2019届数学（理）大复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2。3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是（1）考察定义域是否关于原点对称．（2）考察表达式f(－x）是否等于f(x)或－f(x）：若f(－x)＝－f（x)，则f(x)为奇函数；若f（－x)＝f（x），则f(x)为偶函数；若f（－x)＝－f(x）且f（－x）＝f(x)，则f（x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f（x)且f（－x）≠f（x),则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．周期性（1)周期函数:对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x）的最小正周期．知识拓展1．函数奇偶性常用结论(1）如果函数f(x)是偶函数,那么f（x）＝f(｜x|）．（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（3)在公共定义域内有:奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x＋a）＝－f(x），则T＝2a(a>0）．（2）若f(x＋a)＝eq\f（1，fx），则T＝2a（a〉0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f（1，fx），则T＝2a(a>0）．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点．（×)（2）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．（√)(3)函数f（x）在定义域上满足f（x＋a)＝－f（x)，则f(x）是周期为2a(a〉0)的周期函数．(√）(4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．（√）（5）若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z,n≠0）也是函数的周期．(√)题组二教材改编2．已知函数f（x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x)＝x(1＋x)，则f(－1）＝________。答案－2解析f(1)＝1×2＝2，又f（x）为奇函数，∴f（－1)＝－f（1)＝－2。3．设f（x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈［－1,1)时，f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－4x2＋2,－1≤x＜0，,x,0≤x＜1,）)则f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，2）））＝______。答案1解析f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,2)）)＝f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)）)＝－4×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）))2＋2＝1.4．设奇函数f(x)的定义域为［－5，5]，若当x∈［0，5］时，f（x）的图像如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为________________________________________________________．答案（－2，0）∪(2,5]解析由图像可知，当0＜x＜2时，f（x）＞0；当2＜x≤5时，f（x）＜0，又f（x）是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f（x)＜0,当－5≤x〈－2时,f(x)>0。综上，f（x)＜0的解集为(－2，0)∪（2，5]．题组三易错自纠5．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在［a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1，3）B。eq\f（1，3）C．－eq\f(1，2)D.eq\f(1,2)答案B解析依题意得f(－x）＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a,∴a＝eq\f(1，3）,∴a＋b＝eq\f(1,3)，故选B。6．偶函数y＝f(x）的图像关于直线x＝2对称，f(3）＝3，则f(－1)＝________.答案3解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f（1)．又f(x）的图像关于直线x＝2对称，∴f(1）＝f(3）．∴f（－1）＝3。题型一判断函数的奇偶性典例判断下列函数的奇偶性：(1)f（x)＝eq\r（3－x2)＋eq\r(x2－3）；（2）f(x）＝eq\f(lg1－x2,｜x－2|－2）；(3）f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＜0,，－x2＋x，x＞0。)）解（1）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3,解得x＝±eq\r(3），即函数f（x)的定义域为{－eq\r（3)，eq\r（3)}，∴f(x）＝eq\r(3－x2）＋eq\r(x2－3）＝0.∴f(－x)＝－f(x）且f(－x）＝f(x），∴函数f（x)既是奇函数又是偶函数．(2)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1－x2＞0，，｜x－2｜≠2，))得定义域为(－1,0）∪（0,1)，关于原点对称．∴x－2＜0，∴|x－2｜－2＝－x，∴f（x)＝eq\f（lg1－x2，－x）.又∵f(－x）＝eq\f(lg［1－－x2],x）＝eq\f(lg1－x2，x）＝－f（x),∴函数f(x）为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为（－∞，0)∪（0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时,－x＞0，则f（－x）＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f（x）；当x＞0时，－x＜0，则f（－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x);综上可知：对于定义域内的任意x,总有f（－x)＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：（1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域；（2）判断f（x）与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x）＋f（－x)＝0（奇函数）或f(x)－f(－x）＝0（偶函数）是否成立．