含有多项式的不等式.但有些学生没有这样做,他们将分式不等式两边平方.访谈中,他们解释说不能在不等式两边同乘以一个因式,因为我们不知道因式是否为正.所以,我们解决问题的第一步应该是‘把所有式子都变成正的’,把不等式中的所有因式都平方就行了.例如,(x-5)/(x+2)<0→→无解74三、研究结果学生解不等式的障碍5.关于方程的障碍(1)解方程而非解不等式大约5%的学生把所有的非线性不等式的不等号都变成等号,然后解方程而不是解不等式.在以下两个例子中,这种方法使用的频率较高:在第10题中,12%的学生通过解方程得出正确结果;在第5题中63%的学生因为对应方程无解,认为不等式也无解.75三、研究结果学生解不等式的障碍5.关于方程的障碍(2)不等式两边同乘/除不一定为零的因式许多学生解分式不等式时,在不等式两边同乘以公分母,没有考虑分母为负的情况.(第6,7,8题分别有29%,44%,47%的学生犯了这种错误).大约有17%的学生在解线性不等式-8x>0时,不等式两边同除以-8,却没有改变不等号方向,在解方程时允许这样做,学生把解方程的这种方法错误地迁移到解不等式中来.76三、研究结果学生解不等式的障碍5.关于方程的障碍(3)与二次方程的根建立无意义的联系学生解方程时,例如经常把解写成这种形式.类似地,学生在解不等式时这样写:而不是x<-5或x>577四、结论和教学建议结论本文主要讨论两个问题：1.高中生解代数不等式的常用策略(1)代数法(2)图像法(3)数轴法大多数学生使用代数解法,这种解法的错误率最高;图像法主要用于求解对应方程有两个不同解的二次不等式,如果分式不等式可同解变形为上述二次不等式，图像法也可被用于求解分式不等式.学生只用到抛物线的图像,学生用图像法通常能得出正确的结果.少数学生用数轴解不等式,大多数都得出错误的结果.

78四、结论和教学建议结论2.学生解不等式遇到的障碍类型(1)排除增根(2)选择逻辑连接词(3)乘/除非正的因式(4)积或商的符号与其因式符号的联系(5)解方程而不是解不等式79四、结论和教学建议教学建议1.学生在用图像法时,没有利用线性方程的图像,而这种图像恰是学生最熟悉的.学生如果用线性方程的图像解第1题,将会大大降低错误率.2.在此次研究中,学生对不同种类的不等式使用了不同的方法,通常是一种不等式对应一种方法.这反映了不等式在课堂上就是采用这种方法教学的.推荐另外两种教学方法:(1)传授一种适合所有不等式的通法(2)每一种不等式都传授多种解法然而,尚无研究数据表明这两种教学方法分别应该在哪种教学环境下采用

80四、结论和教学建议教学建议3.对数学直觉保持清醒的认识许多学生在解不等式的过程中,与不等式对应的方程建立了不恰当的联系.方程与不等式之间存在很多相似点,使学生产生一种强烈的直觉,错误地采用解方程的方法来解不等式,直觉成功地战胜了教条.因此,有必要公开讨论方程与不等式之间的异同,让学生对数学的直觉保持清醒的认识81四、结论和教学建议教学建议4.解不等式时解题方法的选择学生最常用的方法是代数法,而学生在使用这种方法的过程中暴露出的障碍最多;图像法使用得较少,但用图像法的学生通常都得到了正确的结果.解决学生解不等式障碍的一种方法是增加图像法的使用,而且这种方法能使求解过程“可视化”,用图形解释不等式的解也更为形象.

