20182019学年高中数学复习课(一)推理与证明教案(含解析)北师大版

复习课(一)推理与证明概括与类比近几年的高考取概括推理和类比推理有时考察，考察的形式以填空题为主，此中概括推理出现的频次较高，要点考察概括、猜想、研究、类比等创新能力．[考点精要]1．概括推理的特色及一般步骤2．类比推理的特色及一般步骤[典例](1)察看以下等式：11－2＝2，111111－2＋3－4＝3＋4，1－1＋1－1＋1－1＝1＋1＋1，23456456，据此规律，第n个等式可为___________________________________________．S1(2)在平面几何中有以下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S21＝4，推行到空间能够获取近似结论：已知正四周体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为2，则V1＝________.VV2[分析](1)等式的左侧的通项为1111111；2－1－2，前n项和为1－2＋3－4＋＋2－1－2nnnn1111右侧的每个式子的第一项为n＋1，共有n项，故为n＋1＋n＋2＋＋n＋n.(2)正四周体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1＝1227.V11111111[答案](1)1－2＋3－4＋＋2n－1－2n＝n＋1＋n＋2＋＋2n1(2)27[类题通法]用概括推理可从详细案例中发现一般规律，但应注意，仅依据一系列有限的特别案例，所得出的一般结论不必定靠谱，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．进行类比推理时，要尽量从实质上思虑，不要被表面现象所诱惑，不然，只抓住一点表面的相像甚至设想就去类比，就会犯机械类比的错误．[题组训练]1．蜜蜂被以为是自然界中最优秀的建筑师，单个蜂巢能够近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．此中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.分析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋12．若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N＋且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列

{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________.答案：数列

{bn}为等比数列，

Tm表示其前

m项的积，若

Tm＝Tn(m，n∈N＋，m≠n)，则

Tm＋n＝1综合法与剖析法综合法与剖析法是高考要点考察内容，一般以某一知识点作为载体，考察由剖析法获取解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．理解综合法与剖析法的观点及差别，掌握两种方法的特色，领会两种方法的相辅相成、辩证一致的关系，以便娴熟运用两种方法解题．[考点精要]综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．剖析法：是由结论追忆到条件的证明方法，在解决数学识题时，常把它们联合起来使用，用剖析法证明数学识题时，要注意书写格式的规范性，经常用“要证(欲证)”“即要证”“只需证”平剖析到一个显然建立的结论P，再说明所要证明的数学识题成立．[典例]设a>0，b>0，a＋b＝1，111求证：a＋b＋ab≥8.[证明]法一：综合法因为a>0，b>0，a＋b＝1，111所以1＝a＋b≥2ab，ab≤2，ab≤4，所以ab≥4，1111ba又a＋b＝(a＋b)a＋b＝2＋a＋b≥4，1111所以a＋b＋ab≥8(当且仅当a＝b＝2时等号建立)．法二：剖析法111因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证a＋b＋ab≥8.1a＋b只需证a＋b＋ab≥8，只需证

