2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=1+3iA．1 B．i C．﹣i D．﹣12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(A．-35 B．35 C．-43．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α∥β，l∥α，则l∥β4．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3π B．3π C．(3-22)5．（5分）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T7＞T9＞T8，则（）A．q＜0 B．a1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T176．（5分）如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点，过B，C，D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B1所在部分的体积为（）A．233 B．536 C．37．（5分）在△ABC中，P0是边AB的中点，且对于边AB上任意一点P，恒有PB→⋅PCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形8．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且点M在AB线段上，且满足CM＝BM，若点P为△A．﹣1 B．-45 C．-35二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥cC．若a→⊥(b→-c（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件 C．三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列 D．△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为2（多选）11．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）A．存在某条直径CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，则三棱锥S﹣AOD体积的最大值为16C．对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线 D．若∠ABD=π6，则异面直线SA（多选）12．（5分）已知数列{an}中各项都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，记数列{aA．任意a1与正整数m，使得amam+1≥0 B．存在a1与正整数m，使得amC．任意非零实数a1与正整数m，都有am+1＜am D．若a1＝1，则S2022∈（1.5，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为14．（5分）已知等差数列{an}，a8＝8，a9=8+π3，则cos15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，动点P在△A1B1C1内（包括边界上），且始终满足BP⊥AB1，则动点P的轨迹长度是．16．（5分）已知向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=3，向量c→满足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）定义一种运算：(a（1）已知z为复数，且(3，z)z（2）已知x，y为实数，(y+sin2x18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=2n+5SnSn+1，数列{bn}的前20．（12分）在△ABC中，内角A，B都是锐角．（1）若∠C=π3，c＝（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求证：sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿着AC翻折至△AB1C的位置，构成三棱锥B1﹣ACD，且DE→（1）证明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF与平面AB1C所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，数列{bn}满足：对任意n∈N*有（1）求证：数列{1（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设Tn是数列{2n-1b2n

2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=1+3iA．1 B．i C．﹣i D．﹣1【解答】解：z=1+3i则z=-1-i，其虚部为﹣故选：D．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(A．-35 B．35 C．-4【解答】解：由三角函数定义有sinα=-所以cos（α-π2）＝sin故选：A．3．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α∥β，l∥α，则l∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故B错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故C正确；若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3π B．3π C．(3-22)【解答】解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，设四面体ABCD内切球的球心为O，半径为r，则VABCD所以r=3VABCDS又因为四面体ABCD的体积VABCD所以r=3V故选：C．