函数的零点与方程的解（说课课件）

4.5.1函数的零点与方程的解《普通高中教科书∙数学》(人教A版)必修第一册祖向阳池州一中2022年12月10日LessonsProcess说课过程教学目标1教学过程4教学重难点2板书设计5教学方法3目录教学背景6课标分析内容要求教学提示

结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；结合具体的连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理。

鼓励学生运用信息技术画图探索函数零点的个数问题。课标分析学业要求

能够从函数的观点认识方程，为运用函数的性质求方程的近似解打下理论基础；能够从函数的观点认识不等式，为运用函数的性质求解不等式打下理论基础。

重点提升直观想象、数学抽象、数学运算和逻辑推理素养。

本节是在学生学习了指数函数，对数函数基础上的进一步拓展，为“用二分法求方程的近似解”打基础。承前启后教材分析学情分析认知基础用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应的二次函数的零点.能力分析1.已经了解一些基本初等函数的模型;2.具备一定的看图识图能力.困难分析在函数的学习中，数形结合与抽象思维尚不能胜任.(2)(3)理解函数零点存在定理：了解函数图像连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件。了解函数零点可能不止一个，提高逻辑推理素养。能利用函数图像和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，提升直观想象和数学抽象素养。(1)教学目标

教学重点理解函数的零点与方程的解之间的关系；如何探究函数零点存在定理。教学难点如何理解函数零点存在定理中的三个关键词：“连续不断”、“

”和“至少有一个”教学重难点突破重点的图象“穿过”x轴教学重点理解函数的零点与方程的解之间的关系；如何探究函数零点存在定理。教学难点如何理解函数零点存在定理中的三个关键词：“连续不断”、“

”和“至少有一个”教学重难点通过反例逐一对关键词进行剖析，从而理解定理。突破难点010203教法：如何求解超越方程的根？函数零点的概念是什么？函数的零点它的形与数之间存在着怎样的内在联系？引导探究法学法：学生主动探究，以学生为主体，层层递进。函数零点存在定理教学过程由问题引入由情景引入问题情景

函数零点

函数零点的理解探寻其内在联系抓住关键词定理的理解应用定理定理的一个推论理解推论、应用推论概括归纳

布置作业

由问题引入由情景引入问题情景

环节一问题与情景，双重引入环节一问题与情景，双重引入问题引入：如何考虑方程lnx+2x-6=0的解的情况？环节一问题与情景，双重引入9世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程、二次方程的一般解法1541年，意大利数学家塔尔特利亚给出了三次方程的一般解法1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》一书中，记载了费拉里（卡尔达诺的学生）的四次方程的一般解法1778年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程不存在根式解的猜想1824年，挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解1828年，法国天才数学家伽罗瓦给出了一个代数方程能用根式求解的充要条件情景引入：人类历史上的方程求解

【设计意图】通过问题的抛出，介绍人类历史中方程求解问题的研究历程，让学生从中熏陶人类的探究方程求解的艰辛与困难，感受数学文化的魅力。环节一问题与情景，双重引入问题引入：如何考虑方程lnx+2x-6=0的解的情况？情景引入：人类历史上的方程求解环节二函数的思想，零点理解由问题引入由情景引入问题情景

函数零点

函数零点的理解探寻其内在联系环节二函数的思想，零点理解超越方程的解（例如：lnx+2x-6=0的解的情况）函数思想对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.零点定义环节二函数的思想，零点理解零点理解数的角度理解与形的角度理解数形零点的存在联系

【设计意图】由函数零点数的特点（方程的解）与函数零点形的特点（函数图象与x轴交点的横坐标）引出数与形之间存在怎样的联系的思考，这样的设计也诠释了为什么要研究函数零点存在定理（研究的必要性）。环节三探究定理理解定理函数零点存在定理由问题引入由情景引入问题情景

函数零点

函数零点的理解探寻其内在联系抓住关键词定理的理解环节三探究定理理解定理探究1通过对函数的零点的特征，发现“穿过”x轴在连续不断的前提下，让学生自行画出函数满足

的函数图象，从而发现函数零点存在定理。探究2探究3函数零点存在定理的理解环节三探究定理理解定理

【设计意图】由特殊的函数模型探寻穿过x轴形的特点与端点的函数值异号的数的特点的内在联系,从而为探寻发现函数零点存在定理做好了前提准备。探究1通过对函数的零点的特征，发现“穿过”x轴环节三探究定理理解定理在连续不断的前提下，让学生自行画出函数满足

的函数图象，从而发现函数零点存在定理。探究2

【设计意图】让学生动手尝试画图，主动发现函数零点存在定理，从而调动学生学习的主观能动性。环节三探究定理理解定理探究3函数零点存在定理的理解连续不断否定不连续否定至少有一个零点充分条件

【设计意图】通过对关键词的否定，帮助学生理解函数零点存在定理为什么是探寻函数有零点的一个充分条件；为了学生更好得理解函数零点的个数问题，分别从形与数两个角度引出了零点的差异情况。引出“穿根”与“不穿根”引出“异号根”与“同号根”作图环节四应用定理应用推论函数零点存在定理由问题引入由情景引入问题情景

函数零点

函数零点的理解探寻其内在联系抓住关键词定理的理解应用定理定理的一个推论理解推论、应用推论环节四应用定理应用推论如何考虑超越方程lnx+2x-6=0的解的情况？应用定理追问1追问2函数零点存在定理的一个推论×环节四应用定理应用推论如何考虑超越方程lnx+2x-6=0的解的情况？应用定理追问1追问2函数零点存在定理的一个推论

【设计意图】由具体的数学问题引出函数零点存在定理的这个推论，有助于学生理解该推论，体现了由特殊到一般的数学思想方法，同时该推论也为后续数学问题的探究打下了理论基础。环节四应用定理应用推论应用推论函数零点存在定理的推论环节四应用定理应用推论应用推论函数零点存在定理的推论

【设计意图】从形与数的两个角度分别感知和验证函数零点的个数问题，本质上也是函数零点的两种理解的升级版，具体化地处理，让学生慢慢过渡到抽象化上来，培养学生形与数双角度看待数学问题的能力。环节五课堂小结概括归纳函数零点存在定理由问题引入由情景引入问题情景

函数零点

函数零点的理解探寻其内在联系抓住关键词定理的理解应用定理定理的一个推论理解推论、应用推论概括归纳

环节五课堂小结概括归纳二次函数零点函数零点方程的根函数与x轴交点的横坐标数形零点存在定理零点存在定理的推论

【设计意图】了解本节课的探究过程和思路，以及数学思想方法，帮助学生有序回忆，提升总结问题的能力。环节六课后作业检验效果函数零点存在定理由问题引入由情景引入问题情景

函数零点

函数零点的理解探寻其内在联系抓住关键词定理的理解应用定理定理的一个推论理解推论、应用推论概括归纳

布置作业

环节六课后作业检验效果

【设计意图】一方面强化学生形与数双角度看待数学问题的能力；另一方面帮助学生看透题目本质，以达到一个培养学生平时独立思考，尝试自行改编试题的一个目的。【设计意图】中间是多媒体，播放PPT，左板书知识点，右板书数学思想，简洁明了，且贯穿着本节课的每一个环节，从而帮助学生梳理本节课的知识脉络。板书亮