跟踪训练（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（)A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f（1，2x） D．y＝x2＋sinx答案D解析对于A,f(－x)＝－x＋sin2(－x）＝－（x＋sin2x）＝－f(x），为奇函数；对于B，f(－x)＝（－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x），为偶函数；对于C,f(－x)＝2－x＋eq\f（1,2－x）＝2x＋eq\f（1,2x)＝f（x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D。（2）函数f（x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga（2－x)(a〉0且a≠1）,则函数F（x)＝f（x)＋g（x）,G（x)＝f（x)－g（x）的奇偶性是(）A．F（x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F（x）是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G（x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x）是偶函数答案B解析F(x）,G(x)定义域均为（－2,2），由已知F（－x)＝f（－x)＋g(－x）＝loga（2－x)＋loga(2＋x）＝F（x），G(－x）＝f(－x)－g（－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x）＝－G(x）,∴F（x)是偶函数，G(x）是奇函数．题型二函数的周期性及其应用1．(2017·西安一模）奇函数f（x）的定义域为R，若f(x＋1）为偶函数，且f(1)＝2，则f（4）＋f(5)的值为（）A．2B．1C．－1D．－2答案A解析∵f(x＋1）为偶函数，∴f（－x＋1）＝f（x＋1），则f(－x)＝f（x＋2）,又y＝f（x)为奇函数,则f（－x）＝－f(x）＝f(x＋2），且f（0)＝0。从而f(x＋4)＝－f（x＋2）＝f（x），y＝f（x）的周期为4。∴f(4）＋f（5)＝f（0）＋f（1）＝0＋2＝2.2．（2017·山东)已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2)．若当x∈［－3,0]时，f（x)＝6－x，则f（919)＝________.答案6解析∵f（x＋4)＝f（x－2)，∴f((x＋2)＋4）＝f（(x＋2)－2)，即f（x＋6)＝f（x）,∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f(1）．又f（x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)＝f(－1）＝6，即f（919)＝6.3．定义在R上的函数f（x）满足f(x＋6)＝f（x),当－3≤x〈－1时，f（x)＝－（x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x）＝x.则f（1）＋f(2)＋f(3)＋…＋f（2018）＝________.答案339解析∵f(x＋6）＝f(x），∴周期T＝6。∵当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2)2；当－1≤x<3时,f（x)＝x，∴f（1)＝1,f（2)＝2，f（3）＝f(－3)＝－1，f(4）＝f(－2）＝0，f（5)＝f(－1）＝－1,f(6）＝f（0）＝0，∴f（1）＋f（2)＋…＋f（6)＝1,∴f（1）＋f(2)＋f（3）＋…＋f(2015）＋f（2016)＝1×eq\f(2016,6）＝336.又f（2017）＝f（1）＝1,f(2018）＝f（2)＝2，∴f(1)＋f(2）＋f（3）＋…＋f（2018）＝339.思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式典例（1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f(x）＝2x3＋x2，则f（2）＝________。答案12解析方法一令x＞0,则－x＜0.∴f（－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f（－x)＝－f(x)．∴f（x)＝2x3－x2（x＞0）．∴f（2）＝2×23－22＝12。方法二f(2)＝－f（－2）＝－[2×(－2)3＋（－2)2]＝12。(2）(2016·全国Ⅲ改编）已知f(x)为偶函数，当x≤0时,f(x)＝e－x－1－x,则f（x）＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（e－x－1－x,x≤0,，ex－1＋x，x＞0))解析∵当x＞0时，－x＜0，∴f(x）＝f（－x)＝ex－1＋x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，，ex－1＋x，x＞0.)）命题点2求参数问题典例（1)若函数f（x)＝xln(x＋eq\r（a＋x2))为偶函数，则a＝__________.答案1解析∵f（－x）＝f（x),∴－xln（eq\r(a＋x2）－x）＝xln（x＋eq\r(a＋x2）），∴ln[（eq\r（a＋x2)）2－x2]＝0.∴lna＝0，∴a＝1.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ax＋1，－1≤x<0,,\f（bx＋2，x＋1)，0≤x≤1,)）其中a,b∈R。若f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）））＝f

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，2)））,则a＋3b的值为________．答案－10解析因为f（x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)）)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2）)）且f(－1)＝f（1)，故f

eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)＝f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)))，从而eq\f(\f（1,2)b＋2,\f(1,2)＋1)＝－eq\f(1，2）a＋1，即3a＋2b＝－2。①由f（－1)＝f（1），得－a＋1＝eq\f(b＋2,2）,即b＝－2a。②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10。命题点3利用函数的性质解不等式典例（1)(2017·安阳模拟)已知函数g(x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x)＝－ln（1－x），函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x3，x≤0，，gx，x＞0，))若f（2－x2）＞f(x)，则实数x的取值范围是（）A．(－∞,1）∪(2，＋∞) B．(－∞，－2）∪（1，＋∞）C．(1,2） D．(－2，1）答案D解析∵g（x)是奇函数，∴x＞0时，g（x)＝－g(－x）＝ln（1＋x）,易知f（x）在R上是增函数，由f(2－x2)＞f（x)，可得2－x2＞x,即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.（2）已知f(x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1）〈1,f(5）＝eq\f(2a－3，a＋1），则实数a的取值范围为（)A．(－1,4) B．(－2,0）C．(－1，0） D．（－1,2）答案A解析∵f(x）是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f（1），∵f（1)<1,f（5)＝eq\f(2a－3,a＋1），∴eq\f（2a－3,a＋1)〈1，即eq\f(a－4,a＋1)<0，解得－1〈a<4，故选A。思维升华（1）关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2）掌握以下两个结论，会给解题带来方便:①f(x)为偶函数⇔f（x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.跟踪训练(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞）上是增加的，则满足f（2x－1）〈feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）））的x的取值范围是()A.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3），\f（2，3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f（2,3))）C。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，\f(2，3））） D。eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f（2,3）))答案A解析因为f（x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称，又f(x)在［0,＋∞）上是增加的，f（2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）)），所以|2x－1｜<eq\f(1，3），所以eq\f（1,3)〈x<eq\f（2，3)。(2）已知定义在R上的奇函数f（x)满足f（x－4)＝－f（x），且在区间[0,2］上是增函数，则（）A．f(－25)〈f(11）〈f(80）B．f（80)〈f（11)<f(－25)C．f（11)<f(80）<f(－25）D．f(－25)〈f（80）〈f（11)答案D解析因为f（x）满足f(x－4）＝－f（x），所以f(x－8）＝f（x），所以函数f(x）是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1），f(80）＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x）是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f（3)＝－f（－1）＝f（1)．因为f（x）在区间［0,2］上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f(x）在区间［－2，2］上是增函数，所以f(－1）<f(0）〈f（1)．所以f（－25）〈f(80）〈f（11)．函数的性质考点分析函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断典例1(1)(2017·北京)已知函数f（x)＝3x－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)))x,则f(x)（)A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数（2）（2017·荆州模拟）下列函数:①y＝sin3x＋3sinx；②y＝eq\f（1,ex＋1）－eq\f（1，2)；③y＝lgeq\f（1－x，1＋x)；④y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－x＋1，x≤0，，－x－1，x〉0,))其中是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为(）A．1B．2C．3D．4（3)定义在实数集R上的函数f(x）满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f（4－x）＝f(x）．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f（x）的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析(1)∵函数f(x）的定义域为R，f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,3））)－x＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,3))）x－3x＝－f（x），∴函数f（x）是奇函数．