第3讲函数y=Asin(ωxφ)图象三角函数模

2013高一第二学期数学课程函数y=Asin(ωx+的φ图象(2、三角函数模型的简单应用一、知识温故:1.用五点法画y=Asin(ωx一+φ个周期内的简图时,要找五个特点点以下表所示x0-φωπ2-φω-φπ3π2-φω2-φπωωx+φπ2π3π22πy=Asin(ωx+φ0A-A2.函数y=sinx的图象变换获得y=Asin(ωx的+φ图象的步骤3.当函数y=Asin(ωx+φ(A>0,ω∈>[0,+,x∞表示一个振动时,A叫做振幅,T=2πω叫做周期,f=1T叫做频次,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.4.图象的对称性函数

函数y=Asin(ωx+φ(A>0,ω的图>0象是轴对称也是中心对称图形y=Asin(ωx+的φ图象对于直线x=xk(此中ωxk+φ=kπ+π

,详细以下:(12,k∈Z成轴对称图形.(2函数y=Asin(ωx+的φ图象对于点(xk,0(此中ωxk+φ=k∈πZ,k成中心对称图形.一种方法在由图象求三角函数分析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=M-m2,k=+m2,ω由周期T确立,即由2πω=T求出,φ由特别点确立.一个差别由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+的φ图象,两种变换的差别:先相位变换再周期变换(伸缩变换,平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换再相位变换,平移的量是|φ|ω(ω>0个单位.原由在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x自己加减多少值,而不是依靠于ωx加减多少值.两个注意作正弦型函数y=Asin(ωx+φ的图象时应注意:(1第一要确立函数的定义域;(2对于拥有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只需作出一个周期的图象,就可依据周期性作出整个函数的图象.二、经模典范:考点1:作函数y=Asin(ωx+的φ图象①“五点法”――设Xxω?=+,令X=0,3,,,222ππππ求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。例1、设函数f(x=cos(ωx????+φω>0,-π2<φ<0的最小正周期为π,且fπ4=32.(1求ω和φ的值;(2在给定坐标系中作出函数f(x在[0,π]上的图象.[审题视点](1由已知条件可求ω,φ;(2采纳“五点法”作图,应注意定义域[0,π].(1“五点法”作图的重点是正确确立五个点,尔后列表、描点、连线即可.(2变换法作图象的重点看x轴上是先平移后伸缩仍是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=????ωx+φω来确立平移单位.稳固练习、已知函数f(x=3sin?????12x-π4,x∈R.(1画出函数f(x函数y=sinx的图象作如何的变换可获得

在长度为一个周期的闭区间上的简图f(x的图象?

;(2将考点2:求函数y=Asin(ωx+的φ分析式例2、(2011·江苏函数f(x=Asin(ωx+φ(A,ω为,φ常数,A>0,ω>0的部分图象以下图,则f(0的值是________.[审题视点]由最高、最低点确立A,由周期确立ω,而后由图象过的特别点确立φ.解决这种题目一般是先依据函数图象的最高点、最低点确立A,h的值,函数的周期确立ω的值,再依据函数图象上的一个特别点确立φ值.稳固练习、已知函数y=Asin(ωx+φ(A>0,|φ|<π2,ω>0的图象的一部分以下图.(1求f(x的表达式;(2试写出f(x的对称轴方程.考点3:物理量ω、T之间的联系例3、函数sin(yAxω?=+(,,A为ω?常数,0,0Aω>>在闭区间[,0]-π上的图象以下图,则ω=.稳固练习、已知函数y=sin(ωx+?(ω>0,-π≤?<的π图像以下图,则?=________________考点4:正确理解图像的平移例4、把函数y=cos(3x+4π的图象适合改动就能够获得y=sin(-3x的图象,这种改动能够是(A向右平移4πB向左平移4πC向右平移12πD向左平移12π稳固练习、将函数y=f(x的图象沿x轴向右平移3π,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变成本来的2倍,获得的曲线与y=sinx的图象同样,则y=f(x是(Ay=sin(2x+3πBy=sin(2x-3πCy=sin(2x+32πDy=sin(2x-32π考点5:巧求初相角例5、求初相角是高中数学学习中的一个难点,如何求初相角?初相角有几个?下边经过失解分析,介绍四种方法如图,它是函数y=Asin(ωx+?(A>0,ω>0,|?|<的图π象,由图中条件,写出该函数分析式错解:由图知:A=5由23252πππ=-=T得T=3π,∴ω=Tπ2=3∴y=5sin(3x+?将(π,0代入该式得:5sin(32+?=0由sin(32π+?=0,得32π+?=kπ?=kπ-32π(k∈Z∵|?|<π,∴?=-32π或?=3πy=5sin(32x-32π或y=5sin(32x+3π分析:由题意可知,点(4π,5在此函数的图象上,但在y=5sin(32x-32π中,令x=4π,则y=5sin(6π-32π=5sin(-2π=-5,由此可知:y=5sin(32x-32π不合题意那么,问题出在哪里呢?我们知道,已知三角函数值求角,在一个周期内一般总有两个解,只有在限制的范围内才能得出唯一解考点6:如何求解三角函数的最值问题【问题研究】(1求三角函数的最值是高考的一个热门.在求解中,必定要注意其定义域,不然简单产生错误.(2主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值;②依据三角函数的值域(或最值求有关的参数;③三角函数的值域(或最值作为工具解决其余与范围有关的问题.【解决方案】①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,可经过引入协助角φ?????cosφ=aa2+b2,sinφ=b2+b2,将原式化为y=a2+b2·sin(x+φ的+c形式后,再求值域(或最值;②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设t=sinx,将原式化为二次函数y=at2+bt+c的形式,从而在t∈[-1,1]上求值域(或最值;③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx+c的三角函数,可先设t=sinxcos±x,将原式化为二次函数y=±12a(t2-1+bt+c的形式,从而在闭区间t∈[-2,2]上求最值.例6、(2011·北京已知函数f(x=4cosxsin????x+π6-1.(1求f(x的最小正周期;(2求f(x在区间????-π6,π4上的最大值和最小值.第一化为形如y=Asin(ωx+的φ形式,由T=2πω求得:由x∈???-π6,π求4,得ωx+的φ范围,从而求得最值.解决这种问题经常借助三角函数的有界性或转变成我们所熟习的函数,如二次函数等来解决.稳固练习、能否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+58a-32在闭区间????0,π2上的最大值是1?若存在,求出对应的a值?若不存在,试说明原由.三、过关测试1、已知函数(fx=Acos(x+ω?的图象以下图,2(23π=-,则(0f=(A23-(B23(C-12(D122、已知函数(3sincos(0fxxxωωω=+>,(y的图像fx与=直线2y=的两个相邻交点的距离等于π,则(fx的单一递加区间是(A5[,],1212kkkZππππ-+(B511[,],1212kkkZππππ∈++(C[,],36kkkZππππ-+∈(D2[,],63kkkZππππ∈++3、将函数sinyx=的图象向左平移?(0≤?<2的π单位后,获得函数sin(6yxπ=-的图象,则?等于(DA.6πB.56πC.76πD.116π4、(2009山东卷理将函数sin2yx=的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数分析式是(.A.cos2yx=B.22cosyx=.42sin(1π++=xyD.22sinyx=5、(2009天津卷文已知函数0,(4sin((>∈+=wRxwxxfπ的最小正周期为π,(xfy=的图像向左平移||?