复数与复平面

复数与复平面第1页/共50页以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。研究对象第2页/共50页复变函数的起源复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。第3页/共50页复变函数的起源1、16世纪意大利米兰学者Cardan在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。第4页/共50页复变函数的起源2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。第5页/共50页复变函数的起源2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。第6页/共50页复变函数的起源3、数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。第7页/共50页复变函数的起源4、瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”第8页/共50页复变函数的起源5、法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+ib的形式（a、b都是实数。6、法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。第9页/共50页7、欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。复变函数的起源第10页/共50页8、挪威的测量学家成塞尔在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。复变函数的起源第11页/共50页

9、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。复变函数的起源第12页/共50页复变函数的起源10、高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。第13页/共50页复变函数的起源统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。第14页/共50页

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。复变函数的起源第15页/共50页随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。复变函数的起源第16页/共50页复变函数的应用1、系统分析、信号分析；2、流体力学；3、反常积分；4、量子力学；5、相对论；6、应用数学。第17页/共50页第一章复数与复变函数第一讲复数及复平面学习要点掌握复数的意义及代数运算掌握复平面与复数的表示方法掌握复数的乘幂与方根第18页/共50页§1复数及其代数运算1.复数的概念

复数z的实部

Re(z)=x;虚部

Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)第19页/共50页

一般,任意两个复数不能比较大小。复数相等2.四则运算z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第20页/共50页复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。第21页/共50页

共轭复数的性质定义若z=x+iy,称z=x-

iy

为z的共轭复数.(conjugate)3.共轭复数第22页/共50页第23页/共50页第24页/共50页解：第25页/共50页§2复数的几何表示1.点的表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。第26页/共50页2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0时，幅角无意义。

第27页/共50页幅角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，第28页/共50页

当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加p。

当z落于第三象限时，减p.

第29页/共50页根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z1第30页/共50页3.三角表示法可以用复数的模与辐角来表示非零复数z4.指数表示法yox第31页/共50页例1例2例3第32页/共50页例1解：第33页/共50页例2解：第34页/共50页例2解：第35页/共50页例3证明：第36页/共50页例3证明：第37页/共50页§3复数的乘幂与方根1.复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法集合相等定理：第38页/共50页对除法，有将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法的几何意义第39页/共50页例1解：第40页/共50页第41页/共50页2.复数的乘幂则有：——德摩弗(DeMoivre)公式第42页/共50页3.复数的方根第43页/共50页而k取其它整数时，这些根又会重复出现。第44页/共50页例2例