第3届“希望杯”全国数学邀请赛试卷初第2试467

1992年第3届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题（共10小题，每题1分，满分10分）33＝521.077119823，则0.8047等于（1．（1分）若8.047A．0.521077119823C．571077.119823）B．52.1077119823D．0.005210771198232．（1分）假如一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（A．正数B．负数C．正数、零）D．负数、零3．（1分）若a＞0，b＜0且a＜|b|，则以下关系式中正确的选项是（）A．﹣b＞a＞﹣a＞bB．b＞a＞﹣b＞﹣aC．﹣b＞a＞b＞﹣aD．a＞b＞﹣a＞﹣b4．（1分）在1992个自然数1，2，3，，1991，1992的每一个数前面增添“+”或“﹣”号，则其代数和必定是（）A．奇数B．偶数C．负整数D．非负整数5．（1分）某同学求出1991个有理数的均匀数后，马虎地把这个均匀数和本来的理数混在一同，成为1992个有理数，而忘记哪个是均匀数了．假如这1991个有1992个有理数的均匀数恰为1992．则本来的1991个有理数的均匀数是（A．1991.5B．1991C．1992）D．1992.56．（1分）四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，且，则a+d与b+c的大小关系是（）A．a+d＜b+cB．a+d＞b+cC．a+d＝b+cD．不确立的7．（1分）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（）A．x是奇数，y是偶数C．x是偶数，y是偶数B．x是偶数，y是奇数D．x是奇数，y是奇数22199219928．（1分）若x﹣y＝2，x+y＝4，则x+y的值是（）A．4B．1992C．22D．4199219929．（1分）假如x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，而且3x﹣2y＝1，那）不一样的么代数式10x+y能够取到（值．A．1个B．2个C．3个D．多于3个的10．（1分）某中学科技楼窗户设计以下图．假如每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右当作一个三位数．这四层构成四个三位数，它们是837，第1页（共16页）571，206，439．则依据图中所示的规律写出1992应是选项中的（）A．C．B．D．二、填空题（共10小题，每题1分，满分10分）11．（1分）a，b，c，d，e，f是六个有理数，而且，则＝．12．（1分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于．332233222313．（1分）x+y＝1000，且xy﹣xy＝﹣496，则（x﹣y）+（4xy﹣2xy）﹣2（xy﹣y）＝．14．（1分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，19921993的形式，则a+b＝．15．（1分）海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的，又抛弃4个到大海中去，次日吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的，那么这堆核桃至少剩下个．16．（1分）假如不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是．a，b，c是三个不一样的自然数，两两互质．已知它们随意两个之和都能被第三17．（1分）个333整除．则a+b+c＝．18．（1分）若a＝1990，b＝1991，c＝1992，则a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca＝．19．（1分）将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图中10个格子里，222每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是．第2页（共16页）A，A，A，A，A的件数和用钱总数列成下表：20．（1分）购置五种教课器具12345品名╲次数A1总钱数2345A3AAA第一次购件14561992元数第二次购件1579112984元数那么，购置每种教具各一件共需元．三、解答题（共2小题，满分10分）21．（5分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现正是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的摆列次序，并简述推理过程．22．（5分）一个自然数a，若将其数字从头摆列可得一个新的自然数b．假如a正是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．（1）请你举例说明：“希望数”必定存在．（2）请你证明：假如a，b都是“希望数”，则ab必定是729的倍数．第3页（共16页）