82五、进一步有待研究的课题对每种不等式都讲授多种不同的解题方法，还是讲授一种能解所有不等式的通法？哪种方法更有利于不等式的教学？如何完成基于研究的，工具性的方法83案例313-15岁学生所用的代数方法AgnieszkaDemby(1997):Algebraicproceduresusedby13-to-15-yearolds.EducationalStudiesinMathematics,33:45-70作者单位：波兰Gdanski大学数学系84案例313-15岁学生所用的代数方法研究问题学生在做代数式化简问题时用了什么方法？这些方法大多是教师以前解释和使用过的，还是学生自己发明的？学生所用方法有何发展规律？它们在一个很长时期内是固定不变的吗？方法的类型与使用它们的学生的成绩相关吗？学生是怎样解释代数恒等式（例如6x+3x=9x）中等号的意义的？85案例313-15岁学生所用的代数方法研究对象Gdanski和Malbork两地3所学校中的4个班级共10名学生（时间从7年级到8年级，即两个学年）。本研究所涉及的所有教师都具有本科或研究生学历。86案例313-15岁学生所用的代数方法研究方法（问卷与访谈调查）在7年级中期，对四个班级的学生进行第一次测试。测试卷（I）含3道题目：第1题：将下列式子写成最简的形式：(a)6x+3x；(b)6x·3x；(c)3x-6x；(d)3x·(-6)；(e)6x:3；(f)-3+6x；(g)2x+3-3x；(h)-x+2-x2+1；(i)(6x+3x)2(j)2x2-x-5x287案例313-15岁学生所用的代数方法第2题：当x=-5时，求第1题中代数式(g)和(h)的值。时间不限，做完后交卷。研究者对学生的答案进行了分析，对错误进行试验性分类。然后选择其中51名学生进行访谈，时间2周。样本的选择确保涵盖各种层次的学生和各类错误和解题策略。88案例313-15岁学生所用的代数方法对每个学生的访谈时间为20-45分钟。访谈前，访谈者发还访谈对象的答卷（没有任何改动或批阅记号，和上缴时完全一样），让他仔细看一遍，并用红笔批改。然后，要求他解释他是如何求得结果的。在讨论了第2题之后，问他另外两个问题：第一问：“你是选择原来的代数式还是选择化简以后的代数式来求值的？”第二问：“如果你将已知数代入另一个代数式，你会得到相同的值吗？”89案例313-15岁学生所用的代数方法在8年级的期末，对同样四个班级进行第二次测试，并对同样的学生进行类似的访谈。测试卷（II）中题目设计的目的与测试卷（I）相同。但代数式的选择反映了学生的进步，难度与课程大纲要求大致相当。测试卷（II）的题目如下：90案例313-15岁学生所用的代数方法第1题：完成下列运算：(k)(-2x)·8x；(m)2x:8；(n)8x2:2x；(o)-2x2+8-8x-4x2；(p)(-4x+3)+(-1+2x)；(q)(-4x+3)-(-1+2x)；(r)(-4x+3)(-1+2x)；(s)-2(3x-8)；(t)2x(3x-8)；(u)(3x-8):2；(v)(8x-2x)2；

(w)(8-2x)2；(y)(2x2+5x)-3x；

(z)12x3-x2)-3x(2x+1)(2x-1).91案例313-15岁学生所用的代数方法第2题：当x=-3时，求第1题中代数式(z)的值。（两次测试中的第3题本文未作讨论）解法类型两次测试共有24个代数式。因此共有约2400个答案（笔试）以及约1200种对答案的口头描述（访谈）。92案例313-15岁学生所用的代数方法通过对上述信息的分析，归纳出7类方法：1（A）自动化法（Automatization）；2（F）公式法（Formulas）；3（GS）猜测-代换法（Guess-Substituting）；4（PM）预先改写法（PreparatoryModificationoftheexpression）；5（C）具体化法（Concretization）；93案例313-15岁学生所用的代数方法6（R）法则法（Rules）；7（QR）半法则法（Quasi-rules）。作者在访谈过程中发现：上述7类方法可以用来描述1200例中90%以上的化简代数式方法。其余情形不易归类；有些学生的方法不甚明确。另外，同一个学生变形代数式的方法可能有几种，典型的组合(PM)+(R)+(C)和(R)+(GS)。94案例313-15岁学生所用的代数方法(A)自动化法(A)型解法的典型特征是变形中涉及运算的自动化：学生立即知道正确的结果，对“你如何得到结果的？”及“为什么你认为它是对的？”感到十分惊讶。典型的回答是：“这是很显然的”、“我不知道为什么自己知道这一结果”、“或许我们在课堂上学过这个，但我不记得了”、“我只是知道这样做的”、“看看式子，我马上就看出来了”。学生的做法似乎表明这些运算已经被内化（interiorized）了。(A)型方法只在8年级出现，并且都是最好的学生。95案例313-15岁学生所用的代数方法(F)公式法(F)型解法特征是使用公式。如对(8-2x)2，一个学生说：“我利用了公式(a+b)2=a2+2ab+b2，a为8x，b为-2x”；另一个学生在解释(2x+1)(2x-1)的变形时说：“有这样一个公式：(a+b)(a-b)

=a2-b2”。一个学生在解释(-4x+3)(-1+2x)的变形时说“我利用了短乘公式”，访谈者接着问他“你指的是什么公式呢”时，他写道：(a+b)(c+d)

=ac+ad+bc+bd”。96案例313-15岁学生所用的代数方法也有一些学生使用了错误的公式，如(a-b)2=a2-2ab-b2；或用对公式，但写错了，如在用公式(a-b)2=a2-2ab-b2时写道：(8-2x)2=82-2·8·(-2x)+2x2。97案例313-15岁学生所用的代数方法(GS)猜测-代换法(GS)型解法的特征是学生用具体的数字分别代入原代数式和化简后的代数式，看结果是否相等。一个学生这样说：“我代入一个具体的数，检查是不是对了。但我并不总是这样做，只有在我不会做或拿不准的时候才这样做。”98案例313-15岁学生所用的代数方法(PM)预先改写法将代数式改成更简单或更易理解的形式。如，对于(o)中的代数式-2x2+8-8x-4x2，一个学生说：“我会将它改成加法，写成-2x2+8+(-8x)+(-4x2)；另一个学生说“这是-2x2，8，-8x和-4x2的和”。对于(-4x+3)-(-1+2x)，有些学生说“我把这个式子改成加法”，写道：99案例313-15岁学生所用的代数方法(-4x+3)+(-1)(-1+2x)。更多是文字解释：“第二个括号之前的负号与-1相同”。一个学生说：“在第二个括号中，我把符号改成相反”，并写道：(-4x+3)+(+1-2x)。将除法改成分数、或将除法改成乘法，都属于这个类型。如将8x2:2x改写成8x2/2x（很方便变成分数线，然后就可以化简了），或将6x:3改写成6x·1/3（现在我只有乘法运算了，所以我知道该怎么做）。100案例313-15岁学生所用的代数方法(C)具体化法(C)型解法的特点是学生为待进行的抽象运算想象出某个模型（常常是日常生活中的事物的关系）。如：“3x和6x相加得9x，这与3个苹果和6个苹果相加得9个苹果一样”，或“6x除以3得2x，因为如果6个苹果由3个人分，那么没人得2个”。101案例313-15岁学生所用的代数方法(R)法则法此类解法满足下列条件：(1)描述一个已知代数式变形的方法时提到一个法则；(2)不是(F)公式法、(GS)猜测-代换法、(PM)预先改写法或(C)预先改写法中的任何一种。(3)学生做法中没有不一致的地方。102案例313-15岁学生所用的代数方法如对于6x+3x：“做加法的时候，将系数相加，再写上x。”一个孩子把这个法则用到乘法6x·3x上来：“我必须先把（系）数相乘，然后写上x”。使用这个法则的学生在遇到3x·(-6)时说：“不能做，因为（相乘的）两项不同类”。有些学生错误地运用法则：“2x2-x-5x2=4x-x-25x=-22x，因为这里必须先计算乘方。”103案例313-15岁学生所用的代数方法对于(-4x+3)-(-1+2x)，一个学生说：“第一项（-1）变号，另一项不变。”对于(-4x+3)·(-1+2x)，一个学生说：“将同类项相乘，即-4x乘2x，加上3乘-1”。尽管在课堂上，教师经常向学生提及运算的基本性质。但访谈时学生却很少提及。一些学生提到的运算律常常是错误的，如一个学生写出3x+6x=9x后解释说这是“利用结合律”。104案例313-15岁学生所用的代数方法另一个学生写出(8-2x)2=82-(2x)2，并解释说“利用了分配律”。学生很少说明他们给出的法则的理由，常常说：“在课堂里我们就是这样做的”或“老师教我们的”。