计量经济学-汪家义课件 第2章 第4节 置信区间与假设检验

经济计量学汪家义经济计量学第二章第四节置信区间与假设检验一、置信区间定义设是一个待估参数，给定确定的两个统计量和满足：则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.若由样本和分别称为置信下限和置信上限.

1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.

2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.对置信区间的要求:

【说明】可靠度与精度是一对矛盾，一般地，在样本容量一定的条件下，若要提高区间估计的可靠性，则估计的精度就会降低；若要提高区间估计的精度，则估计的可靠性就会降低。

确定置信区间的原则是：在保证可靠度（给定置信度

）的条件下尽可能提高区间估计的精度（使置信区间的长度尽可能短）.被估计的参数虽然未知，但它是一个常数，没有随机性，而区间是随机的。因此，定义中的表达式本质上是指随机区间以的概率包含参数的真值，而不能说参数以的概率落入随机区间。注意：关于置信区间的定义的说明由于量和是样本的函数，若当我们做100次抽样时，我们可得到100个置信区间，在这100个置信区间中大约有95个置信区间包含真实参数。当我们给出一组具体的样本值时，我们可得到一个确定的置信区间，此时真实参数要么在此置信区间内，要么在此置信区间外。

需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.

在概率密度为单峰且对称的情形，取对称的分位点求得的置信区间的长度为最短.（一）ui

正态性假定

二、ui

正态性假定和普通最小二乘估计量

和的性质在回归分析中，我们的目的不仅仅是得到，而且要用推断。因此，我们需要得到的置信区间，通过置信区间去判断这种推断的可靠性。这就需要的概率分布。在回归分析中，人们常常假定ui

服从正态分布。即且在最小二乘估计式中，是Yi

的线性函数，从而也就是ui

的线性函数。要推断的置信区间，我们就必须获得ui

的概率分布。

ui

的正态假定理由如下：

ui

代表回归模型中未包含的变量的集合。这些未引入的变量的影响是微弱的和随机的。根据中心极限定理，如果存在大量独立且同分布的随机变量，随着这些变量个数的增大，它们的总和将趋向正态分布。正态性假定并不影响对参数的点估计，所以有时不列入基本假定，但这对确定所估计参数的分布性质是需要的。（二）

和的性质1.2.三、回归系数和的置信区间

由此可得到β2的置信度为(1-α)的置信区间为：1.当已知时，其中：同理我们可得到的β1置信度为(1-α)的置信区间：置信区间的长度为：显然，置信区间的长度随着参数标准误的增大而增大。其中：2.当未知时，由此可得到β2的置信度为(1-α)的置信区间为：同理我们可得到的β1置信度为(1-α)的置信区间：置信区间的长度为：这里：例如，在例2.2中，我们得到当时，查t分布表得，由此可得到β2的置信度为95%的置信区间为：同理我们可得到的β1置信度为95%的置信区间：但要注意β1的真值有可能在此区间外。五、假设检验假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.是寻找如何利用样本值对一个具体的假设进行检验的方法。其基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理(也称为小概率事件原理)：“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.(一)回归系数的显著性检验——t检验

设总体回归模型为：解释变量X对被解释变量Y的线性影响是否显著等价于β2是否等于零。若X

对Y

的线性影响是显著的，则有否则，构造t

统计量于是对回归系数显著性检验提出的假设为：原假设备择假设

在原假设成立的条件下，双侧假设检验给定显著水平查t

分布表，使得或判别：若，则拒绝原假设。若，则不能拒绝原假设。得到临界值，从而拒绝域为（t值的集合）：给定显著水平提出假设计算t-统计值临界值,拒绝零假设；,不能拒绝零假设。检验步骤：选取t

统计量查t

分布表

【例】

在例2.2中，检验假设给定显著水平查t

分布表得得到拒绝域为：因此拒绝原假设，接受备择假设，即解释变量X对被解释变量Y的影响是显著的，回归系数通过t检验。（二）假设检验中的相关问题

1．显著性水平显著性水平是假设检验中犯第I类错误的概率（错误地拒绝了真实的原假设的概率）。

越小临界值越大，拒绝域越小，犯第I类错误的概率越小。若有两个显著性水平，则在显著性水平下拒绝原假设H0，则在显著性水平下也一定拒绝原假设H0。也就是说：参数在水平下是显著的，则在水平下也是显著的。2.检验的P-值例如检验假设：检验统计量：利用样本的观测值计算检验统计量T的观测值为t，即设显著性水平为，则若，则拒绝原假设再记注意到：等价于：由此得到P-值的检验规则：所以，若，则拒绝原假设。P-值<显著性水平，拒绝原假设；P-值>显著性水平，不能拒绝原假设。

P

值是假设检验的实际显著性水平，是犯第I类错误的实际概率。假设检验的p值拒绝原假设。例2.1中的t检验

3．“2倍t”和“5%P值”简算法

当样本容量n较大时（n≥30），t值只要大于2.0，我们就将回归系数判定为显著的。因为通常在5%的显著水平下，如果自由度在28以上（一元回归中的n≥30），则t分布表中的临界值，按四舍五入的原则，全部等于2.0。当进行多元回归时回归系数较多，利用这种方法非常方便，不需查t分布表。在实际的假设检验中，通常给出的检验水平是5%，这样，无论样本容量多大，当P

值小于5%时，即P＜0.05时，我们就可判定回归系数是显著的。如果显著性水平不是5%或样本较小，则回归系数的显著性检验的临界值就需据t分布表来确定，而不能使用2或5%做临界水平进行t检验。4.假设检验的结论表述在给定显著性水平下H0未被拒绝，我们喜欢说“在100%的水平上不能拒绝H0”而不说“在100%的水平上接受H0”。

5.实际（或经济）显著性与统计显著性注意到当参数是统计显著的时，一种情况是“很大”，导致t

值较大，使得参数是统计显著的；另一种情况是“很小”。但更小（这种情况在大样本下常常发生），导致t

值较大，使得参数是统计显著的。例如：

【例】估计消费函数模型得：其中，C=消费（元），Y=收入（元）。已知要求：（1）检验参数的显著性（α＝0.05）；（2）确定参数的估计量