1992年第3届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）参照答案与试题分析一、选择题（共10小题，每题1分，满分10分）331．（1分）若8.047＝521.077119823，则0.8047等于（）A．0.521077119823C．571077.119823B．52.1077119823D．0.00521077119823333【剖析】先依据（）＝，找出8.047与0.8047之间的关系，再解答即可．3【解答】解：∵（）＝，33∴将8.047＝512.077119823的小数点向前移三位得，即为0.8047的值，应选：A．【评论】本题观察的是有理数乘方的法例，即求n个同样因数积的运算，叫做乘方．2．（1分）假如一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（）A．正数B．负数C．正数、零D．负数、零【剖析】一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个有理数必为非正数，可据此进行判断．【解答】解：设这个有理数是a，则依据题意有：|a|＝﹣a，所以a≤0，即这个有理数是非正数．应选：D．【评论】本题比较简单，熟习绝对值的定义，对选项一一考证即可，要注意解题时，不要漏解0这个特别的数字．3．（1分）若a＞0，b＜0且a＜|b|，则以下关系式中正确的选项是（）．＞＞﹣a＞﹣bA．﹣b＞a＞﹣a＞bB．b＞a＞﹣b＞﹣aC．﹣b＞a＞b＞﹣aDab【剖析】依据题意，运用取特别值的方法，比较其大小．【解答】解：已知a＞0，b＜0，a＜|b|．所以取a＝1，b＝﹣2，则﹣a＝﹣1，﹣b＝2．因为2＞1＞﹣1＞﹣2，第4页（共16页）所以﹣b＞a＞﹣a＞﹣b．应选：A．【评论】本题也能够联合数轴比较有理数的大小，注意培育数形联合的数学思想．4．（号，则其代数和必定是（）A．奇数B．偶数1分）在1992个自然数1，2，3，，1991，1992的每一个数前面增添“+”或“﹣”C．负整数D．非负整数【剖析】依据在整数a、b前随意增添“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变的性质即可得出答案．【解答】解：因为在整数a、b前随意增添“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变，这个性质对n个整数也是正确的，所以，1，2，3，1991，1992的每一个数前面随意增添“+”或“﹣”号，其代数和的奇偶性与﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣1991+1992＝996的奇偶性同样，是偶数，应选：B．【评论】本题观察了整数的奇偶性，难度一般，重点是掌握在整数a、b前随意增添“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变．5．（1分）某同学求出1991个有理数的均匀数后，马虎地把这个均匀数和本来的1991个有理数混在一同，成为1992个有理数，而忘记哪个是均匀数了．假如这1992个有理数的均匀数恰为1992．则本来的1991个有理数的均匀数是（）A．1991.5B．1991C．1992D．1992.5【剖析】设本来1991个数的均匀数为m，则这1991个数总和为m×1991．当m混入此后，那么1992个数之和为m×1991+m，其均匀数是1992，即可得出对于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：设本来1991个数的均匀数为m，则：这1991个数总和为m×1991，那么1992个数之和为m×1991+m，∵这1992个有理数的均匀数恰为1992∴可得出一元一次方程为：＝1992解之可得：m＝1992第5页（共16页）应选：C．【评论】本题观察了一元一次方程在实质问题中的运用，本题主要应找好等量关系列出方程，即可求解．6．（1分）四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，且，则a+d与b+c的大小关系是（）A．a+d＜b+cB．a+d＞b+cC．a+d＝b+cD．不确立的a最大，d最小，所以推出【剖析】在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d，而后依据等式的性质，等式两边分别加上1，而后通分，再根据比率式的性质，把等式整理为，由＞1，即可推出，所以a+b＞b+c，建立．【解答】解：∵正数a，b，c，d中，a最大，d最小，∴a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d，∵，∴，∴整理得：，∴，∵b＞d＞0，∴＞1，∴，∴a﹣b＞c﹣d，∴移项得：a+d＞b+c．应选：B．【评论】本题主要观察有理数的混淆运算、比率式的性质、不等式的性质、等式的性质，重点在于依据题意推出b＞d，在求证过程中要娴熟运用有关的性质定理，正确的平等式进行整理．7．（1分）已知p为偶数，q为奇数，方程组的解是整数，那么（）第6页（共16页）A．x是奇数，y是偶数C．x是偶数，y是偶数B．x是偶数，y是奇数D．x是奇数，y是奇数【剖析】依据第一个方程及p为偶数可知x为偶数，据第二个方程及q为偶数可知y为奇数．【解答】解：由方程组，以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，应选：B．【评论】本题观察的是解二元一次方程组和奇偶数的性质，正确掌握奇偶数的运算性质是解题的重点．22199219928．（1分）若x﹣y＝2，x+y＝4，则x+y的值是（）B．19922C．21992D．41992A．42219921992【剖析】由题意x﹣y＝2，x+y＝4，能够分别解出x，y，而后将其代入x+y进行求解．【解答】解：由x﹣y＝2①22平方得x﹣2xy+y＝4②22又已知x+y＝4③③﹣②得2xy＝0?xy＝022∴x，y中起码有一个为0，但x＝4．+y所以，x，y中只好有一个为0，另一个为2或﹣2．不论哪一种状况，都有19921992199219921992x+y＝0+（±2）＝2，应选：C．222【评论】本题观察完整平方式的性质及其应用，解题的重点是利用进行求解，是一道好题．x+y＝（x﹣y）+2xy9．（么代数式10x+y能够取到（）不一样的值．A．1个B．2个C．3个1分）假如x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，而且3x﹣2y＝1，那D．