5．（5分）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T7＞T9＞T8，则（）A．q＜0 B．a1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T17【解答】解：因为等比数列{an}的前n项积为Tn，若T7＞T9＞T8，故1＞a8a9，a9＞1，a8＜1；所以a1⋅q8＞1，所以a1＞0，所以T16=a1故选：D．6．（5分）如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点，过B，C，D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B1所在部分的体积为（）A．233 B．536 C．3【解答】解：如图，取A1C1的中点E，连接DE，CE，又D是A1B1的中点，∴DE∥B1C1，且DE=12B1C又B1C1∥BC，且B1C1＝BC，∴DE∥BC，且DE=12∴过B，C，D三点的平面截该三棱柱的截面为梯形BCED，∴所求体积为：V=1=23故选：B．7．（5分）在△ABC中，P0是边AB的中点，且对于边AB上任意一点P，恒有PB→⋅PCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB＝4，则A（﹣2，0），B（2，0），C（a，b），P（0，0），P0（x，0），所以PB→=（2﹣x，0），PC→=（a﹣x，b），P0B→=（2，因为恒有PB→⋅PC→≥P0B→⋅P0整理得x2﹣（a+2）x≥0恒成立，故Δ＝（a+2）2≤0，即a＝﹣2，此时BA⊥AC，所以∠A＝90°，所以△ABC为直角三角形．故选：A．8．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且点M在AB线段上，且满足CM＝BM，若点P为△A．﹣1 B．-45 C．-35【解答】解：因为C=23π，AC＝1，所以由余弦定理可得AB=由正弦定理可得ACsinB=AB又B为锐角，所以cosB=设CM＝BM＝x，则CM2＝CB2+BM2﹣2CB•BMcosC，即x2解得x=27所以AM=则S△又cos∠则∠AMC为锐角，所以△AMC的三个内角均小于120°，则P为三角形的正等角中心，所以S=3所以|PA所以PA=-=-故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥cC．若a→⊥(b→-c【解答】解：对于A，当b→=0→时，满足a→∥b对于B，|（a→•b→）c→|＝|（|a→||b→|cos＜a→，b→＞|c→|）|≤|a→||对于C，a→⊥(b→-c→)时，a→对于D，（a→•b→）•b→是数乘向量，与b→共线的向量，a→•(故选：BC．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件 C．三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列 D．△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为2【解答】解：对于A，f（x）＝sinωx+2cos（ωx+π3）＝（1-3）sinωx+cosωx=5-23sin（ωx+φ若f（x）的最小正周期为π，则ω=2ππ=对于B，△ABC中，A＞B得出a＞b，充分性成立，a＞b也能得出A＞B，必要性成立，是充要条件，选项B正确；对于C，若2a，2b，2c成等差数列，则2•2b＝2a+2c，所以2＝2a﹣b+2c﹣b，所以a﹣b＝c﹣b＝0，即a＝b＝c，所以选项C错误；对于D，△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为22S直观图＝22×34×22故选：ABD．（多选）11．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）A．存在某条直径CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，则三棱锥S﹣AOD体积的最大值为16C．对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线 D．若∠ABD=π6，则异面直线SA【解答】解：对A选项，∵SD在底面的射影为CD，而CD与AD夹角始终为锐角，∴AD与AD不垂直，∴根据三垂线定理可知AD与SD不垂直，∴A选项错误；对B选项，若AB＝2，则三棱锥S﹣AOD的高为SO＝1，当AO⊥DO时，三角形AOD的面积取得最大值为12此时三棱锥S﹣AOD体积取得最大值为13×1对C选项，∵AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，∴根据异面直线的判定定理可知：对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线，∴C选项正确；对D选项，若∠ABD=π6，则∠AOD∴SA=r×r×cosπ3-0=r22，又易知|∴cos＜SA∴异面直线SA与CD所成角的余弦值是24，∴D故选：BCD．（多选）12．（5分）已知数列{an}中各项都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，记数列{aA．任意a1与正整数m，使得amam+1≥0 B．存在a1与正整数m，使得amC．任意非零实数a1与正整数m，都有am+1＜am D．