实数与向量相乘及向量的线性运算(提高)知识讲解

aaaa实与量乘向的性算提）识解【习标1．理解实数与向量相乘的定义向量数乘的运算律；2.对给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；3．认识两个平行向量的代数表形式；4.在量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联.【点理要一实与量乘实与量乘意：一般地为整数

为向量们

表示个

相加用

表示n个

相加又为整数时，要诠：

nna表与同且长度为

的向量设P为一个正数P就将的度进行放缩，而方向保持不变-P也是将的度进行放缩，但方向相反.．向数的义一般地实

与向量

a

的相乘所得的积是一个向量记

ka

它的长度与方向规定如下：（）果

k且

时，则：①

ka

的长度：

||

；②

ka

的方向：当

k

时，

ka

与

a

同方向；当

k时，与a反向；（）果

k或时，则：，的向任意实数

与向量

a

相乘，叫做向量的数.要诠：（）量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（）数与向量不能进行加减运算；（）表向量的数乘运算，书写时应把数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（）量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关.实与量相的算律设

、

为实数，则：（）

m())a

（结合律）；（）（）

(mamamb

（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（向量的数乘对于向量加法的分配律）要二平向定

1.单向：度为1的向量叫做单位向量.要诠：任意非零向量a与同向的单位向量

0

的关系：

aa，a

1a

a

.2.平向定：果向量与零向量a平，那么在唯一的实数m，b.要诠：（）理中，m

b

，

m

的符号由

与

同向还是反向来确定.（）理中的“

a0

”不能去掉，因为若

a

，必有

b

，此时

m

可以取任意实数，使得成.（向平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数使，向量b与非零向量

a

平行.（）量平行的性质定理：若向量

b

与非零向量

a

平行，则存在一个实数

m

，使

bma

.（）、、三点的共线

若存实，使

.要三向的性算．向的性算义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运.要诠：（）果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加.（）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．．向的解平向基定：果

1

是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量

a

，有且只有一对实数

1

2

，使得

12

.要诠：（同平面内两个不共（或平行向量一组基底中，必不含有零向量．

12

叫做这一平面内所有向量的一组基.(2)一个面向量用一组基底

1

表示为

12

形式做量的分解

1相互垂直时，就称为向量的正分.(3)以面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．．用量法决面何题（）用知量示知量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理此求量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中用角

,得：DE(1),得：DE(1)形中位线相似三角形对应边成例等平面几何的性质未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（）向方研平几的题“步①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问.②通过向量运算，研究几何元素的关.③把运算结果“翻译”成几何关.【型题类一实与量乘1．当时求：a+)=+【答案与解析】

证明：当

=0时左=0•

+

b

)=

，

右边=0•

+0•

b

=

，等式成立；当

为正整数时，令n,

则有：n(

a

+

b

)=(

a

+

b

)+(

a

+

b

)+…+(

a

+

b

)=

a

+

a

+…

a

+

b++

+…+

b

=n

a

+n

b即

为正整数时，等式成立；当为负整数时，令（为整数有：(+b)=[+b)]=n)+()]=(

a

)+(

b

)=

a

+(

b

)=

a

b

,等式成立；综上所述，当

为整数时，

(

a

+

)=

+

恒成立【总结升华本是“向量的数乘对于向量加法的分配律”的求证过程，用到了数乘的意义及向量加法的交换律2.如，已知点D、E分在ABC的边AB与AC上DEBC

A4DB试用向量BC表向量DE【答案与解析】

D

E解：由3ADDB可：

34

AD

B

C∵DE∥∴

AD4374∵DE

BC且DE与BC同向，∴BC【总结升华已向量表示未向量要看未知向量与已知向量之间的大小关系又要看方向关系举反：【变式】如图所示，是△的边AB上的点，则向量CD)

B.D.1B.D.1A.C.

11BABC211BCBABC22【答案】提：CDBA.2类二向的性算3.如向量

b

满足关系式

3

，试用向量

表示向量

.【答案与解析】解：

3去括号得：

x移项，系数化为1得

x

34

a【总结升华面量的数乘运类似于代数中实数与未知数的运算法则解时兼顾到向量的性质举反：【变式】设

为未知向量，

、

b

为已知向量，解方程：

+3

b

)+

12

b

=0【答案】解：原方程可化为：x)+(+

12

a)+(4b)=0∴=

92

a+.4．如图：已知两个不平行的非向量

,

，求作：向量

a

112

a)【答案与解析】解：

(6ab)

112

a)ab)

1111a)2如图，在平面内任取一点O，

OA

12

a

，

，

根据向量加法的多边形法则，得：OB即为所求．

OBAB

12

ab【总结升华先将所求向量进行化简，然后根据向量线性运算法则做出答案．5.如图所示正边形PABCDE边长为b有五个力

PA、PB、PC、

、

作用于同一点P，求五个力的合力.【答案与解析】解：所求五个力的合力为

PPB

，如图所示PAPE为边平四边形PAOE，

PA

，由正六边形的性质可知PA|

，且O点PC上，以PB、为边作平行四边形PBFD则PFPBPD，正六边形的性质可知

|PF|

，且F点在PC的延长线上由六形的性质还可求得

|2b

.故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为

bbb

，方向与

PC

的方向相同【总结升华向量运算在物理学中应用，掌握数形结合思想的应.类三平向（本定的用6.设两非零向量

1

和

2

不共线，(1)如果

,BCe,CDe),12

求证

AB,D

三点共线.(2)试确定实数

，使

1

和

1

2

共.【答案与解析】(1)证明：

,BCCDee)5(),121212A又有公共点，∴

AB,D

三点共线.(2)解：∵

1

和

1

2

共线，∴存在

，使

12

(e)12

，

11则(ke,由于e和e不线，11只能有则0【总结升华当两向量共线且有公共点时，可得三点共线；当两向量共线且没有公共点时，可得两直线平行.举反：【变式】用向量的方法证明三角形中位线定.【答案】证明：如右图，由E，F分是AB，AC的点，得：AE

11ABAFAC22∵AC∴EFAF

11ACAB(ACABBC222根据EFBC，点E在直线BC上，可得：2EFBC，EF

12

BC7.下列有关平面向量分解定理的个命题中，所有正确命题的序号是．①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．【答案】②、③【解析】解：根据平面向量基本定理知：①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基底；故错误；②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基底；故正确；③平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故正确；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合是三个不共线的向量，表示法不唯一，故错误．故答案为：②、③．【总结升华本考查平面向量基本定理，解题的关键是理解定理，明确概念，可作为基底的两个向量必不共线．类四综应8.在中DEF

分别为三边

ABBC

上的动点在t0时别A，B，出发各以一定的速度沿各向B，CA移动当t=1时，分别到达B，C，，证：在

0

的任何一时刻t，

的重心不变【答案与解析】解：设

AB,,CA

的重心为G.

由已知点D，，在AB，BC，上的度分别是

ca,,

在任意时刻

t

时，有

ADBEDFAC)t,DEDB(1)c211DGDFDE)[tattc323又

c1AGAD[tatt](3为确定向量.

DEF

的重心不变【总结升华熟地进行向量的线性运算是解决本题的关键外应该熟练记忆并灵活运用.AGAB举反：

中设重心为G则【变式】如图，已知