11a＋b＋

11b＋a

≥8，1即证a＋b≥4.a＋ba＋b也就是证a＋b≥4.a即证a＋b≥2，a由基本不等式可知，当a>0，b>0时，a＋b≥2建立，所以原不等式建立．[类题通法]综合法和剖析法的特色综合法和剖析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学识题的常用的方法，综合法是由因导果的思想方式，而剖析法的思路恰好相反，它是执果索因的思想方式．剖析法和综合法是两种思路相反的推理方法：剖析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优弊端．剖析法简单探路，且探路与表述合一，弊端是表述易错；综合法条理清楚，易于表述，所以关于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成剖析综合法，其逻辑基础是充分条件与必需条件．[题组训练]1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，22只需证(d＋a)＜(b＋c)，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故＜bc建立，进而d＋a＜＋c建立．adb2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对随意的a，b∈R有(a＋b)＝f(a)·f(b)．证明：f(0)＝1；证明：对随意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0建立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，1而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝f－x，可得0<f(x)<1.综上，对随意的x∈R，恒有f(x)>0建立．反证法反证法是证明问题的一种方法，在高考取极少独自考察，常用来证明解答题中的一问．反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的要点是在正确的推理下得出矛盾．[考点精要]1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学识题时，要假定结论错误，并用假设命题进行推理，没实用假定命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：当“结论”的反面比“结论”自己更简单、更详细、更明确；否认性命题、独一性命题，存在性命题、“至多”“起码”型命题；有的必定形式命题，因为已知或结论波及无穷个元素，用直接证明比较困难，常常用反证法．[典例](1)否认：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中起码有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或起码有两个偶数已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中起码有一个方程有实数根．[分析](1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情况：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否认“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“，，c中都是奇数或起码有两个偶数．”ab[答案]D(2)证明：假定双方程都没有实数根．则1＝a2－4b<0与2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋)，而a2＋c2≥2，dac进而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题建立．[类题通法]反证法是利用原命题的否命题不建立则原命题必定建立来进行证明的，在使用反证法时，一定在假定中排列出与原命题相异的结论，缺乏任何一种可能，反证法都是不完整的．[题组训练]2121．已知x∈R，a＝x＋，b＝2－x，c＝x－x＋1，试证明a，b，c起码有一个不小于1.证明：假定a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋＋＝2x2－2＋1＋3＝2x－12＋3≥3，bcx22二者矛盾，所以假定不建立，故a，b，c起码有一个不小于1.2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．证明：假定方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．综上可知方程f(x)＝0无整数根.数学概括法数学概括法在近几年高考试题中都有所表现，常与数列、不等式联合在一同考察，一般波及通项公式的求解，有关等式、不等式的证明等，考察模式一般为“概括——猜想——证明”．数学概括法是一种特别的直接证明的方法，在证明一些与正整数有关的数学命题时，常常是特别实用的研究工具．在使用时注意“概括奠定”和“概括递推”两个步骤缺一不可．[考点精要]定义：数学概括法主要用于解决与正整数有关的数学识题．证明时，它的两个步骤缺一不行．它的第一步(概括奠定)n＝n0时结论建立．第二步(概括递推)假定n＝k时，结论建立，推得n＝k＋1时结论也建立．注意问题：①＝0时建立，要弄清楚命题的含义．nn②由假定n＝k建立证n＝k＋1时，要推导详确，而且必定要运用n＝k建立的结论．③要注意n＝k到n＝k＋1时增添的项数．[典例]axn＋1n1＋设a>0，f(x)＝a＋x，令a＝1，a＝f(a)，n∈N.写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；用数学概括法证明你的结论．[解](1)∵a1＝1，a∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a；aaa3＝f(a2)＝2＋a；a4＝f(a3)＝3＋a.a猜想an＝n－＋a(n∈N＋)．证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假定n＝k(k∈N＋)时猜想正确，即a，ak＝k－＋aa·a·ak－＋a则ak＋1＝f(ak)＝a＝＋aaa＋k－＋aaa＝k－＋a＋1＝k＋－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，关于任何nn－an∈N＋，都有a＝＋a.[类题通法]与“概括—猜想—证明”有关的常用题型的办理策略与函数有关的证明：由已知条件考证前几个特别值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学概括法证明．与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学概括法．[题组训练]1．设数列nnn都有：n2nn{a}的前n项和为S，且对随意的自然数(S－1)＝aS，经过计算1，2，3，猜想n＝________.SSSS分析：由(1－1)221＝1得：1＝；SSS2由(S－1)2＝(S－S)S得：S＝3；221222由(S－1)2＝(S－S)S得：S＝4.332333n猜想Sn＝n＋1.n答案：n＋12．已知正项数列{an}中，关于全部的2建立．n∈N＋均有an≤an－an＋1(1)证明：数列{an}中的随意一项都小于1；1(2)研究an与n的大小关系，并证明你的结论．解：(1)证明：由a2得n＋12n≤n－n＋1≤n－n.aaaaa∵在数列{an}中，an>0，an＋1>0，2>0，∴n－naa∴0<an<1，故数列{a}中的任何一项都小于1.n(2)由(1)知0<a<1，1212111那么a2≤a1－a1＝－a1－2＋4≤4<2，1由此猜想an<n.下边用数学概括法证明：当n≥2，且n∈N＋时猜想正确．①当n＝2时已证；②假定当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，111有ak<k建立，即k≤2，那么a≤a2a121112111k－1k－11k＋1kkk－－∴当n＝k＋1时，猜想正确．1综上所述，关于全部n∈N＋，都有an<n.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确分析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，挨次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()nn2A．a＝3n－2B．a＝nn－1D．an＝4n－3C．an＝3分析：选B求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.xy3．在平面直角坐标系内，方程a＋b＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在，，轴上的截距分别为，，(≠0)的平面方程为( )xyzabcabcxyzxyzA.a＋b＋c＝1B.ab＋bc＋ca＝1xyyzzxD．ax＋by＋cz＝1C.ab＋bc＋ca＝1分析：选A类比到空间应选A.此外也可将点(a,0,0)代入考证．4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0起码有一个实根”时，要做的假定是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰巧有两个实根分析：选A起码有一个实根的否认是没有实根，故要做的假定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，恰巧碰在一同．他们除懂本国语言外，每人还会说其余三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日自己，丁不会说日语，但他俩能自由谈话；②四人中没有一个人既能用日语谈话，又能用法语谈话；③乙、丙、丁谈话时，不可以只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙谈话时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英分析：选A剖析题目和选项，由①知，丁不会说日语，清除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，清除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，清除C选项，应选A.6．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGABCD中，若△BCD＝2”．若把该结论推行到空间，则有结论：“在棱长都相等的四周体GD的中心为M，四周体内部一点O到四周体各面的距离都相等”，则AO)＝(OMA．1B.2C．3D．46分析：选C如图，设正四周体的棱长为1，则易知其高AM＝3，此1时易知点O即为正四周体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4×33136?r＝6666×r＝×4×，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM43312312464∶12＝3.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，依据这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.分析：分别察看正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，概括可知，第n个叠放图形中共有n层，组成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以n＝n＋[(－1)×4]÷2＝22－，Snnnn72所以S＝2×7－7＝91.答案：918．用数学概括法证明：(n＋1)＋(＋2)＋＋(＋)＝nn＋(n∈N＋)的第二步中，nnn2当n＝k＋1时等式左侧与n＝k时的等式左侧的差等于________．分析：当＝＋1时，左侧＝(k＋2)＋(k＋3)＋＋(2k＋2)；当n＝k时，左侧＝(knk1)＋(k＋2)＋＋2k，其差为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.答案：3k＋29．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是

和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是

1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是

5”，则甲的卡片上的数字是

________．分析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是

2和

3.若丙的卡片上的数字是

1和

2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是

2和

3，则甲的卡片上的数字是

1和

3，知足题意；若丙的卡片上的数字是

1和

3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是

2和

3，则甲的卡片上的数字是

1和

2，不知足甲的说法．故甲的卡片上的数字是

1和

3.法二：因为甲与乙的卡片上同样的数字不是

2，所以丙的卡片上必有数字

2.又丙的卡片上的数字之和不是

5，所以丙的卡片上的数字是

1和

2.因为乙与丙的卡片上同样的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是

2和

3，所以甲的卡片上的数字是

1和3.答案：1和

310．已知|

x|≤1，|y|≤1，用剖析法证明：

|

x＋y|≤|1＋xy|.证明：要证

|

x＋y|≤|1＋xy|

，即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，2222即证x＋y≤1＋xy，因为|x|≤1，|y|≤1，22所以x－1≤0,1