构造法证明对数不等式

nn构造法证明数不等式函数，贯穿整个中数学的根主线，因它一直是高考重点察的对象与容。对数函与导数作为中等数与高等学的衔接点因此，高考中在对数函数用导数为工具来处的题型就成了表现数问题热点题。不等式数学的一个要内容它始终贯穿整个高数学当中，一开始的集，函数的定域、值、单调性的定，到体几何、解几何中值问题无一不是与等式有紧密的联系许多的题最终都可归结为等式的解与证明。别是在年来，不等中去掉“无理不等、指数等式、数不等式的法”等容后，这些对数相的不等式问与函数导数、对值、参数内容又成为新的亮。以下对数与不等相结合问题的例。例1已知函f(x)x(x⑴求证f(x)(x0)⑵求证

2ln3ln4ln35n(nN)236

。分析：题⑴属于常题型，用函数的导与最值系即可得证要证明问题，首先要构出不等的左边中的系列的

ln3lnln3,,243n

n

，联想到题⑴中已有的结f(x，结论变形为lnx，即ln，因此，要造xx

ln3lnln3,,243n

n

，只需在

ln中的xx依次取23……、3n即可得依次累，得

ln21ln3ln31、……、，233332ln3ln323n

n

12

111)233111比较两，需证23n

即可以下可数学纳法完成。证明：设()f(xlnx，则第页共页

g

11xx`()g(x

↗

10极大值

(1,-↘(x)(1)

即lnxln10因此，x也就是fx)(xln1⑵由⑴，，依取x,3xxlnln1ln31，，…，2233nn依次累，得

，得2ln3ln3n23n

12

n

(1

1)2311n比较两，需证1即可以下用数学纳法给23n6证明。111511当时，边，右边26即左边右成立1115假设当nk时，不等式1233k6

成立当时，1111左边23363kk51111))63kk3

3

k

111))3由(

k

13k3)kk)(3

k(2

所以，式可变成第页共页

nn左边

5kkk56

显然，k时，

11，所以46k1左边61因此，123n

对任意n

成立，2ln3ln4ln35n(nN236

)

成立。例2已知函f(⑴求实a、的；

2

x)bx取得极值111n⑵证明任意的整数不式23n2

都成立分析：题⑴属于常题型，用函数的导与极值系即可得证n问题⑵属于含有对的不等，围绕lnln2，21由于在中含有ln(项，因取x，则n1ln(1)lnnn至此可虑用累加[ln(][lnnn[ln2]n则以下得。解：⑴`()

1

x

x时(x取得，所以，`(0)f(0)0

解得a0⑵由⑴，fx

2

x的定义域为所以fx

xxf`(

(-

00

f(x

↘极小值↗因此，f(0)为f(x)在其定义域上最小值有(xf第页共页

222222又f(0)，即x

2

（且仅当0时，等号立）1对任意整数n，取x0，得n11ln(nlnnn2n又因所以

1(nn(n21nn(1即n，因，有n112][ln4ln[ln(nn]2nln(n2ln

n2例3已知数(在每一点处均导的函，xf)(x)在恒成立⑴求证函数gx)

f(x)

在(0,是增数；⑵当x，时，证明：(x)()f(x)2121⑶已知等式)x在xx时恒成立求证：111223ln4ln(n234(nnn2)

(nN

*

)分析：题⑴要证明调性，般从定义或数出发由于条件中导数作已知件，因此，从导数手；问题⑵见为凸数的证明；题⑶中于需要明的结论中

1123ln4224(

2

ln(

2

，故需要它们构造来，因此，造函数f(x)lnx，此时，函数()

f(x)

在(0,是单调函数，由问⑵，结数学归纳法有当xi

i

,n)

时，有f(x)f(f()1

f(x(n12

nn

恒成立对函数f(xxln，使上结论有第页共页

22211111222221111122f()fxf(x(x=lnxxxx1n123f(x=(xxxln(xx)1n3n2n所以，

lnlnxxxxx)ln(x)232n1令xn

1(n

2

，则x)f(xf()f(x123n=

11111lnlnln222234(2(n

2=

11112ln3lnn224(2

2

]至此，构造出所需结论，下易得。f(x)fx)()证明：由g(x，对()求导得`(x)

，由已`(xf()可得`()在恒成立所以函数x上是增数。

f(x)

在(0,⑵由⑴函数gx)

f(x)

在(0,是单增函数当0,x时有f()f(x)f()f(x)x且x因2，2xx112

，于是()1f(x)，f()1

21

2

f(x)12两式相得：()(x)f(x)2⑶由⑵，函数x)

f(x)

在是单调函数，当x0,0，有(x)f()f(x)恒成立。2由数学纳法知，当xi

i

)

时，有f(x)f(f()1

f(x(n12

nn

恒成立设f(x)xlnx则g(x)第页共页

f(x)

x在(0,是单调函数，因此在

n1n23n1n23xi

i

)

时，有xxx)x)1123n312nn2)(*)

恒成立令xn又n

111，记x(n2(n112(n

2Sn

1111123(n(xx))1323nx)ln(123n

1)(x)nn

111()n2nnn

(**)将(**)入*)中可得：111lnlnln223322(n(2(n

(N

*

)即

111223ln4ln(n234(nnn2)

(nN*)使用构法来处理数中较为杂的问题是种常用、有效的思、方法技巧在数学发展的历史河中有很多名的难题都这样的程完的，比如，在对费Fermat)大理1637年马古腊学丢图Diophantus)《术第卷于程

x

2z2

的数的究命8旁边白处拉文下段有史义批将一正数立表两正数的方；一正数四方为个正数四方或一地将一正数高二的表两正数的一幂和这不能。此我到一真奇的明但页空白小无把写式子表这话是方x

ny

,

n

没正数

(yz

这结就费大第页共页

定长达年的证过程中就是经过欧、狄里莱、索菲