平行线经典例题透析

经典例题透析

类型一：相交线和平行线的概念

主要考察相交线和平行线及平移的定义、性质和定理，常以选择题为主要题型。

1．判断正误：不相交的两条直线叫做平行线。()

思路点拨：对平行线的概念的理解，应加深对“同一个平面内”的理解，即在空间里存在既不平行、也不相交的异面直线。

解：错。

总结升华：要正确全面的理解平行线的概念。平行线必须满足两个条件：①同一平面内，②不相交。

举一反三

[变式]下列说法正确的是()

A、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种

B、同一平面内，不相交的两条线段互相平行

C、不相交的两条直线是平行线

D、在同一平面内，不相交的两条射线互相平行

思路点拨：两条线段或两条射线平行，是它们所在的直线平行，两条线段或射线不相交，不能保证它们所在的直线不相交，故B，D不正确。C没有说明是在同一平面内，也不正确。

答案：A。

2．如图5，下列条件中，不能判断直线∥的是（）

A．∠1=∠3B．∠2=∠3C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°

思路点拨：本例可用平行线的判定方法，结合排除法使问题得以解决．

解析：A中∠1与∠3为内错角，∠1=∠3可得∥；

C中∠4与∠5是两个相等的同位角，可得∥；

D中∠2与∠4是两个互补的同旁内角，可得∥

只有B不能确定．

答案：B．

总结升华：要正确判断出同位角、内错角和同旁内角。

举一反三

[变式1]如图6，下列不能判定FB∥CE的条件是（）

A．∠F+∠FEC=180°B．∠ABF=∠CC．∠F=∠CEDD．∠A=∠D

答案：D

[变式2]如图7，下列各式是正确的是（）

A．∠1与∠4是同位角B．∠1与∠3是同位角

C．∠2与∠4是同位角D．∠2与∠3是同位角

答案：D

类型二：平移

3．如图8所示，指出图中的任意两个图案之间有何关系。

思路点拨：图中任意两个图案都在同一平面内且某一个图案都可以由另一个图案沿某一个方向平行移动一定距离得到，因此它们属于平移。

解析：图中任意两个图案之间都是平移关系。

总结升华：平移是指把一个图形沿某个方向移动一定的距离，是平行移动，而不只是水平移动。

举一反三

[变式1]图9中的(2)(3)(4)(5)中，哪个图片是由图片(1)经过平移得到的？

思路点拨：注意仔细观察，一要判别大小是否变化；二要观察对应线段是否平行

解析：图片(1)和图片(2)图形的左右方向发生改变，不是平移运动；

图片(1)和图片(4)图形的上下方向发生改变，不是平移运动；

图片(1)和图片(5)图形的大小比例发生改变，不是平移运动；

图片(1)和图片(3)图形的形状、大小都未发生改变，是平移运动。

[变式2]如图10，平移线段AB，使点A移到点A′的位置。

思路点拨：平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连结AA′，这个问题便获得解决。根据平移后的图形与原来图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等的道理，也容易画出所求的线段。

解析：连结AA′，过点B作BB′∥AA′，且BB′＝AA′，得点B′，连结A′B′。线段

A′B′即为所求。(如图11)

类型三：命题

4．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并说出命题的题设和结论分别是什么。

(1)直角等于90°

(2)等角的补角相等

(3)自然数一定是有理数

(4)同位角相等，两直线平行。

解析：(1)如果一个角是直角，那么它等于90°。

题设：一个角是直角。

结论：它等于90°。

(2)如果两个角相等，那么它们的补角也相等。

题设：两个角相等。

结论：它们的补角相等。

(3)如果一个数是自然数，那么它一定是有理数。

题设：一个数是自然数。

结论：它一定是有理数。

(4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

结论：这两条直线平行。

举一反三

[变式1]判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题？

（1）画线段AB=3cm

（2）两条直线相交，有几个交点

（3）若a∥b，b∥c，则a∥c

（4）直角都相等

（5）相等的角都是直角

（6）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

解析：（3），（4），（5），（6）是命题，其中(3)，(4)，(6)是真命题，(5)是假命题，（1），（2）不是命题

[变式2]指出下列命题的题设、结论；

（1）两直线平行，内错角相等。

（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么两个角相等。

（3）同旁内角不互补，两直线不平行。

解析：（1）题设：两直线平行；结论：内错角相等。

（2）题设：一个角的两边分别平行于另一个角的两边；结论：两个角相等。

（3）题设：同旁内角不互补；结论：两直线不平行。

类型四：平行线的性质及互余、互补角的性质的计算

主要考察平行线的性质，常以填空题为主要题型。

5．如图12，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°,则∠C的度数是()

A．31°B．35°C．41°D．76°

思路点拨：本题主要考查对平行线的性质、互余和互补角的性质以及小学学过的常识性的问题－－－－－－三角形的内角和是180°等知识。

解析：因为AB∥CD，所以∠D=∠BAD=350，又∠BOD＝76°，

而∠BOD+∠COD=180°，所以∠COD=104°，又因为∠C+∠D+∠COD=180°，

所以∠C=180°－104°－35°=41°，故选C．

总结升华：本题虽然是选择题型，它重点考查运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识，通过简单的推理计算来解决问题的．

举一反三

[变式1]如图13所示，直线a∥b，则∠A=__________度．

答案：220

[变式2]如图14，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠1=50°，求∠2的度数．

答案：65°

6．如图15，已知DC平分∠ACB，∠B＝70°，∠ACB＝50°，DE∥BC，求∠EDC与∠BDC的度数。

思路点拨：本题考查平行线性质的应用，关键是依图判断待求角∠EDC、∠BDC与已知角∠B、∠ACB之间的位置关系。

解析：∵DC平分∠ACB，∠ACB＝50°，

∴∠1＝∠ACB＝25°(角平分线的定义)

又∵DE∥BC(已知)

∴∠EDC＝∠1＝25°(两直线平行，内错角相等)

∠B＋∠BDC＋∠EDC＝180°

又∵∠B＝70°

∴∠BDC＝180°－∠B－∠EDC＝85°

总结升华：本题重点考查运用平行线的性质、角平分线的定义等知识，通过简单的推理计算来解决问题的．

举一反三

[变式1]如图16，直线AB、CD被直线EF所截，GM平分∠EGB，∠AGM＝150°，AB∥CD，求∠CHE的度数。

解：∵∠AGM＋∠2＝180°

又∠AGM＝150°

∴∠2＝180°－150°＝30°

又∵GM平分∠EGB

∴∠EGB＝2∠2＝2×30°＝60°

又∵∠AGE＋∠EGB＝180°

∴∠AGE＝180°－∠EGB＝180°－60°＝120°

∵AB∥CD

∴∠CHE＝∠AGE＝120°(两直线平行，同位角相等)

[变式2]如图17，试说明△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

解析：如图18过点A作BC的平行线DE，则∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，因为

∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，所以∠A+∠B+∠C=180°