∵函数y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,3））)x在R上是减函数,∴函数y＝－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3))）x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3))）x在R上是增函数．故选B.（2)易知①中函数在(0，1)上为增函数；④中函数不是奇函数;满足条件的函数为②③。(3）由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f（x＋4)＝－f(x＋2)＝f（x），∴函数f(x)的周期是4，①对;由f（4－x)＝f(x)，可得f（2＋x)＝f（2－x），f（x）的图像关于直线x＝2对称,②对;f（4－x）＝f(－x）且f(4－x)＝f(x),∴f（－x)＝f（x），f（x）为偶函数，③对．答案（1）B(2）B（3）①②③二、函数性质的综合应用典例2（1）已知f（x)是定义在R上的偶函数，并且f（x＋3)＝－eq\f(1,fx），当1＜x≤3时，f（x）＝coseq\f(πx,3），则f(2017）＝________。(2)函数f(x）＝log2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋2018－\f(a,x）））在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．（3）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0）上是增加的．若实数a满足f（2｜a－1|)＞f(－eq\r(2)）,则a的取值范围是________．6.∴f(2017)＝f（6×336＋1)＝f(1)．∵f(x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），而f(－1＋3)＝－eq\f(1,f－1)，∴f(1)＝f（－1）＝－eq\f(1，f2）＝－eq\f(1，cos\f(2π,3））＝2。∴f(2017)＝2.(2)由已知函数y＝x＋2018－eq\f（a,x)在［1，＋∞）上是增函数，且y＞0恒成立．∵y′＝1＋eq\f（a,x2)，令y′≥0得a≥－x2（x≥1)，∴a≥－1.又由当x＝1时,y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019.∴a的取值范围是[－1，2019)。(3）∵f(2|a－1｜)＞f(－eq\r（2））＝f（eq\r(2）），又由已知可得f(x)在（0，＋∞）上是减少的，∴2｜a－1|＜eq\r（2）＝，∴｜a－1｜＜eq\f(1,2），∴eq\f(1，2）＜a＜eq\f（3,2)。答案(1）2(2）[－1,2019)（3)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），\f(3，2)））1．下列函数为奇函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝|sinx|C．y＝cosx D．y＝ex－e－x答案D解析函数y＝eq\r（x）的定义域为［0，＋∞），所以该函数不具有奇偶性，排除选项A，函数y＝|sinx｜，y＝cosx的图像关于y轴对称，所以均为偶函数，排除选项B，C，故选D。2．设函数f（x)＝ln（1＋x)－ln(1－x)，则f（x）是（)A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数,且在(0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1）上是减函数答案A解析易知函数定义域为(－1，1），f（－x)＝ln（1－x）－ln（1＋x)＝－f（x），故函数f（x）为奇函数，又f（x)＝lneq\f（1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2，1－x））），由复合函数单调性判断方法知,f（x)在(0，1)上是增函数，故选A.3．（2017·江西南城一中模拟）已知R上的奇函数f(x）满足：当x＞0时，f（x)＝x2＋x－1,则f（f（－1）)等于（)A．－1B．1C．2D．－2答案A解析∵y＝f（x)是奇函数,∴f(－1）＝－f(1)＝－1,∴feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(f－1）)＝f(－1）＝－1。4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4，且当x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3，2），0))时,f（x)＝log2(－3x＋1），则f（2021)等于(）A．4 B．2C．－2 D．log27答案C解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为4，∴f(2021)＝f(4×505＋1）＝f(1）＝－f(－1）．∵－1∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2)，0)）,且当x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2)，0）)时,f（x)＝log2（－3x＋1)，∴f（－1）＝log2［－3×(－1)＋1］＝2，∴f(2021）＝－f(－1）＝－2。5．对于函数f（x)，若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值，都有f（x)＝f(2a－x），则称f（x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x)＝eq\r（x) B．f(x)＝x2C．f（x）＝tanx D．f(x)＝cos（x＋1）答案D解析由f(x)＝f（2a－x）,∴y＝f（x）关于直线x＝a对称（a≠0),题中四个函数中,存在对称轴的有B，D,而B中f(x）＝x2的对称轴为x＝0,不满足题意，故选D。6．已知偶函数f(x）对于任意x∈R都有f（x＋1)＝－f（x），且f(x）在区间［0,1］上是增加的，则f(－6。5)，f(－1）,f(0)的大小关系是（)A．f(0）＜f(－6。5）＜f(－1)B．f(－6。5)＜f（0)＜f（－1)C．f（－1)＜f(－6.5)＜f(0)D．f(－1)＜f(0)＜f(－6。5)答案A解析由f（x＋1）＝－f(x)，得f（x＋2)＝－f（x＋1)＝f（x），∴函数f（x）的周期是2。∵函数f(x）为偶函数,∴f（－6。5）＝f(－0.5）＝f（0。5），f（－1）＝f（1)．∵f(x)在区间[0,1］上是增加的，∴f（0)＜f(0.5)＜f（1），即f(0）＜f(－6.5)＜f(－1)．7．若f（x)＝ln(e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________。答案－eq\f(3，2）解析函数f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，故f(－x）＝f(x），即ln（e－3x＋1）－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得lneq\f(1＋e3x,e3x＋e6x）＝2ax＝lne2ax，即eq\f(1＋e3x，e3x＋e6x）＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x（e3x＋1），所以2ax＋3x＝0，解得a＝－eq\f（3，2).8．已知函数f(x）是定义在R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(5,2））)＋f(1）＝________.答案－2解析∵函数f（x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1）＝－f(－1）＝－f(－1＋2）＝－f(1)，∴f（1）＝0，∴f

eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2）))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－＝－2，∴f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(5，2）））＋f(1)＝－2.9．设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x）＝0；②f（x）＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x）＝2x－1,则f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2））)＋f（1）＋f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，2)）)＋f(2)＋f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5,2）))＝________.答案eq\r(2）解析依题意知：函数f（x)为奇函数且周期为2，∴f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)＋f(1）＋f

eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2））)＋f(2）＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5,2)))＝f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）＋f(1)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)))＋f（0）＋f

eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)＝f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))＋f（1)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)＋f（0)＋f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2））)＝f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)）)＋f(1)＋f（0）＝－1＋21－1＋20－1＝eq\r（2）。10．若函数f(x）是定义在R上的偶函数,且在区间[0，＋∞)上是增函数．如果实数t满足f（lnt)＋f

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（ln\f（1，t）））≤2f(1），那么t的取值范围是________．答案eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（1,e），e)）解析由于函数f(x）是定义在R上的偶函数，所以f（lnt)＝f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(ln\f（1,t)）），由f(lnt)＋f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（ln\f（1,t））)≤2f(1），得f（lnt）≤f（1）．又函数f(x)在区间［0，＋∞)上是增函数,所以｜lnt｜≤1,即－1≤lnt≤1，故eq\f(1,e）≤t≤e。11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，，0,x＝0，，x2＋mx，x<0）)是奇函数．(1）求实数m的值；（2）若函数f（x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．解(1）设x<0，则－x〉0,所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x)＝－x2－2x.又f（x)为奇函数，所以f(－x）＝－f（x)．于是x<0时，f（x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f（x)在［－1，a－2］上是增加的，结合f(x)的图像知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a－2>－1,,a－2≤1，））所以1<a≤3，故实数a的取值范围是（1，3］．12．设f(x）是定义域为R的周期函数,最小正周期为2，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.（1)判断f(x）的奇偶性；(2)试求出函数f（x）在区间[－1,2]上的表达式．解(1）∵f（1＋x)＝f(1－x），∴f（－x）＝f（2＋x）．又f（x＋2)＝f（x），∴f(－x）＝f(x)．又f（x）的定义域为R，∴f（x）是偶函数．（2)当x∈［0,1］时，－x∈[－1,0],则f(x）＝f（－x)＝x；从而当1≤x≤2时,－1≤x－2≤0，f(x)＝f（x－2)＝－(x－2）＝－x＋2.故f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x∈[－1，0]，，x,x∈0，1，,－x＋2，x∈［1，2］.））13．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）>0，f（x＋2）＝eq\f（1，fx），对任意x∈R恒成立，则f(2019）＝________。答案1解析因为f（x)〉0,f(x＋2)＝eq\f（1，f