(QR)半法则法(QR)型解法的特征是学生引用了一个法则，但前后不一致。105案例313-15岁学生所用的代数方法如：对于(o)中的代数式-2x2+8-8x-4x2，一个学生说：“首先我必须求乘方”，于是将首项变成-2x2变成4x2；但对最后一项他又不求乘方了。一个学生写出6x·3x=18x后评论说：“做乘法时，我们把（系）数乘起来，然后写上x”，但过了一会，他又不知道如何做9x·9x了。106案例313-15岁学生所用的代数方法解法的变化I、II两份卷子中的一些代数式的代数结构是相似的：(v)(i)；(m)(e)；(k)(b)；(p),(q)(g)；(y),(o)(h),(j)。这样安排的目的是可以比较同一个学生在15个月后在处理同类代数式时所用的方法。107案例313-15岁学生所用的代数方法(QR)型解法：8年级出现的频率低于7年级；(R)型解法：7年级出现的频率最高（每个被访谈的学生至少使用一次），而8年级出现的频率更高，正确率也提高（尽管第II次测试难度增大了）；在7年级只使用(R)型解法的一些学生到了8年级会用更多的方法，如具体化法(C)、公式法(F)或预先改写法(PM)。108案例313-15岁学生所用的代数方法测试之后，作者将学生分成三个层次：109案例313-15岁学生所用的代数方法方法类型与学生成绩之间的相关性几乎所有7年级的S等级的学生在8年级仍然保持优秀；而在7年级PS等级的学生中，约半数在8年级仍然保持PS等级，约1/4上升为S等级，另1/4下降为F等级；7年级F等级的学生中，约半数仍保持F等级，其余学生上升为PS等级。8年级学生中，优等生使用的方法比7年级时更加多样化，最常出现的是(R)+(PM)+(F)；PS等级的学生经常使用的也是(R)+(PM)+(F)。110案例313-15岁学生所用的代数方法FPSSQRRCPMGSFA································7年级学生所用各种方法类型之频率111案例313-15岁学生所用的代数方法FPSSQRRCPMGSFA················8年级学生所用各种方法类型之频率························112案例313-15岁学生所用的代数方法上图表明：大部分正确率提高的学生在8年级使用了比7年级时更多类型的方法；几乎所有使用(GS)、(C)和(PM)型解法的7年级学生都属于S或PS等级，他们到了8年级时几乎都属于S等级。将数字代入代数式对于第2题的解答，研究者考虑三个特征：113案例313-15岁学生所用的代数方法对代换之基本理解(Elementaryunderstandingofsubstitution，EUS)：用已知数代替变量进行运算；正确的代换与计算(Correctsubstitutionandcom-putation，CSC)；代入化简后的式子(Substitutinginthesimplifiedversionoftheexpression，SSVE)而不是原式。统计结果如下表。114案例313-15岁学生所用的代数方法两次测试中第2题答题情况统计115案例313-15岁学生所用的代数方法结论比较两次测试结果，得到学生能力(performance)发展的六个主要模式(patterns)：7年级S等级到8年级S等级；从PS等级到S等级；从PS等级到PS等级；从PS等级到F等级；从F等级到F等级；从F等级到PS等级。116案例313-15岁学生所用的代数方法只有一名学生从S下降到PS，没有出现从S下降到F和从F上升到S的情况。

