数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值计算方习题答案(第二版)(论4试证：对任给初值的牛顿迭代公式xk1,2,......(xkk),k0,1恒成立下列关系式：证明：1k(xk2,kk1,2,......xka（1）xkxk2xk2（2取初值，显然有，对任意k0，1aaaaxkxkxkxk2xk6证明：若xk有n有效数字，则xk82

1101n，2xkx而xkkk2xk2.512n1xk1012n22.52xk有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解①根据本章中所给出的定理：（设的近似数x可表示为x10，如果具有l位有效数字，则其相对误差限为xx*x*1l，其中a1为x*中第一个非零数）

则x12.7，有两位有效数字，相对误差限为x111x122x22.71，有两位有效数字，相对误差限为x211x222x3，有两位有效数字，其相对误差限为：x33x32第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解2.7，x10.0183

对于x1x1其相对误差限为0.00678同理对于，有x20.003063x22.71对于，有x30.00012备注）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于

所有具有n位有效数字的近似数都成立的正确结论他对误差限的估计偏大但计算略简单些而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。（）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解:，3.***-*****.......71132212，具有3位有效数字7225516，具有7位有效数字解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令所对应的真实值分别为x1,x2,x3，则101l=10212*＜10/2.72＜251l*

②Ox2-x2O15*＜＜241l*③＜1014*＜＜2①Ox1-x1O12.解：⑴－=12x1x(1x)sin2x2x⑵1-cosx==2sinxnx2xnx2⑶1≈1+x++…+-1=x++

2!n!2!n!x13.解：⑴x=xx2/x11xxxx⑵xx1=arctan(x21t设，则b)tan(1tanax(x1)x1)-arctanx=11x(x

⑶ln(xx2x2=ln1ln(xx21)=-ln(xx2习题一（页）证明：利用余项表达式（11页f(x)为次数≤n的多项式时，由于fn于是有－Pn(x)=0,即Pn(x)=f(x)，表明其n次插值多项式Pn(x)就是它自身9.证明：由第5题知，对于次的多项式，次插值多项式就是其自身。于是对于f(x)=1，有即则11.分析：f(n)由于拉格朗日插值的误差估计式为f(x)－（nnf(n)误差主要来源于两部分和(xxk)。（n0n

(xx)kkn对于同一函数讨论其误差，主要与(xx)有关。kk在（）中计算的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于在，2两个节点之间，所以应选1，为节点，在剩下的两个点中，与0.472更靠近，所以此题应x0,x1,x2为点来构造插值多项式。(xx2)(x(x0x1)(x0x0)(x1(xx0)y20.***-*****(x2x1)(x215.证明：由拉格朗日插值余项公式有

1f2(f(x)－p(x)颉堋堞xx1)maxf(x)x)kx0x(x1x0)2=(x1xx0)2=2(x1x)(xx0)+(x1x)2+(x≥4(x1x)(xx0)(x1maxf2(x)f(x)p(x)颉x0xx1820.证明：当，F(x0,x1)=F(x1)F(x0)f(x1)f(x0)=C=Cf(x0,x1)x1假设当n=k时结论成立有F(x0,...,xk)=；；那么当时，xk1)f(x0,...,xk)1)xk

证明完毕类似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理（页）可知：f(n)()其中[minxi,maxxi]n当nk时，f(n)(x)=xk(n)；=k!当n=k时，f(n)(x)=xkf(x0,x1,...,xn)=当nk时当nk时13.解：由题意知，给定插值点为由线性插值公式知线性插值函数为x0.34xx10.*****y0+y1=x1当x=0.3367时，

sin0.3367其截断误差为R1(x)颉

M2(xx1)颍其中M2=maxf2(x)x0xx12，f2(x)=-sin(x)，M2=sin0.34颉于是颉若二次插值，则得15×0.*****×0.0167×0.0033≤0.92×102(xx2)(xx1)(x(x1x0)(x1x0)(x2x1)(x0sin0.3367≈0.*****其截断误差为M3(xx1（x2)6x0xx2其中M3=maxf(x)=maxcosx=cos0.320.950x0xx2于是R2(0.3367)颉16×0.950×0.0167×0.0033×0.02330.204×106

：差商表为―――――――――――――――――――――――――――――――xif(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五

阶

差商―――――――――――――――――――――――――――――――13154833112015100由差商形式的牛顿插值公式，有P(x)=f(x0)＋f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1)＋f(x0,x1,x2,x3)(xx1)(xx2)=-3＋1)＋6(x1)(x＋(x1)(x2)(x3)：解：由于P(0)P(1)P1(1)，则设P(x)1)2由P(2)则C所以P(x)121x(x1)2224.解：

由于P(0)0,P(1)3可设P(x)xCx(x2)(x由P1(2)得C2，有：所以P(x)x121x(x2)(x．解：由泰勒公式有f“(x0)f3()2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xf"(x0)(xx0)3设P(x)f(x0)f(x0)(xx0)其满足Pj(x0)fj(x0)，其j0,1,2由P(x1)，得(x1x0)2(xx0)

代入(式既可得P(x).'"33.解：于S(x)故在x1处有S(1),S(1),S(1)连续，即：bc1解得：c1bc3、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。x01,x11,x33h01,h2h0h111h111123d06

hf(x0,x1)02d16f(xf(xk)k20(xkxj)jj0kd26f(x1,x2,x3)2h302于是得到关于的方程组：21M0222M1M12M23122741271201

M014M14M22M31解方程求出M0,M1,M2,M3，代入对角方程)M024M7201M追赶法）21M230(xi1x)3(xxi)3xi1xhi2xxihi2S(x)MiMi1(fiMi)(fi1Mi1)6hi6hihi6hi6即得满足题目要求的三次样条函数3x32x2x1x1,0S(x)x32x2x1x0,11x37x219x1x1,24444习题二：判断此类题目，直接利用代数精度的定义当左=右=1dxx01110

1111，左=右1x2当f(x)x时，左=x右12，左=右311111当f(x)x时，左=x0303右()1，左=右43431

当f(x)x时，左=x0404右()1，左右所以求积公式的代数精度为2.解：⑴求积公式中含有三个待定参数，即：因此令求积公式对f(x)均准确成立，则有2A0hA2h2232AhAh3解得：所求公式至少有次代数精度。由于当f(x)x3时，左右(h)3A20当f(x)x4时，左

25h44右A2hh左所以求积公式只有次代数精度。⑵、⑶类似方法得出结论。解：因要求构造的求积公式是插值型的其求积系数可表示为l0(x)411dx(4x0x0x*****xx01dx(4x1)dx02x1x02l1(x)故求积公式为：1113f(x)dxf()f()

244下面验证其代数精度：当f(x)，左x0右1当f(x)时，左x2右2213x15右左当f(x)，左所以其代数精度为。证明：⑴若求积公式⑷对f(x)和g(x)准确成立，有bf(x)Akf(xk)及g(x)Akg(xk)kk

nbnaf(x)dxAkf(xk)Ak(f(xk)g(xk))kkknnnbbb所以求积公式对f(x)g(x)亦确成立。⑵k多项式可表示为akxk1xka1xa0pk(x)若公式对xk(k是准确的，则有7题中的上一步可知，其对成立。由代数精度定义可知，其至少具有m代数精度。12.解：4112T0(f(1)2(1)

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