任意角的三角函数教学设计

任意角的三函数（1一教内分高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。本节课是三角函数这一章里最重要的一节课它是本章的基础主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。在本模块中学生将通过实例学习三角函数及其基本性质体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。二学学情分我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程腾出更多的时对学生加以反复的训练形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣我们虽然刻意地去改变教学的方式但仍太多旧时的痕迹若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影失去新课程自然与清纯之味所以如何进《普通高中数学课程标准(实验)(以下简称课程标准的教学设计就很值得思考探索何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读中在三角函数的教学中教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在认识周期现象的变化规律体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。第二重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。根《课程标准的指导思想任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域函数值的符号。

三设理：本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力获得新知识的能力分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。四教目：1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义能很好入在直角坐标系中很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程而很好理解任意角的三角函数的定义；2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。五教重和点1.教学重点：任意角三角函数的定义.2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域

具体设计如下：六教过第一部——情景引问题1:如图是一个摩天轮设它的中心离地面的高度为，它的直径为，逆时针方向匀速转动，转动一周需要秒若现在你坐在座舱中从初始位置OA出（如图1所示过了30秒后，你离地面的高为多少？过了45秒呢？过t秒呢？

O图1

【设计图：高中学生已经具有丰富的生活经验和一的科学知识，因此选择感兴趣的与其生活实际密切相关的素材此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交也能放在直角坐标系中很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡揭示函数的本质。第二部——复习回锐角三函数让学生自主思考如何解决问题秒后你离地

P面的高度为多少？”

O

M

A【分析图如图2很容易知道：从起始位置运BN图2

H

动30秒后到达P点位置，由题意AOP30，PH直地面交OA于M，又知MH，所以本问题转变成求再次转变为求PM。要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题锐

的正弦函数如何定义？【学生主探究学生很容易得到sin

MPMP|MP|R

sin

hsin

所以学生很自然得到“过了秒后，过了45秒,你离地面的高h为多少？”

P0hh30100hsin4520

O

a

Y

M【教师结：t

在锐角的范围中，

Phsint0

0

OMA

X第三部——引入新问题请t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高h为多少？能不能猜想hsint0？0

B【分析想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。问题如图建立直角坐标系设点(,)能你用直角坐标系中角的终PP边上的点的坐标来表示锐弦、正切）？

的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余【学生主探究sin

MP|

yPcos

OM|MPtanOM|

PP问题改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

【分析由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。【设计图：让学生深刻理解体会三角函数值不会随终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。问题大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？【学生主探究学生通过上面已知知识

y得

MP|OP

y

P

x学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时面的高？通过摩天轮知道：

O图hsin150hhsin0

0由此得到0

12【设计图：过这个，让学生检sin

MP|

在第二象限角是否正确？问题sin

MP|

在第三象限角或第四象限能成立吗？【设计图：让学生通过模型，检验定义是否正确，中让学生自己发现正、负符号的偏差。（可以让学生t，从0得2100

12

，发现这

MP|MP|不相符，实际上）OP|OP【教师结：我们通过个模型知道如何在某些范围内何计算自已此时离地面的高度，用数学模ht0

0

来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角

形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点的横坐标来代|MPMP|，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。第三部——给出任角三角数的定义如图3,已知点Px为终边上的点，P顶O距离为R，则

yR）Rtan

xRRyx2

）【分析学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。问题当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生主探究ytan

yx

。教师引导学生进行对比生通过对比发现取到原点的距离为的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义给出下列表格，让学生自己补充完整。三角函数

定义一|

定义二|

定义域sin

yRxR

tan

yx

yx

2

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部——例题讲例（课本P14例2）已知终边经过P，求的正弦、余弦和正切值。【分析学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。5例2.（课本例1）求的正弦、余弦和正3切值。【学生主探究让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难

y

M

xOP图4

点。【教师解：本题题意很简单，但是如何入手却是难，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清（任意角三角函数的定义要点点点的坐标、点到顶点的距离此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图4可以知POM很容易得到本题答案。

3

1又点P在第四象限得到P,)这样就可以22不妨让学生取ROP4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。第四部——巩固练练习1.例2变式求

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的正弦、余弦和正切值。练习2.题9过观察摩天轮的旋转函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号独立完成课本的“探究【设计图：练习1、练2的设计与例2、3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法在特殊情形中体会数形结合的思想方法。第五部——小结与业学生自我总结作业：P23习题1.2A组1,2,3七教反上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡同时能够揭示函数的本质。3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情

境中活动在活动中体验数学与自然和社会的联系新旧知识的内在联系在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时在思维能力情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。4.《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力发展学