在7年级，学生经常使用错误的法则，但经过15个月之后，许多人只使用正确的法则。7年级中PS等级的学生中3/4经过教师的细心指导能够掌握基本的代数式变形方法。许多学生使用了课本和课堂上从未出现过的方法。117案例313-15岁学生所用的代数方法方法上的变化：(C)型解法大大减少；(PM)型解法（用加法代替减法，用乘法或分数代替除法）显著增加。(GS)解法很少。与前人研究结果的比较本研究证实了Booth(1983-84)、Cwik(1984)、Lee和Wheeler(1989)的结论：学生运用他们自己的方法而不是学校里教过的方法。特别地，许多学生提118案例313-15岁学生所用的代数方法到的法则与课本上教师解释的法则不同，此外，他们还经常自己的法则与老师教过的法则混为一谈。有些学生甚至说他们的错误法则是老师教的。本研究也证实Kirshner(1995)的结论：成功的学生在熟练掌握操作性技巧（manipulativeskills）之前会经历将分配律过于一般化（overgeneralizing

distributivity）的阶段（犯诸如a+b=a+b

之类的错误）。119案例313-15岁学生所用的代数方法几何解释之作用波兰的数学课本是用运算基本性质来解释如何对代数式进行变形时的。然而，一个众所周知的事实是：学习代数的中学生在运用这些性质时遇到很大的困难。Wierzbicki(1970)对波兰490所学校各一个7年级班级学生的研究发现：不到1/4学生能知道他们所用的运算性质（尽管约有半数学生获得正确结果）。120案例313-15岁学生所用的代数方法Skaluba(1988)研究发现：即使对于中学高年级许多学生来说，恒等式的应用(即用(F)型解法)也的确是一件很难的事。然而，在许多课本中，运算性质只根据公式来解释，而不用其他方法。本研究表明：光向学生讲述运算基本性质是没有效果的；学生并不情愿或并不能够利用这些性质。须注意：这些基本性质在课本中有，而且本研究中四个班级的教师系统解释或使用过这些性质。121案例313-15岁学生所用的代数方法许多国家的课程建议教师用几何方法来解释代数式，如分配律用矩形来解释。一些作者(Sawyer1964;Bruner1966;Ruthven1989)描述了如何用直观模型（如木块、小立方体等）来解释二次多项式。但在本研究中，只有一位访谈对象提到几何解释，尽管课本和教师都用这种论证方法。122案例313-15岁学生所用的代数方法教学启示孩子知识的建构并非通过演绎推理（deductivereasoning）来完成，而是通过收集经验（gatheringexperience）、比较结果（comparingresults）、一般化（generalization）以及修正前面的法则（revisingthepreviousrules）来完成。教师应该利用一切机会对代数法则进行解释，应该参考学生当前的作业、他们的疑问、观念和错误观念、自发推广的结论。123案例313-15岁学生所用的代数方法不总结学生的经验，光靠练习来学习代数变形是没有效果的。只讲授代数法则、让学生死记法则、用机械的方式练习都是没有价值的。坚持让学生使用对他们来说很陌生的我们的法则（特别是基本运算性质）是没有意义的。

124案例4中学生表达空间信息的能力D.Ben-Chaim,G.Lappan&R.T.Houang(1989):Adolescents’abilitytocommunicatespatialin-formation:analyzingandeffectingstudents’per-formance.EducationalStudiesinMathematics,20:121-146125案例4中学生表达空间信息的能力研究问题：中学生解决问卷中的三维问题时采用了什么表示方法？个体有何差异？空间想象活动教学实验对提高中学生的空间信息表达能力是否有效？研究方法：教学实验法、问卷调查法被试：21个6-8年级班级。126引言表达和解释三维几何关系的能力对于许多学校课程和技术职业来说都是十分重要的。给学生机会探索各种空间和几何信息的表示方式应该成为基本的教育目标。Goodnow(1977)：孩子在表示物体时是由困难的。Mitchelmore(1983)：中学生在表示规则三维图形案例4中学生表达空间信息的能力127案例4中学生表达空间信息的能力时是由困难的，包括画图时如何表示平行线和垂线的困难。在大量相关研究中，一些研究得出的结论是训练对提高空间测试成绩是有效的；而另一些研究则得出相反结论。因此空间想象活动的训练是否对学生有益，仍值得进一步研究。128案例4中学生表达空间信息的能力此外，一些研究得出结论，男生的空间想象能力比女生更强。这导致研究者对空间想象能力的性别差异与数学成绩性别差异之间的关系、性别和教学的相互作用、性别和空间想象能力评价中所用的问题和方法的相互作用以及空间想象能力性别差异的原因等方面的研究。总之，在空间想象能力训练以及性别差异的研129案例4中学生表达空间信息的能力

