工程力学(天津大学)第15章答案_第1页
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第十五章压杆稳定第十五章压杆稳定思考题15−1在§15−2中对两端铰支细长压杆,按图a所示的坐标系及挠曲线形状,推导出了欧拉公式π2EIFcrl2F试问如分别取图b,c,d所示的坐标系及挠曲线形状时,挠曲线微分方程及所得到的公式cr与图a情况下得到的结果是否相同?xxxxFcrFcrFcrFcrlyyyy(a)(b)(c)(d)思考题15−1图15−2欧拉公式在什么范围内适用?如果把中长杆误认为细长杆应用欧拉公式计算其临界力,会导至什么后果?15−3图示8种截面形态的细长压杆,如果各方向的支承条件相同,问压杆失稳时会在哪个方向弯曲?思考题15−3图第十五章压杆稳定15−4两根压杆的材料、长度与杆端的支承条件均相同,横截面面积也相同,但其中一个为圆形截面,另一个为正方形截面,问哪一根杆能够承受的压力较大?15−5若两根压杆的材料相同且柔度相等,这两根压杆的临界应力是否一定相等,临界力是否一定相等?15−6由两个型号相同的不等边角钢组成的中心受压杆件,有下面两种布置方案,在两端约束条件相同的情况下,哪种布置合理,为什么?(a)(b)(a)(b)思考题15−7图思考题15−6图17−7与上题类似由两个型号相同的等边角钢组成的中心受压杆件,图中的两种布置方案,哪种布置合理,为什么?15−8为什么在选择压杆的截面时,必须采用试算方法?习题15−1图示各杆的材料和截面均相同,试问哪根杆能够承受的压力最大,哪根最小?FFFFm5Fm9m8m7Fm5m5m2(a)(b)(c)(d)(e)(f)习题15−1图:λFcr解对于材料和截面面积均相同的压杆,柔度越大,临界力越小,因而压杆越容易l失稳,亦即能够承受的压力最小。根据,由于各杆的截面均相同,因此只需比较各i杆的计算长度l即可(a)l155m(b)l0.774.9m第十五章压杆稳定(c)l0.594.5m(d)l224m(e)l188m(f)上、下两段分别计算,临界力应取较小者,而计算长度l应取较大者上段l0.552.5m下段l0.753.5m经比较可得,杆(f)能够承受的压力最大,杆(e)能够承受的压力最小。EA15−2图示平面桁架各杆均为细长杆,弹性模量均为,横截面积均为,截面惯性矩均为I。ACF(1)若在点与上作用一对向外的拉力,如图a所示;ACF(2)若在点与上作用一对向内的压力,如图b所示;试求结构达到临界状态时的最小荷载.BBaaaa1212FFFF55ACAC3434DD(a)(b)FFBBN1N1FFFFAAFFN2N2N1N1FFN4N4FN5FN5(c)(d)(e)(f)习题15−2图解:(1)取节点为研究对象,其受力图如(c)A所示,列出平衡方程Fcos450Fcos450F0N1N4Fsin450Fsin4500N1N4FFN4()2F拉2解得N1B再取节点为研究对象,其受力图如(d)所示,列出平衡方程Fsin450Fsin4500N2N1FFcos450Fcos4500N5N1N4第十五章压杆稳定FF2F(拉)解得N1N22F2FF(压)N5N12EI2EI杆5的临界压力为FN5,cr2a222a结构的临界荷载取决于杆5的临界压力,其值为2EI2a2FFcrN5,cr(2)用同样的方法可以求得FFFF2F(压)N1N2N3N42F2FF(拉)N5N12EIa2F杆1-4的临界压力为N1,cr结构的临界荷载取决于杆1-杆4的临界压力,其值为22EIF2FcrN1,cra215−3如图所示的压杆,由100×100×10等边角钢制成,材料为Q235钢,试求该压杆的临界力。解:首先计算压杆的柔度Fliyxi0由于压杆失稳时将绕y0轴转动,因此式中的应取对轴的惯ym20x0xi.y性半径,即=1.96cm1xy0000.71.242.861.96102可见此压杆属于小柔度杆,不能使用欧拉公式计算临界力。现采用抛物线型经验公式计算临界应力习题15−3图42.8623510.43222.7MPa21crs123c由此可得压杆的临界力第十五章压杆稳定FA222.710619.261104428.9103N428.9kNcrs15−4一矩形截面木质压杆,在xz平面内为两端固定,在xy平面内为下端固定上端lbhEλp自由。已知=4m,=120mm,=200mm,木材的弹性模量=10GPa,=59。问当压F力逐渐增大时,压杆将在哪个平面内失稳,并计算压杆的临界力。xyxz解:由于压杆在平面与平面内的支承情况不同,因此x压杆在两个平面内的柔度也不同,压杆在柔度大的平面内失稳Fxz(1)压杆若在平面内失稳Ihb3/12b12012byi34.6mmyyAbh12zhl0.541l57.834.6103yiyzxy(2)压杆若在平面内失稳习题15−4图Ibh3/12h20012iz57.7mmzAbh12242l138.657.7103ziz由于y,因此当压力逐渐增大时,压杆将在平面内失稳,压杆的临界力为Fxyz1010912020031012/1212310N123kNEI22Fz3cr242l22BCda15−5图示结构中为圆截面杆,其直径=80mm,AC为边长=70mm的正方形ABC截面杆。