20182019版高中数学第一章导数及其应用15定积分的概念151曲边梯形的面积152汽

1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的行程学习目标1.认识“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的行程．知识点一曲边梯形的面积思虑1如何计算以下两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转变成三角形和梯形求解．思虑2以下列图的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么差异？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的看法及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝，＝(≠)，＝0和曲线y＝(x)所围成的图形称为曲边梯形(如axbabyf图①所示)．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成好多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，获取每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就获取曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．求曲边梯形面积的步骤：①切割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二求变速直线运动的(位移)行程一般地，若是物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用切割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.1．求汽车行驶的行程时，切割的区间表示汽车行驶的行程．(×)2i－1ii22．当n很大时，函数f(x)＝x在区间n，n上的值，只能用n近似代替．(×)43．利用求和符号计算i(i＋1)＝40.(√)i＝1种类一例1

求曲边梯形的面积求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线

y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积．参照公式

22211＋2＋＋n＝6nn＋12n＋1考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解令f(x)＝x2＋1.切割将区间[0,2]n均分，分点依次为2

4

2n－1x0＝0，x1＝n，x2＝n，，

xn－1＝

n

，xn＝2.第i

个区间为

2i

－2，n

2in

(i＝1,2

，，

n)，每个区间长度为

x＝

2in－

2i－22n＝n.近似代替、求和i取ξi＝n(i＝1,2，，n)，2iSn＝fn·xi＝1n2i228n2＝n＋1·＝3i＋2i＝1nni＝18222＝n3(1＋2＋＋n)＋28nn＋12n＋1＝n3·6＋243132＋n＋n2＋2.取极限43114n2＋＋2＋2＝3nnn→∞n→∞314即所求曲边梯形的面积为.3反思与感悟求曲边梯形的面积思想：以直代曲．步骤：切割→近似代替→求和→取极限．要点：近似代替．结果：切割越细，面积越精确．求和时可用一些常有的求和公式，如nn＋11＋2＋3＋＋n＝，12＋22＋32＋＋n2＝nn＋12n＋1，613＋23＋33＋＋n3＝nn＋12.2追踪训练1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题解(1)切割将区间[0,1]均分为n个小区间：0，1，1，2，2，3，，i－1i，，－1＝1,2，，，每个小区，n，1，其中innnnnnnnn间的长度为i－11x＝n－n＝n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，，Sn.近似代替i－1ii－1i－121在区间n，n(i＝1,2，，n)上，以n处的函数值n为高，小区间的长度x＝n为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ii－12·1.S≈nn求和nni－1211121221n－121122＋＋(2i≈·＝0·＋·＋·＋＋·＝3[1＋2－1)]Snnnnnnnnnnni＝1i＝11113－2n＋6n2.(4)取极限曲边梯形的面积＝lim11＋11－＝.n→∞32n6n3种类二求变速运动的行程例2当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的行程s＝vt.若是汽车做变速直线运动，在时辰t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的行程是多少？考点变速运动的行程问题题点变速运动的行程问题解将区间[1,2]均分成n个小区间，第i个小区间为i－1i.1＋n，1＋ni－11因此si＝v1＋n·n.sni－111ni－12＋2n＝∑1＋n＝∑1＋ni＝1vnni＝11ni－122i－1＝＋∑n2n＋3ni＝1＝13n＋2[0＋1＋2＋＋n－12]＋1[0＋2＋4＋6＋＋2n－1]1222nnn－－－1＝3＋6n2＋n.s＝lim3＋n－12n－1＋n－113n2＝.6nnn→∞n→∞313因此这段时间行驶的行程为3km.引申研究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶行程，比较两次求出的结果可否相同？均分成n个小区间，第i个小区间为i－1i解将区间[1,2]1＋n，1＋n.因此si＝v1＋i1n·.ni1sn＝∑v1＋nni＝1122221＝3＋n3[1＋2＋＋(n－1)＋n]＋n2[2＋4＋6＋＋2(n－1)＋2n]＋＋＋1＋n.＝3＋6n2s＝limn＋12n＋1＋n＋113n3＋2＝.6nnn→∞n→∞313因此这段时间行驶的行程为3km.因此分别用小区间的两个端点求出的行驶行程是相同的．反思与感悟求变速直线运动行程的问题，方法和步骤近似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：切割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．追踪训练2一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时辰t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间专家驶的行程s(单位：km)．考点变速运动的行程问题题点变速运动的行程问题解(1)切割：在区间[0,2]上等间隔插入n－1个点，将区间分成n个小区间，记第i个小区2i－12i(i＝1,2，，n)，t22242n－12n间为n，n＝n.则汽车在时间段0，n，n，n，n，nn上行驶的行程分别记为：s1，2si，，nnsi.s，，s，有s＝i＝12i近似代替：取ξi＝n(i＝1,2，，n)，2i2i22si≈vn·t＝－n＋5·n4i2210＝－n2·n＋n(i＝1,2，，n)．nn4i2210ni＝(3)求和：s＝snnni＝1i＝1111＝－8·31＋n1＋2n＋10.(4)取极限：s＝limsnn→∞＝lim－8·1112231＋1＋＋10＝.n→∞n2n31．把区间[1,3]n均分，所得n个小区间的长度均为( )1231A.nB.nC.nD.2n考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案B2，故n均分后，每个小区间的长度均为2剖析区间[1,3]的长度为n.2．在“近似代替”中，函数f( )在区间[xi，i＋1]上的近似值等于( )xxA．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正确考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C3．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的行程为()113A.3B.2C．1D.2考点变速运动的行程问题题点变速运动的行程问题答案Bii＝1n＝________.考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示n＋1答案2n剖析i＝1