若a1＝1，则S2022∈（1.5，4）【解答】解：对于选项A：因为an所以（an+1﹣4）an+1＝（an﹣3）an，整理得an+1=(所以anan+1=(an-对于选项B：不妨设f（x）＝x2﹣4x，因为an可得f(而f′（x）＝2x﹣4＝2（x﹣2），当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以对于任意正整数n，都有an+1≤对于选项C：由A可知所有an同号，①当a1＝0时，对于任意正整数n，都有an＝0；②当0＜a1＜2时，0＜an＜2，an+12-4an+1=an2-所以f（an+1）＞f（an），又函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n，都有an+1＜an；③当a1＜0时，an+12-4an+1=an2-所以f（an+1）＜f（an），又函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n，都有an+1＞an，故选项C正确；对于选项D：因为对于任意正整数n，都有an当a1＝1时，an≤（34）n﹣1所以S2022≤k=12022（34）k﹣1=1-(34)因为当a1＝1时，0＜an≤1，又a22-4a2+2解得a2＝2-2所以S2022＞S2＞3则S2022∈（1，5，4），故选项D正确；故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为122【解答】解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π设该圆锥的底面半径为r，所以2πr=2π3×30，可得因此该圆锥的高为h=3故侧面展开图是半径为12，圆心角为2π高为1230h=因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为202故答案为：122．14．（5分）已知等差数列{an}，a8＝8，a9=8+π3，则cos【解答】解：等差数列{an}，a8＝8，a9所以公差d＝a9﹣a8=π则cosa5故答案为：1．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，动点P在△A1B1C1内（包括边界上），且始终满足BP⊥AB1，则动点P的轨迹长度是125【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，建立如图所示的坐标系，由题意可知A（4，0，0），B（0，3，0），C（0，0，0），B1（0，3，3），设P（x，y，3），则BP→=（x，y﹣3，3），AB1→=（﹣4，3，3可得：﹣4x+3y﹣9+9＝0，即4x﹣3y＝0．直线A1B1的方程：3x+4y＝12，3x+4y=124x-所以D（3625，48动点P的轨迹为线段C1D，长度为：(36故答案为：12516．（5分）已知向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=3，向量c→满足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜【解答】解：设OA→=a→，∵a→⋅b∵向量c→满足c∴C在线段AB上，设∠AOC＝α，则∠BOC则x=c→⋅a→|∴34|c→|2≤3=|c=|c=3在△ABO中，由余弦定理有：|=|a→∴|AB|≥∵a→⋅c→=∴S△∴|OC|=6×32|∴x2+y2﹣xy=3故答案为：278四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）定义一种运算：(a（1）已知z为复数，且(3，z)z（2）已知x，y为实数，(y+sin2x【解答】解：（1）设z＝a+bi，由题意可得，（3，z）[z4]＝3z+4z=3（a+bi）+4（a﹣＝7a﹣bi＝7﹣3i，故a＝1，b＝3，所以|z|=10（2）由题意可得，原式＝2y﹣sinx+（y+sin2x﹣23sin²x）i是实数，所以y+sin2x﹣23sin2x＝0，即y＝﹣sin2x+23sin²x=3（1﹣cos2x）﹣sin2＝﹣2sin（2x+π3）所以当2kπ+π2≤2x+π3sin（2x+π3）单调递减，此时函数解得kπ+π12≤x≤kπ+即单调增区间为[kπ+π12，kπ+7π18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．【解答】解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．由此可得，T=2πω=12由规律②可知，f（x）max＝f（8）＝40（Acos2π+k）＝40A+40k，f（x）min＝f（2）＝40（Acosπ+k）＝﹣40A+40k，由f（8）﹣f（2）＝80A＝160，得A＝2；又当x＝2时，f（2）＝40[2cosω（2+4）+k]＝80•cosπ+40k＝40，解得k＝3．综上可得，f（x）＝80cos（π6x+2π（2）由条件，80cos（π6x+2π3）可得cos（π6x+2π3）＞12，则2kπ-π3＜∴12k﹣6＜x＜12k﹣2，k∈Z．∵x∈[1，12]，x∈N*，∴当k＝1时，6＜x＜10，故x＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=2n+5SnSn+1，数列{bn}的前【解答】解：（1）由Sn＝n2+4n﹣3，可得n＝1时，a1＝S1＝5﹣3＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+4n﹣3﹣（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+3，化简可得an＝2n+3（n≥2），所以an=2（2）bn=2可得Tn=12-20．（12分）在△ABC中，内角A，B都是锐角．（1）若∠C=π3，c＝（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求证：sin2A+sin2B＞1．【解答】解：（1）由正弦定理有：asinA∴a=43∴a=4=4=23∵内角A，B都是锐角，∴0＜A＜∴π3∴sin(∴a+∴a+∴△ABC周长的取值范围为(2+23（2）∵sin2A+sin2B＞sin2C，由正弦定理得：a2+b2＞c2，由余弦定理：cosC=a2∵C∈（0，π），∴C为锐角，∵A，B都是锐角，∴A+B＞∴sinA＞∴sin2A+sin2B＞cos2B+sin2B＝1，∴sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿着AC翻折至△AB1C的位置，构成三棱锥B1﹣ACD，且DE→（1）证明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC