计量经济学3教材讲义

第3章序列相关性

（SerialCorrelation）3.1序列相关性及其产生的原因3.2序列相关性的影响3.3序列相关性的检验3.4序列相关性的解决方法2023/3/251厦门大学管理学院易英3.1序列相关性及其产生的原因2023/3/252厦门大学管理学院易英

如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性或自相关（autocorrelation）。

对于模型

Yt=0+1X1t+2X2t+…+kXkt+utt=1,2,…,n随机误差项互不相关的基本假设表现为

Cov(ui

,uj)=0

ij,i,j=1,2,…,n序列相关性概念厦门大学管理学院易英32023/3/25序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中。序列相关性概念（空间相关）例如在分析家庭消费支出与收入的截面数据时，本来一个家庭收入的增加对其消费支出的影响并不会影响另一个家庭的消费支出，但如果攀比，某个家庭消费支出的增加则可能迫使另一个家庭增加消费支出。（时间相关）例如在讨论产出对劳动和资本投入回归的季度时间序列数据时，某个季度工人的罢工影响了本季度的产出，而且本季度罢工可能会对下个季度的产出产生影响（下季度产出可能增加以弥补上季度生产的不足）。2023/3/254厦门大学管理学院易英或厦门大学管理学院易英2023/3/255序列相关性概念称为一阶序列相关，或自相关（autocorrelation）其中：被称为自协方差系数（coefficientofautocovariance）或一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）。

t是满足零均值、同方差、无序列相关假定的随机干扰项。如果仅存在

E(utut+1)0

t=1,2,…,n

自相关往往可写成如下形式：

ut=ut-1+t-1<<1厦门大学管理学院易英2023/3/256一阶序列相关序列相关的类型2023/3/257厦门大学管理学院易英8序列相关性产生的原因经济变量固有的惯性：大多数经济时间数据都有一个明显的特点--惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。模型设定的偏误：模型设定偏误（Specificationerror）是指所设定的模型“不正确”。主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。蛛网现象（thecobwebphenomenon）：许多农产品的供给都出现蛛网现象，即供给对价格的反应滞后了一期，因为供给决策的实现需要一定的时间。数据处理：在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的(平滑、内插等)。新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。2023/3/258厦门大学管理学院易英3.2序列相关性的影响

2023/3/259厦门大学管理学院易英序列相关性的后果最小二乘估计量仍然是线性的和无偏的，也具有一致性。最小二乘估计量不是有效的，OLS估计量不再具有最小方差性。OLS估计量的方差是有偏的。（常常OLS将低估系数真实的方差，导致t值变大，使得某个系数看起来显著不为零，其实并非如此。）通常所用的t检验和F检验是不可靠的。在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。其他检验也是如此。区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低，预测功能失效。随机误差项的方差估计量是真实值的有偏估计，很可能低估误差项ut的方差。2023/3/2510厦门大学管理学院易英3.3序列相关性的检验

2023/3/2511厦门大学管理学院易英检验思路序列相关性检验的基本思路：

然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。2023/3/2512厦门大学管理学院易英图示检验法图示检验法就是依据残差对t的图形作出判断。由于残差是对误差项ut的估计，所以尽管误差项ut观测不到，但可以通过et的变化判断ut是否存在序列相关。步骤：用给定的样本通过OLS估计回归模型，计算残差et,(t=1,2,…n)，绘制残差图；分析残差图。2023/3/2513厦门大学管理学院易英图示检验法2023/3/2514厦门大学管理学院易英2023/3/25厦门大学管理学院易英15回归检验法

德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

D-W检验是德宾（J.Durbin）和沃森(G.S.Watson)于1951年提出的一种检验序列自相关的方法，该方法的假定条件是：（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项ut为一阶自回归形式：

ut=ut-1+vt（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：

Yt=0+1X1t+kXkt+Yt-1+ut（4）回归含有截距项2023/3/2516厦门大学管理学院易英德宾和沃森针对原假设：H0:=0，即不存在一阶自相关，构造如下统计量：

åå==--=nttnttteeeWD12221)(..德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

2023/3/2517厦门大学管理学院易英能够证明对大样本而言，下式成立因为-1≤ρ≤1，DW统计量的取值范围为[0,4]德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

2023/3/2518厦门大学管理学院易英D.W.