1n＝n(1＋2＋＋n)1nn＋1n＋1n·2＝2.5．求由曲线y＝21x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5均分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案1.0266778899剖析将区间5均分所得的小区间为1，5，5，5，5，5，5，5，5，2，1364964811255于是所求平面图形的面积近似等于101＋25＋25＋25＋25＝10×25＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的行程的步骤切割：n均分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；nb－a(3)求和：f(ξi)·；i＝1nnb－a(4)取极限：s＝limf(ξi)·.n→∞＝1ni“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题51．和式(xi＋1)可表示为( )＝1A．(x1＋1)＋(x5＋1)B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5D．(x1＋1)(x2＋1)(x5＋1)考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示答案C5剖析(xi＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)＝1x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5.2．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入(n－1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，以下说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于；S④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．A．1B．2C．3D．4考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案A剖析n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离切割获取的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]均分成n个小区间，则第i个小区间是()i－1iii＋1A.n，nB.n，nC.2i－12iD.2i2i＋1n，nn，n考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C将区间[0,2]n个小区间后，每个小区间的长度为2i个小区间为剖析均分为n，第2i－12in，n.14．在求由曲线y＝x与直线x＝1，x＝3，y＝0所围成图形的面积时，若将区间n均分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i个小曲边梯形的面积iS约等于( )22A.n＋2iB.n＋2i－221C.nn＋2iD.n＋2i考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案A2剖析每个小区间的长度为n，第i个小曲边梯形的高为1，2i1＋n∴第i个小曲边梯形的面积为2×12.n2i＝＋2ni1＋n15．在均分区间的情况下f(x)＝1＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的选项是()n12i·A.lim∑2nn→∞i＝1nn122i2·nB.lim∑1＋n→∞i＝1nn11C.lim∑2·1＋inn→∞i＝1n1i·nD.lim∑2n→∞i＝1n考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案Bx＝2－0＝2，∴和式为∑n122i·n.剖析∵1＋2nni＝1n应选B.6．对于由直线＝1，＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3均分，则曲边三角xy形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()11A.30B.2511C.27D.9考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案D112231131剖析将区间[0,1]三均分为0，3，3，3，3，1，各小矩形的面积和为S＝0×3＋3×323×1＝1.3397．设函数f(x)在区间[，]上连续，用分点a＝0<x1<<i－1<i<<n＝，把区间[a，]abxxxxbbn均分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，，n)，作和式Sn＝fi＝1(ξi)x(其中x为小区间的长度)，那么Sn的大小()A．与f(x)和区间[，]有关，与分点的个数n和ξi的取法没关abB．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n有关，与ξi的取法没关C．与f(x)和区间[，]的分点的个数，ξ的取法都有关iD．与f(x)和区间[，]的ξ的取法有关，与分点的个数n没关i考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C剖析用分点a＝x<x<<x<x<<x＝b把区间[a，b]均分成n个小区间，在每个小区间01i－1inn[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，，n)，作和式Sn＝f(ξi)·x.若对和式求极限，则i＝1可以获取函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0围成的地域的面积，在求极限从前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．15i58.lim∑n·n的含义可以是( )n→∞i＝1A．求由直线x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积B．求由直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x围成的图形的面积C．求由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x围成的图形的面积5D．求由直线x＝0，x＝5，y＝0及曲线y＝x围成的图形的面积考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案C515i剖析将区间[0,5]n均分，则每一区间的长度为n，各区间右端点对应函数值为y＝n，n15i5x＝0，x＝5，y＝0和y＝3x围成的图形的面积的近似因此i＝1n·n可以表示由直线值．9．若直线y＝2x＋1与直线x＝0，x＝m，y＝0围成图形的面积为6，则正数m等于()A．1B．3C．2D．4考点求曲边梯形的面积问题题点由曲边梯形的面积求参数答案C剖析将区间[0，]均分，每个区间长为my＝2·mi＋1＝2mi＋n，区间左端点函数值，mnnnn2mi＋nm作和Sn＝i＝1n·n2mm＋n·n(1＋2＋3＋＋n)2nn＋12m＝m＋n2·22m＋mn＋1，n2∵S＝limm＋mn＋1＝6，n→∞nm＝2.应选C.二、填空题10．在区间