个单位长度,所得图像对于y轴对称,则?的一个值是(A2πB83πC4πD8π6、已知函数(sin(,fxAxxR=+∈ω?(此中0,0,02πω?>><<的周期为π,且图象上一个最低点为2(,23π-.(Ⅰ求(fx的分析式;(Ⅱ当[0,]12π,求(fx的最值.附例题练习答案:例1:解(1周期T=2πω=π,∴ω=2,∵f????π4=cos????2×π4+φ=cos????π2+φ=-sinφ=32,∵-π2<φ<0,∴φ=-π3.(2由(1知f(x=cos????2x-π3,列表以下:图象以下列图:2x-π3-π30π2π32π53πx0π6512π23π1112ππ(x121-112【稳固练习】解(1列表取值:xπ232π52π72π92-π412xπ2π32π2πf(x-3描出五个重点点并用圆滑曲线连结,获得一个周期的简图,如右图.(2先把y=sinx的图象向右平移π4个单位,而后把全部的点的横坐标扩大为本来的2倍,再把全部点的纵坐标扩大为本来的3倍,获得f(x的图象.例2:分析由图可知:A=2,T4=7π-12π3=π所4,以T=2kπ+π,∴φ=2kπ+π3,令k=0,ω=2πT=2,又函数图象经过点????π3,0,因此2×π3+φ=则π,φ=π故3,函数的分析式为f(x=2sin2x+π所3,以f(0=2sinπ3=62.答案62【稳固练习】解(1察看图象可知:A=2且点(0,1在图象上,∴1=2sin(ω·0+φ,即sinφ=12∵.|φ|<π∴φ2,=π6.又∵1112π是函数的一个零点,且是图象递加穿过x轴形成的零点,∴11π12ω+π6=2π,∴ω=2∴.f(x=2sin????2x+π6.(2设2x+π6=B,则函数y=2sinB的对称轴方程为B=π2+kπ,k∈Z,即2x+π6=π2+kπ(k∈Z,解上式得x=kπ2+π6(k∈Z,∴f(x=2sin????2x+π6的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z.例3:【分析】考察三角函数的周期知识。32Tπ=,23π=,因此3ω=稳固练习:分析:由图可知,(544,,2,125589,510Txπωπ???ππ??=∴=+?????+∴=???把代入y=sin有:1=sin例4:分析:三角函数图象变换问题的惯例题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,本题是已知变换前后的函数,求变换方式的逆向型题目,解题的思路是将异名函数化为同名函数,且须x的系数同样解:∵y=cos(3x+4π=sin(4π-3x=sin[-3(x-12π]∴由y=sin[-3(x-12π]向左平移12π才能获得y=sin(-3x的图象(选择D【稳固练习】分析:这是三角图象变换问题的又一类逆向型题,解题的思路是逆推法解:y=f(x可由y=sinx,纵坐标不变,横坐标压缩为本来的1/2,得y=sin2x;再沿x轴向左平移3π得y=sin2(x+3π,即f(x=sin(2x+32答案π:C例5:正解一:(单一性法∵点(π,0在递减的那段曲线上∴32π+?∈[2π+2kπ,32π+2kπ](k∈Z由sin(32π=0+?得32π+?=2kπ+π?=2kπ+3π(k∈Z∵|?|<π,∴?=3π正解二:(最值点法将最高点坐标(4π,5代入y=5sin(32x+?得5sin(6π+?=5∴6π+?=2kπ+2∴π?=2kπ+3π(k∈Z取?=3π正解三:(开端点法函数y=Asin(ωx+?的图象一般由“五点法”作出,而开端点的横坐标x正是由x+?=0解得的,故只需找出开端点横坐标x0,就能够快速求得角?由图象求得x0=-2x,∴?=-ωx0=-32(-2π=3π正解四:(平移法由图象知,将y=5sin(32x的图象沿x轴向左平移2π个单位,就获得本题图象,故所求函数为y=5sin32(x+2π,即y=5sin(32x+3π例6:[解答示范](1由于f(x=4cosxsin????x+π6-1=4cosx?????32sinx+12cosx-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin????2x+π6,因此f(x的最小正周期为π.(6分(2由于-π6≤x≤π因此4,-π6≤2x+π6≤2π3.于是,当2x+π6=π即2,x=π6时,f(x获得最大值2;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,f(x获得最小值-1.【稳固练习】[试试解答]y=-?????cosx-12a2+a24+58a-12,当0≤x≤π2时,0≤cosx令≤1,t=cosx,则0≤t≤1,y=-?????t-12a2+a24+58a-12,0≤t≤1.当0≤a2≤即1,0≤a≤2时,则当t=a2,即cosx=a2时.ymax=a24+58a-12=1,解得a=32或a=-4(舍去.当a2<0,即a<0时,则当t=0,即cosx=0时,ymax=58a-12=1,解得a=125(舍去.当a2>1,即a>2时,则当t=1,即cosx=1时,ymax=a+58a-32=1,解得a=2013(舍去.综上知,存在a=32切合题意.过关测试答案:1、【分析】由图象可得最小正周期为2π3,于是f(0=f(2π注3,意到2π3与π2关于7π12对称因此f(2