究方面，仍需进一步的研究。Mitchelmore(1975)称“最需要的是开发出实用的几何和空间教学课程及其试验性测试”；Sherman(1979)认为“需要设计出提高(空间想象能力)的方法，并评价其可行性和合理性”；Bishop(1983)认为“很清楚，现在需要更多的利用诊断性测试方法，以及记忆和迁移问题进行的训练研究”。130案例4中学生表达空间信息的能力研究目的设计一份建筑描述问卷。目的有三：研究中学生完成问卷所用的表示类型；研究表示方法上的个体差异，确定成功的程度；确定空间想象活动教学对于学生表示方法和成功率是否有影响，若有，是否有年级和性别上的差异。131案例4中学生表达空间信息的能力建筑描述问卷图1132案例4中学生表达空间信息的能力你坐在屏幕的一侧，你的朋友坐在屏幕的另一侧。你的朋友听不见你的声音，但你可以递一张纸给他。你的朋友手头有一些立方体好用。这里是由立方体堆成的建筑。你是唯一一个能看见这个建筑的人。133案例4中学生表达空间信息的能力你的任务是设法让你的朋友知道你所见到的建筑是什么样子的。随你发挥创意。【注意：上述文字中并没有出现诸如“画”(draw)、“描述”(describe)、“解释”(explain)、“写”(write)之类的具有导向性的词】134案例4中学生表达空间信息的能力样本和数据收集在参加空间想象活动的前两周，从17个班级(分别属于市区、郊区和农村的不同学校)中每班随机抽取3-4名学生进行“建筑物描述任务”。教学后一个月，在其中15个班级中，每班随机选取3-4名学生参加问卷测试。每个学生独立的完成任务，时间不限。学生花的时间从8135案例4中学生表达空间信息的能力到17分钟不等，平均10分钟，问题同前测。样本的年级、性别分布如表1。136案例4中学生表达空间信息的能力137案例4中学生表达空间信息的能力教学单元空间想象教学单元(TheSpatialVisualizationunitofinstruction)是由MGMP项目组开发出来的。它包括十次按时间顺序进行的活动，约需三周教学时间（12至15课时）。训练单元包括用二维的图画来表示三维物体，用小立方体来构造三维物体。

138案例4中学生表达空间信息的能力表达方式分类根据BurdenandCoulson(1981)的建议，本研究使用了三种表达方式对学生的建筑描述问题的回答进行分类：文字方式以文字来表达空间信息。图2和图3是前测时三个学生的回答，前2人只使用了文字，后1人主要使用了文字，所画图形并不包含新的信息。

139案例4中学生表达空间信息的能力图2教学前学生的文字表示方式140案例4中学生表达空间信息的能力图3教学前学生的文字表示方式141案例4中学生表达空间信息的能力一个8年级女孩前测时的回答(图2，文字方式)：

“建筑很高，侧面好像有阶梯可达顶层。另一侧有基本相同的模式。每一个上升一层。它很高，但也有许多部分离底面很低。背面笔直上升，但不是建筑的最高部分。前面有一平台，侧面有另一平台。两个平台大致都有一层高。建筑的最高部分在中间，约有3层高。另一侧甚至可能有阳台。”142案例4中学生表达空间信息的能力一个8年级男孩前测时的回答(图2，文字方式)：

“它由10个红色立方体(约1英寸1英寸)组成。建筑有3层高。如果你取8个立方体拼在一起，你就能得到一个大立方体。但是，(这里)一个立方体叠在另一个立方体之上，有点象烟囱。另两块立方体从两侧伸出。”143案例4中学生表达空间信息的能力一个7年级女孩前测时的回答(图3，文字方式)：