[0,8]

上插入

9个均分点后，则所分的小区间长度为

________，第

5个小区间是________．考点

求曲边梯形的面积问题题点

求曲边梯形的面积问题416答案55，4剖析在区间[0,8]上插入9个均分点后，把区间[0,8]1084均分，每个小区间的长度为＝，105第5个小区间为16，4.511．已知某物体运动的速度v＝t，t∈[0,10]，若把区间10均分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的行程近似值为________．考点变速运动的行程问题题点变速运动的行程问题答案55剖析∵把区间[0,10]10均分后，每个小区间右端点处的函数值为(＝1,2，，10)，每nn个小区间的长度为1.∴物体运动的行程近似值s＝1×(1＋2＋＋10)＝55.12．当n很大时，以下可以代替函数f(x)＝x2在区间i－1i上的值有________个．n，n1ii－1i1①fn；②fn；③fn；④fn－2n.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题答案3剖析

由于当

n

很大时，区间

i－1in，n

上的任意的取值都可以代替，又由于

1n?

i

－1in，n

，i－1∈n

i－1i，nn

i，n∈

i－1i，nn

i1，n－2n∈

i－1i，nn

，故能代替的有②③④.三、解答题13．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积．考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题1i2ii22i解将区间[0,1]n均分，每个区间长度为n，区间右端点函数值y＝n＋2·n＝n2＋n.ni22i1ni22i2＋3＋nnn＝i＝1n2作和S＝i＝1nn1n22n＝11(＋1)(22nn＋1n＋12n＋1＋n＋18n2＋9n＋1＝3i＋2i3·＋1)＋2·＝2＝2，n6n26nn6nni＝1ni＝1∴所求面积S＝lim8n2＋9n＋12n→∞6n＝lim4314＋2n＋2