多于3个的【剖析】依据题意x，y只好取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数可得一不等式求第7页（共16页）出x的取值，从而求出y值，即可得出结果．【解答】解：设10x+y＝a，又3x﹣2y＝1，代入前式得a＝（*）因为x，y取0﹣9的整数，10x+y＝a的a值取非负整数．由（*）式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．另一方面，3x﹣2y＝1得y＝，∴y＝∴3x≤19，x≤，所以，x只好取1，3，5，这三个奇数值，y相应地域1，4，7这三个值．这时，a＝10x+y能够取到三个不一样的值11，34和57，应选：C．【评论】本题重在观察对题意的理解与运用那个能力，比较锻炼思想．10．（1分）某中学科技楼窗户设计以下图．假如每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右当作一个三位数．这四层构成四个三位数，它们是837，571，206，439．则依据图中所示的规律写出1992应是选项中的（）A．C．B．D．【剖析】察看图案和数据可知：第二排第2个图案代表数字3；第四排第3个图案代表数字7；可知未涂色圆代表数字1，察看各选项即可得出结果．【解答】解：由图案和供给的数据可知：第二排第2个图案代表数字3；第四排第案代表数字7；3个图可知未涂色圆代表数字1．则1992应是选项中的D．第8页（共16页）应选：D．【评论】本题观察了用符号（窗户形状）代表阿拉伯数码，解题的重点是由同样的数字得出对应的图案，找到打破口．二、填空题（共10小题，每题1分，满分10分）11．（1分）a，b，c，d，e，f是六个有理数，而且，则＝720．【剖析】察看所给式子的特色，前一个式子的分母是后一个式子的分子，把这些式子相乘，得，从而可求得．【解答】解：∵∴＝＝，＝，∴＝720，故答案为720．【评论】本题观察了有理数的乘法，解决本题的重点是找到规律，计算比较简单．12．（1分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于5312．【剖析】三个连续偶数的和等于1992，则中间的一个偶数为1992÷3＝664，求得其他两个偶数分别为662与666，从而算出最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差．【解答】解：∵三个连续偶数的和等于1992，∴中间的一个偶数为1992÷3＝664，其他两个偶数分别为662与666，22∴666﹣662＝（666+662）×（666﹣662）＝1328×4＝5312．【评论】本题观察了有理数的混淆运算，解决本题的重点是求得三个偶数．332233222313．（1分）x+y＝1000，且xy﹣xy＝﹣496，则（x﹣y）+（4xy﹣2xy）﹣2（xy﹣y）＝1992．33223322【剖析】依据x+y＝1000，xy﹣xy＝xy（x﹣y）＝﹣496，将（x﹣y）+（4xy﹣2xy）233322﹣2（xy﹣y）变形为（x+y）﹣2（xy﹣xy）后辈入求值即可．3322【解答】解：∵x+y＝1000，xy﹣xy＝xy（x﹣y）＝﹣332223496∴（x﹣y）+（4xy﹣2xy）﹣2（xy﹣y）332223＝x﹣y+4xy﹣2xy﹣2xy+2y第9页（共16页）3322＝x+y+2xy﹣2xy3322＝（x+y）﹣2（xy﹣xy）＝1000+2×496＝1992．故答案为：1992．【评论】本题观察了因式分解的知识，能够对原代数式进行因式分解是解答本题的重点，难度不大．14．（1分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，19921993的形式，则a+b＝2．【剖析】依据三个有理数互不相等，又能够用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．【解答】解：因为三个互不相等的有理数，既可表示为0，，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是能够判定，1，a+b，a的形式，又可表示为a+b与a中有一个为0，与b中有一个为1，但若a＝0，会使没意义，所以a≠0，只好是a+b＝0，即a＝﹣b，又a≠0，则＝﹣1，因为0，，b为两两不相等的有理数，在＝﹣1的状况下，只好是b＝1．于是a＝﹣1．1992199319921993所以，a+b＝（﹣1）+（1）＝1+1＝2．故答案为：2．【评论】本题观察了有理数与无理数的观点与运算，利用互斥原理，逐渐进行推理得出正确结果是解题的重点．15．（1分）海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的，又抛弃4个到大海中去，次日吃掉的核桃数再加上少剩下6个．3个就是第一天所剩核桃数的，那么这堆核桃至【剖析】第一依据题意设出未知数x，而后表示出第一天剩下的核桃个数，再表示出第二天吃掉的核桃个数，用第一天吃剩的个数减去次日吃掉的核桃个数就是剩下的核桃个数，再依据题意可知核桃个数一定是整数，经过计算获得答案．【解答】解：设核桃一共有X个，由题意得：第10页（共16页）第一天剩下的核桃个数：（1﹣）x﹣4＝x﹣4次日吃掉的核桃数：（x﹣4）×﹣3＝x﹣﹣3∴最后剩下的个数：﹣（﹣﹣3）＝0.225X+1.5∵最后剩下的个数0.225X+1.5一定是整数∴当X＝20时，原式＝∴起码剩下6个6故填：6【评论】本题主要观察了代数式和数的整除性问题的综合运用，表现了数学与实质生活的亲密联系，题目难度不大．16．（1分）假如不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是9≤m＜12．【剖析】先求出不等式的解集，再依据其正整数解列出不等式，解此不等式即可．【解答】解：解不等式3x﹣m≤0获得：x≤，∵正整数解为1，2，3，∴3≤＜4，解得9≤m＜12．