统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，其精确的分布很难得到。但是，德宾和沃森给出了临界值的下限dL和上限dU

，且这些上下限只与显著性水平、样本的容量n和解释变量的个数k（不包括常数项）有关，而与解释变量X的取值无关。判断模型的自相关状态：德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

若0<D.W.<dL

则存在正自相关若dL<D.W.<dU

则不能确定若dU<D.W.<4－dU

则无自相关若4－dU<D.W.<4－dL

则不能确定若4－dL<D.W.<4则存在负自相关

2023/3/2519厦门大学管理学院易英（1）计算DW值（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU（3）比较、判断0dLdU24-dU4-dL

正相关不能确定无自相关不能确定负相关德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

2023/3/2520厦门大学管理学院易英

=0DW=2ut

无自相关

=1DW=0ut完全正自相关

=-1DW=4ut完全负自相关存在一个不能确定的DW值区域，当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法：

①加大样本容量或重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。②选用其它检验方法。德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

2023/3/2521厦门大学管理学院易英注意：(1)DW统计量只适用于检验一阶自相关形式。(2)应用DW检验,样本容量不应太小。(3)因为DW统计量是以解释变量非随机为条件得出的，所以当回归式的解释变量中含有因变量的滞后项时，DW检验无效。德宾-沃森（Durbin-Watson）检验法

2023/3/2522厦门大学管理学院易英

拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被称为BG检验。

对于模型如果怀疑随机扰动项存在p阶序列相关：

拉格朗日乘数检验法（Lagrangemultiplier,LM）

Yt=0+1X1t+2X2t+…+kXkt+utut=1ut-1+2ut-2+….+put-p+εt2023/3/2523厦门大学管理学院易英

BG检验可用来检验如下受约束回归方程

约束条件为H0:1=2=…=p=0约束条件H0为真时，大样本下渐进地有：其中，n为样本容量，R2为如下辅助回归的可决系数：

给定，查临界值2(p)，与LM值比较，做出判断，实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验，并用辅助回归中参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。

2023/3/2524厦门大学管理学院易英EViews操作：要进行序列相关LM检验，可在方程工具栏中点击View/ResidualTest/SerialCorrelationLMTest，在弹出的对话框中输入描述序列相关的AR和MA过程的最高阶数，点击OK键后即可看到检验结果。输出结果：F统计量：用来检验滞后残差项的系数是否全为0，F统计量的小样本分布是未知的，故仅供参考。LM统计量：显著则存在序列相关（同时可看辅助回归中关于残差滞后项的显著性）LM检验2023/3/2525厦门大学管理学院易英Eviews提供的残差的相关性分析Views\ResidualTest\Correlogram-Q-statistic将输出et与et-1,et-2,……,et-p的自相关和偏自相关系数，如果残差不存在序列相关，则各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。如果在某一滞后阶数p时的Q统计量判断显著，则残差序列存在p阶自相关，不显著则不存在序列相关。较大的样本容量是保证Q统计量有效的重要因素。2023/3/2526厦门大学管理学院易英Box-PierceQ检验定义残差的各阶样本相关系数为这两种统计量在大样本下是等价的，但Ljung-BoxQ统计量在小样本性质更好（故被Stata采用）Stata默认的p=min{floor(n/2)-2,40}，floor(n/2)为不超过n/2的最大整数。2023/3/2527厦门大学管理学院易英3.4序列相关性的解决方法

2023/3/2528厦门大学管理学院易英解决思路

解决途径一：修正序列相关的基本思路，是通过一定的数学手段将模型中的序列相关转换成无序列相关，然后再对模型中的未知参数进行估计。最常用的方法是广义最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）和广义差分法（GeneralizedDifference）。解决途径二：仍然采用OLS估计原模型，再对参数估计量的方差进行修正，称为序列相关稳健估计法（serialcorrelation-robustmethod）。2023/3/2529厦门大学管理学院易英

对于模型

Y=X+

如果存在序列相关，同时存在异方差，即有广义最小二乘法厦门大学管理学院易英

其广义最小二乘估计为：是无偏、有效的估计量。2023/3/2530如果设定随机扰动项为一阶序列相关形式i=i-1+i则可证广义最小二乘法2023/3/2531厦门大学管理学院易英广义差分法广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差分模型，再进行OLS估计。广义差分方程中不是Y对X的回归，是Y的差分形式对X的差分形式的回归。2023/3/2532厦门大学管理学院易英如果原模型存在可以将原模型变换为:

该模型为广义差分模型，不存在序列相关问题。可进行OLS估计得到参数估计量，即为原模型参数无偏且有效的估计量。

广义差分法2023/3/2533厦门大学管理学院易英

广义差分法实质上就是广义最小二乘法，但是却损失了部分样本观测值。如：一阶序列相关的情况下,广义差分是估计这相当于去掉第一行后左乘原模型Y=X+

。即运用了GLS法，但第一次观测值被排除了。

广义差分法2023/3/2534厦门大学管理学院易英随机误差项相关系数的估计要实施广义最小二乘法和广义差分法，都必须知道真实的随机误差项相关系数ρ1，

ρ2，

…….，ρp

。实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。常用的估计方法有科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。2023/3/2535厦门大学管理学院易英科克伦-奥科特迭代法以一元线性模型为例说明其步骤：首先，采用OLS法估计原模型