“我想和你说说一座建筑。首先它有许多层；2个单元有两层高。3个单元1层高，中间的单元有3层高。建筑由立方体所组成。左前没有放立方体；中间放一个，后面放两个。很容易将其方在一排。第二牌有6个立方体。再后面有3块立方体叠在一起，后面有两块立方体。144案例4中学生表达空间信息的能力在第3排只有1个立方体。整个建筑由10个立方体组成，记住它们是红色的。下面是一张图形，但要记住该建筑是立着的。”图形方式用直观图形来表达空间形式，图上至多记有标签和数字。图4-6是前测时孩子的回答，均属图形方式。145案例4中学生表达空间信息的能力图4教学前学生的图形表示方式146案例4中学生表达空间信息的能力图5教学前学生的建筑图形方式147案例4中学生表达空间信息的能力图6教学前学生的图形表示方式148案例4中学生表达空间信息的能力图7教学前学生的图形表示方式149案例4中学生表达空间信息的能力混合方式既使用文字也使用图形来表达空间信息。图8-9所示是前测时学生的3种回答。150案例4中学生表达空间信息的能力151案例4中学生表达空间信息的能力图8教学前学生的混合表示方式152案例4中学生表达空间信息的能力153案例4中学生表达空间信息的能力图9教学前学生的混合表示方式154案例4中学生表达空间信息的能力三位作者用上述标准各自独立地对学生的回答进行分类，结果对97%的学生的分类完全一致。成功回答的确定判断标准：如果运用学生所表达的信息能够重新构造出这个建筑，那么他的答案就是成功的。如图10-12表示三种成功的答案(后测结果），每种表达方式都不同。另外成功的例子在图3，155案例4中学生表达空间信息的能力图10教学后学生的文字表示方式(成功的回答156案例4中学生表达空间信息的能力图11教学后学生的图形表示方式(成功的回答）157案例4中学生表达空间信息的能力图11教学后学生的图形表示方式(成功的回答158案例4中学生表达空间信息的能力图12教学后学生的混合表示方式(成功的回答159案例4中学生表达空间信息的能力图12教学后学生的混合表示方式(成功的回答160案例4中学生表达空间信息的能力4，8。利用个标准，三位作者各自独立地对所有答案都作了评定。除了两个文字表述的答案外(进一步检查后。仍被评定为成功的)，其余的评定结果完全一致。结果教学之前，学生的回答从直接的尝试将所观161案例4中学生表达空间信息的能力察的建筑画成或描述出来，到对建筑的奇妙解释均有之。一个8年级女生用文字描述建筑：“沿侧面上升的楼梯”、“塔”、“平台”、“阳台”(图2)。另一8年级男生这样描述：“它是世界上最大的建筑。它看上去象是未来的建筑…建筑里本身有两千多间办公室。”还有一个学生将建筑物画成有窗户、大门、风景、甚至电视162案例4中学生表达空间信息的能力天线。学生估计建筑的高度：“我的建筑有30有30英尺高。有3层，每层10英尺高…”或估计面积：“建筑的台基占地15亩”，以及别的建筑特征。学生强调这样的现实细节：“其红色的立方体堆在一起，侧面有圆…立方体很坚硬，不会移动。”此外，图13-15显示，好几个学生在用图形表示建筑时出了错。相比之下，教学163案例4中学生表达空间信息的能力之后，多数学生使用了平面图，flatviews和isometricviews来描述建筑物。图10-12是教学后学生典型的回答，特别是混合方式和图形方式。表2按年级、性别、和教学前后对学生的回答进行的分类。164案例4中学生表达空间信息的能力

表2年级、性别、教学前后表达方式百分比165案例4中学生表达空间信息的能力从表2中可见：教学前，三种表达方式的百分比接近相等；教学之后，文字表达方式几乎消失，图形表达方式的百分比大大增加。教学之前，各年级的表达方式分布有着显著的差异，6年级学生喜欢混合方式和图形方式；7年级学生喜欢文字方式，而8年级学生喜欢口头和混合方式。教学之后，年级之间没有显著差异。166案例4中学生表达空间信息的能力教学之前，男女生在表达方式上没有显著差异；而教学之后，男女生有显著的差异。女生使用混合方式和图形方式的人数基本持平；而男生喜欢图形方式。表3按年级、性别和教学前后给出了成功学生的百分比。167案例4中学生表达空间信息的能力表2年级、性别、教学前后正确表达的百分比168案例4中学生表达空间信息的能力从表3可见：教学之前的成功率只有26%；而教学之后成功率显著增至83%。男女生之间和不同年级之间并没有显著差异。进一步检查成功的表达方式发现：教学之前，使用表达混合方式的学生中，只有23%是成功的；而教学之后有76%是成功的。教学之前，使用图形表达方式的学生中，只有21%是成功的；而教169案例4中学生表达空间信息的能力学之后的成功率为85%。只有一个7年级女生在教学之后采用了文字表达方式，而且是成功的。讨论与结论教学之前中学6到8年级的学生会自发地运用各种表达方式，包括文字叙述、画侧面图或平面图或运用170案例4中学生表达空间信息的能力混合策略；各年级的学生在表达方式的选择上有显著差异；男女生在表达方式的选择上并没有差异。这与前人研究(Burden&Coulson,