故答案为：9≤m＜12．【评论】本题观察了一元一次不等式的整数解，依据解题的重点．再解不等式时要依据不等式的基天性质．x的取值范围正确确立的范围是17．（1分）a，b，c是三个不一样的自然数，两两互质．已知它们随意两个之和都能被第三个333整除．则a+b+c＝36．【剖析】依据题意，不仿设a＞b＞c，则由不等式的性质，得2a＞b+c，即＜2，且为正整数，从而＝1，即b+c＝a，再利用这三个数中随意两数之和可被第三个整除，得出整除性，推出a、b、c的值．【解答】解：不仿设a＞b＞c，则2a＞b+c，即＜2，由已知得为正整数，故只好＝1，第11页（共16页）于是b+c＝a，因为这三个数中随意两数之和可被第三个整除，应有b|a+c，∴b|[（b+c）+c]，即b|（b+2c），∴b|2c，又因为b、c互质，∴b|2，又b＞c，∴b≥2，但b|2，只好是b＝2．333333于是c＝1，a＝3．所以a+b+c＝3+2+1＝27+8+1＝36．故本题答案为：36．【评论】本题观察了数的整除性．重点是依据题意“这三个数中随意两数之和可被第三个整除”，列出整除式求解．22218．（1分）若a＝1990，b＝1991，c＝1992，则a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca＝3．222【剖析】将a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca转变为完整平方的形式，再将各数代入求值较简易．【解答】解：因为a＝1990，b＝1991，c＝1992，所以222222a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a+2b+2c﹣2ab﹣2bc﹣2ca），222222＝[（a﹣2ab+b）+（b﹣2bc+c）+（c﹣2ca+a）]，222＝[（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）]，222＝[（1990﹣1991）+（1991﹣1992）+（1992﹣1990）]，222＝[（﹣1）+（﹣1）+（+2）]，＝3．222【评论】本题观察了完整平方公式和代数式求值，解题的重点是将a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca转变为完整平方公式，以简化计算．19．（每个格子中只是28．1分）将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图中10个格子里，填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值【剖析】图形中有三个田字形，此中重叠的有两个小格，设对应的数为x与y，则x、y均被加了两次，依据田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，依据3个田字形所填数第12页（共16页）的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y，列方程，利用整数的性质求解．【解答】解：将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，此中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y＝65+x+y于是得3p＝65+x+y．要p最大，一定x，y最大，因为x+y≤10+11＝21．所以3p＝65+x+y≤65+21＝86．解得P≤＝28，所以p取最大整数值应为28．故答案是：28．【评论】本题观察了整数问题的综合运用．重点是设重叠部分的整数为x、y，列出方程，依据整数的性质剖析问题．A，A，A，A，A的件数和用钱总数列成下表：20．（1分）购置五种教课器具12345品名╲次数A11A23A34A45A5总钱数第一次购件数61992元第二次购件数1579112984元那么，购置每种教具各一件共需1000元．【剖析】能够设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x，x，x，x，x元，依据第一次12345和第二次购物时的件数和付的钱总数能够获得方程组，求解即可．【解答】解：设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为则依题意列得关系式以下：x1，x2，x3，x4，x5元．即①×2﹣②得式：第13页（共16页）x1+x2+x3+x4+x5＝2×1992﹣2984＝1000．所以购置每种教具各一件共需1000元．【评论】本题观察了二元一次方程的应用及解法．解题重点是要读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程组，求解时要依据方程的特色巧解方程．三、解答题（共2小题，满分10分）21．（5分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现正是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的摆列次序，并简述推理过程．【剖析】第一假定出这个九位数奇位数字之和为鉴别法知x+y与x﹣y的取值，从进一步剖析得出，【解答】解：x，偶位数字之和为y，由被11整除的x与y的值．我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适合调整，追求能被11整除的最大的由这九个数码构成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y＝1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45．由被11整除的鉴别法知x﹣y＝0，11，22，3