Yi=0+1Xi+i得到残差作为的的“近似估计值”，并以之作为观测值使用OLS法估计下式

i=1i-1+2i-2+pi-p+i2023/3/2536厦门大学管理学院易英求出i新的“近似估计值”，

并以之作为样本观测值，再次估计

i=1i-1+2i-2+pi-p+i2023/3/2537厦门大学管理学院易英类似地，可进行第三次、第四次.....迭代。关于迭代的次数，可根据具体的问题来定。一般是事先给出一个精度，当相邻两次1,2,,p的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。实践中，有时只要迭代两次，就可得到较满意的结果。两次迭代过程也被称为科克伦-奥科特两步法。因序列相关系数是估计出来的，故模型参数的估计量是可行的广义最小二乘估计量，不再是无偏的，但是一致的。在科克伦-奥科特迭代法下，估计量是渐进有效的。科克伦-奥科特迭代法2023/3/2538厦门大学管理学院易英Eviews中广义差分法在Eview软件包下，广义差分采用了科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计。在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到参数和ρ1、ρ2、…的估计值。

其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在估计过程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。2023/3/2539厦门大学管理学院易英序列相关稳健标准误法尼威（Newey）和韦斯特（West）于1987年提出了修正OLS参数估计量的标准误的方法，而且当模型随机干扰项同时存在异方差和序列相关时，也能得到参数估计量的正确标准误，简称尼威-韦斯特标准误（Newey-Weststandarderror）,该估计参数的方法称为序列相关稳健标准误法（methodofserialcorrelation-robuststandarderror）。可以证明，大样本下尼威-韦斯特标准误是OLS参数估计量标准误的一致估计。2023/3/25厦门大学管理学院易英40例3.1中国商品进口与国内生产总值2023/3/2541厦门大学管理学院易英通过OLS法建立如下中国商品进口方程：例3.1中国商品进口与国内生产总值

（3.32）（20.12）

2023/3/2542厦门大学管理学院易英例3.1中国商品进口与国内生产总值图示检验法2023/3/2543厦门大学管理学院易英例3.1中国商品进口与国内生产总值

取=5%，由于n=24，k=1(不包含常数项)，查表得：

dl=1.27，du=1.45由于DW=0.628<dl

，故:存在正自相关。

DW检验2023/3/2544厦门大学管理学院易英例3.1中国商品进口与国内生产总值P=1时Breusch-GodfreySerialCorrelationLMTest: F-statistic 15.87518

Prob.F(1,21) 0.0007 Obs*R-squared 10.33227

Prob.Chi-Square(1) 0.0013P=2时Breusch-GodfreySerialCorrelationLMTest: F-statistic 19.52905

Prob.F(2,20) 0.0000 Obs*R-squared 15.87241

Prob.Chi-Square(2) 0.0004…………….拉格朗日乘数检验2023/3/2545厦门大学管理学院易英例3.1中国商品进口与国内生产总值由于样本容量有限，LM检验与Q统计量检验不能保证有效性，这里我们大致断定有2阶的序列相关。2023/3/2546厦门大学管理学院易英采用科克伦-奥科特迭代法估计

2023/3/2547厦门大学管理学院易英采用科克伦-奥科特迭代法估计

取=5%

，4-dU>DW>dU（22，3）=1.664表明:广义差分模型已不存在序列相关性。

(3.81)(18.45)(6.11)(-3.61)

在Eviews软包下，2阶广义差分的结果为：2023/3/2548厦门大学管理学院易英采用科克伦-奥科特迭代法估计

可以验证:

仅采用1阶广义差分（1.122<dL0.05(23,2)=1.168)，变换后的模型仍存在1阶自相关性；采用3阶广义差分，变换后的模型不再有自相关性(1.981>dU0.05(21,4)=1.812)，但AR[3]的系数的t值不显著。2023/3/2549厦门大学管理学院易英上图是取对数的残差与没有取对数的残差图，说明了取对数变换的作用。对序列相关的情形，利用对数线性回归也有一定修正作用。2023/3/2550厦门大学管理学院易英取=5%，由于n=24，k=1(不包含常数项)，查表得：

dl=1.27，du=1.45由于DW=0.777<dl

，故:存在正自相关。

2023/3/2551厦门大学管理学院易英P=1时P=2时P=3时2023/3/2552厦门大学管理学院易英2023/3/2553厦门大学管理学院易英取=5%

，DW>dU（22，3）=1.664，广义差分模型已不存在序列相关。2023/3/2554厦门大学管理学院易英例3.1stata操作.tssetyear.regmgdp.predicte1,resid.linee1year.scattere1L.e1.estatdwatson.estatbgodfrey.estatbgodfrey,lags(2).wntestqe1,lags(1).wntestqe1,lags(2).corrgrame1,lag(12).praismgdp.praismgdp,corc2023/3/2555厦门大学管理学院易英处理自相关的Stata命令