已知该结构的约束情况为端固定,、为球铰。两杆材料均为Q235钢,弹性模Enst量=210GPa,可各自独立弯曲而互不影响。若结构的稳定安全系数=2.5,试求所能承受的许用压力。解:可分别计算BC杆和杆的许用压力,两者较小值即为结构所能承受的许用压力。两杆材料均为Q235钢,两杆的轴力均为FCAFBm2BC(1)杆为两端铰支的圆截面压杆,截面的惯性半径为daCAId4/64d8020mm44iBCm3BCAd2/4aBC其柔度为习题15−5图第十五章压杆稳定12lBCBCi100p0.02BCBC因此可以用欧拉公式计算临界力2210100.084/64104210N1042kN2EI9FBC,cr3BClBCBC2122F1024417kN2.5由此可得FBC,crnstCA(2)杆为一端固定一端铰支的正方形截面压杆,截面的惯性半径为a4/12a2a7012IiCA20.2mmCA12ACA其柔度为0.73lCACAi104p0.0202CACA因此可以用欧拉公式计算临界力2210100.074/12940.410N940.4kN2EI9FCA,cr3CA20.732lCACAF940.4376kN2.5由此可得FCA,crnst因此F376kNl15−6柱的下端固定,上端铰支,柱长=6m,柱由两根28a号槽Fσ钢组成,[]=160MPa。(1).当两槽钢的腹板固结在一起而形成工字形截面时,试求柱F的许用荷载[];(2).若支承、长度及槽钢型号均不改变,如何提高柱的许用荷载,试求许用荷载的最大值。l习题15−6图第十五章压杆稳定15−7图示结构由两个圆截面杆组成,已知二杆的直径及所用的材料均相同,且二杆均为大F柔度肝。试问:当从零开开始逐渐增大时,哪个杆首先失稳?FF600300CDABddhlB45°30°CAd习题15−7图习题15−8图15−8图示托架中AB杆的直径=40mm,长度=800mm,两端可视为铰支,材料为dlσQ235钢,=240MPa。s(1)试求托架的临界荷载;FABCD(2)若已知=70kN,杆的稳定安全系数规定为2,而梁确保安全,试问此托架是否安全?BCFa15−9图示三角架中,为圆截面杆,材料为Q235钢,已知=12kN,=1m,dσ=40mm,材料的许用应力[]=170MPa,试BC(1)校核杆的稳定。(2)从BC杆的稳定考虑,求此三角架所能承受的最大安全荷载。F3m1.5mAqB45°BAam545°.1DCdC习题15−9图习题15−10图ADdσBC15−10图示结构中为铸铁圆杆,直径=60mm,许用压应力[]=120MPa,1cdσq杆为Q235钢圆杆,直径=10mm,[]=160MPa,试求许用分布荷载[]。2CDqAB15−11图示结构的梁上作用有均布荷载=50kN/m,撑杆为圆截面木杆,两σABd端铰支,木材的许用压应力[]=11MPa,试求撑杆所需的直径。压2.4m0.8mFqACCBDlm8BD.1dllA习题15−11图习题15−12第十五章压杆稳定l26dE图示结构中三杆均为16Mn钢圆杆,直径均为,弹性模量为,。因15−12d变形微小,故可认为压杆受力达到F后,其承载能力不能再提高。试求结构所受荷载的Fcr极限值F。max15−13图示结构中CF为铸铁圆杆,直径=100mm,许用压应力[]=120MPa,BEdσ1cdσABCD可视为刚体,试求结构的许为Q235钢圆杆,直径=50mm,[]=160MPa,横梁2F用荷载[]。已知EE=120GPa,=200GPa。钢铁EBm2m2F2m2maADCFm2a习题15−13图习题15−14图15−14一支由4根80mm×80mm×6mm等边角钢组成,如图所示。支柱的两端为lσ,材料为Q235钢,强度许用应力[]=160MPa,试求支铰支,柱长=6m,承受压力450kNa柱截面边长的尺寸。15−15钢屋架如图所示,上部各结点处荷载均为=30kN,屋架的上弦杆用两个等边FdσCD角钢组成,连接两角钢的铆钉孔直径=23mm,材料的许用应力[]=160MPa,试选择杆的截面。F1m1mFBCdAFDFm1CdAB习题15−15图15−16图示结构中的AB梁用16号工字钢制成,习题15−16图CD杆为圆钢,直径=60mm,已知dEσsσλ材料的弹性模量=205GPa,屈服极限=275MPa,中柔度杆的临界应力=338–1.21,crFλλnnst=90,=50,强度安全系数=2,稳定安全系数=3,试求荷载的容许值。ps第十五章压杆稳定答案15−1图f所示杆的临界力最大,因而能够承受的压力最大,图e所示杆的临界力最小,因而能够承受的压力最小。2EI2a222EI15−2(1)(2)a2F15−3=2180k

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