.tssetyear设定时间变量year（year数据类型需为int）滞后算子L.xt=xt-1,L2.xt=xt-2,L(1/4).xt=(xt-1xt-2xt-3xt-4）如regyL.xL2.xL3.xL4.x可以简写为regyL(1/4).x，L(0/1)(xy)表示（xt,xt-1,yt,yt-1)前移算子F.x差分算子D.x季节差分算子S.x

2023/3/2556厦门大学管理学院易英处理自相关的Stata命令.regyx1x2x3.predicte1,resid.scattere1L.e1（画残差与其一阶滞后图).ace1(残差自相关图).pace1(残差偏自相关图).corrgrame1,lags(p)(自相关、偏自相关及Q检验).estatbgodfrey(BG检验，默认p=1).estatbgodfrey,lags(p).wntestqe1(Ljung-BoxQ检验，白噪声检验，使用默认滞后期).wntestqe1，lags(p)

.estatdwatson或dwstat(显示DW统计量)2023/3/2557厦门大学管理学院易英处理自相关的Stata命令.neweyyx1x2x3,lags(p)HAC标准误，指定滞后阶数p

.praisyx1x2x3(一阶自相关广义最小二乘，默认PW估计法).praisyx1x2x3，corc(一阶自相关广义最小二乘，CO估计法)2023/3/2558厦门大学管理学院易英例3.2中国居民消费总量模型给出1978-2013年中国名义支出法国内生产总值GDP、名义居民总消费CONS、表示宏观税赋的税收总额TAX、表示价格变化的居民消费价格指数CPI（1990=100），并由此整理出居民实际消费总支出Y=（CONS/CPI）*100，以及实际可支配收入X=（GDP-TAX）/CPI*100。（单位：亿元）假定X与Y为线性关系建立模型。2023/3/25厦门大学管理学院易英592023/3/25厦门大学管理学院易英60例3.2中国居民消费总量模型2023/3/25厦门大学管理学院易英61例3.2中国居民消费总量模型从残差关系图看，模型随机项呈明显的正序列相关性。2023/3/25厦门大学管理学院易英62例3.2中国居民消费总量模型n=34,k=1,dL=1.39,dU=1.51DW=0.3809<dL,故判断模型随机项存在正自相关性。LM检验存在2阶序列相关性。LM检验存在1阶序列相关性。2023/3/25厦门大学管理学院易英63例3.2中国居民消费总量模型做LM检验的辅助回归，发现et-2不显著，故判断仅存在1阶序列相关性。白噪声检验显示存在序列相关，但是因样本太小，结果不可靠。2023/3/25厦门大学管理学院易英64例3.2中国居民消费总量模型2023/3/25厦门大学管理学院易英65例3.2中国居民消费总量模型2023/3/25厦门大学管理学院易英66例3.2中国居民消费总量模型例3.3对冰淇淋需求函数的研究数据集icecream.dta,30个月度时间序列数据：consumption(人均冰淇淋消费量)，income(平均家庭收入)，price(价格)，temp(平均华氏气温)，time(时间)2023/3/2567厦门大学管理学院易英.twoway(connectedconsumptiontime,msymbol(triangle))(connectedtemp100time)图形显示冰淇淋消费量与温度正相关，考虑模型：2023/3/2568厦门大学管理学院易英结果显示temp和income显著，但常数项和price则不显著，由于是时间序列数据，怀疑其扰动项存在自相关。2023/3/2569厦门大学管理学院易英.scattere1L.e1残差与其一阶滞后图.ace1残差自相关图.pace1残差偏自相关图2023/3/2570厦门大学管理学院易英2023/3/2571厦门大学管理学院易英.twoway(scattere1L.e1)(lfite1L.e1)画出残差与其一阶滞后图，并且画出残差与其一阶滞后的线性拟合，拟合出的回归线显示可能存在正的自相关2023/3/2572厦门大学管理学院易英进行BG检验.estatbgodfrey,lags(1)