全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案)

全等三角形的的性质与判定难题50道1．边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为A． B． C． D．2．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点，（1）求的度数；（2）若，求的长．3．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”．（2）特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是：（填“”，“”或“”．理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）．4．如图，过等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连交边于．（1）求证：；（2）若的边长为1，求的长．5．如图所示，已知等边的边长为，是内一点，，，，点、、分别在、、上，猜想：，并证明你的猜想．6．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接．（1）请说出的理由；（2）试说出的理由；（3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明．7．如图，已知是边长为的等边三角形，动点，同时从、两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点运动到点时，，都停止运动．（1）出发后运动时，试判断的形状，并说明理由；那么此时和的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为，的面积为，请用的表达式表示．8．已知：在等边中，点、、分别为边、、的中点，点为直线上一动点，当点在延长线上时，有结论“在直线上存在一点，使得是等边三角形”成立（如图①，且当点与点、、重合时，该结论也一定成立．问题：当点在直线的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．9．已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点，（1）如图1，若，则；如图2，若，则；如图3，若，则；（2）如图4，若，则（用含的式子表示）；（3）将图4中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若，则与的有何数量关系？并给予证明．10．如图1，为等边三角形，面积为．、、分别是三边上的点，且，连接、、，可得△是等边三角形，此时△的面积，△的面积．（1）当、、分别是等边三边上的点，且时如图2，①求证：△是等边三角形；②若用表示△的面积，则；若用表示△的面积，则．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当、、分别是等边三边上的点，时，为正整数）△是三角形；若用表示△的面积，则；若用表示△的面积，则．11．如图，在等边的三边上分别取点、、，使．（1）试说明是等边三角形；（2）连接、、，两两相交于点、、，则为何种三角形？试说明理由．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．13．如图，已知是的边上的一点，，，是的中线．（1）若，求的值；（2）求证：是的平分线．14．如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．（1）求证：是等边三角形．（2）求证：．15．如图．在等边中，与的平分线相交于点，且，．（1）试判定的形状，并说明你的理由；（2）线段、、三者有什么关系？写出你的判断过程．16．如图，是等边三角形，，，，求证：是等边三角形．17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？18．如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线．求证：是等边三角形．19．如图，，平分，为角平分线上一点，过点作，垂足为，交于点，交于点．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长．20．如图，在中，，，、分别为、的中点，且，，点、在上，，求线段的长．（提示：需要添加辅助线）21．已知，如图，是正三角形，，，分别是各边上的一点，且．请你说明是正三角形．22．如图所示，是等边三角形，且，试问：是等边三角形吗？请说明理由．23．如图，为等边三角形，平分，．（1）求证：是等边三角形；（2）求证：．24．如图是等边三角形（1）如图①，，分别交、于点、．求证：是等边三角形；（2）如图②，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．25．如图，是的平分线上一点，，，、是垂足，连接交于点，若．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求线段的长．26．如图，中，，点、分别在、上，，、相交于点，于点，求证：．27．如图，在中，，、是内两点，平分，，若，，则．28．如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．29．如图，为等边三角形，为边上一点，以为边作，与的外角平分线交于点，连接，且．求证：是等边三角形．30．如图，在中，，是三角形外一点，且，．求证：．31．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，．（1）求证：是等边三角形．（2）线段、、三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）32．已知：如图，在中，，，是中线，延长至点，使．求证：．33．如图，和均是边长为2的等边三角形，、分别是、上的两个动点，且满足．（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由．34．已知：如图，四边形中，，，为上的点不与、重合），若有一角等于．（1）当为中点时，则的面积为（结果用含的式子表示）；（2）求证：为等边三角形；（3）设的面积为，求出的取值范围（结果用含的式子表示）．35．如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）是什么三角形？说明理由；（2）若，，为大于1的整数），求的度数；（3）当为多少度时，是等腰三角形？36．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：是等边三角形．37．已知：在和中，，．（1）如图①，若，求证：①②．（2）如图②，若，则与间的等量关系式为，的大小为（直接写出结果，不证明）38．如图，是等边三角形，是上一点，，，试判断形状，并证明你的结论．39．等边边长为6，为上一点，含、的直角三角板角的顶点落在点上，使三角板绕点旋转．（1）如图1，当为的三等分点，且时，判断的形状；（2）在（1）问的条件下，、的延长线交于点，如图2，求的面积；（3）在三角板旋转过程中，若，，如图3，求的长．40．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．如图，已知，，，延长，使，连接，求证：．思路点拨：（1）由已知条件，，可知：是三角形；（2）同理由已知条件得到，且，可知；（3）要证，可将问题转化为两条线段相等，即；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明．请你完成证明过程：41．已知是等边三角形，点是上一点，于点，交于点，在的延长线上截取，交于点，．（1）如图1，若，则，；（2）如图2，若，试求和的值；（3）如图3，若点在边的延长线上，且，其他条件不变，则．（只写答案不写过程）42．如图为等边三角形，直线，为直线上任一动点，将一角的顶点置于点处，它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．（1）若恰好在的中点上（如图求证：是等边三角形；（2）若为直线上任一点（如图，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．43．如图，在等边中，，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点点从点出发沿边向点以速度移动．、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟．（1）你能用表示和的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，为等边三角形？（3）若、两点分别从、两点同时出发，并且都按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒钟后点与点第一次在的哪条边上相遇？44．如图：在中，，，与相交于点，于．求证：①；②．45．如图1，点是线段上一点，和分别是等边三角形，连接和．（1）求证：；（2）如图2，点、分别是、的中点，试判断的形状，并证明．46．如图：已知是等边三角形，、、分别是、、边的中点，是直线上的任意一点，在射线上截取，使，连接、、．（1）如图①，当点在点左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断是怎样的特殊三角形（不要求证明）；（2）请借助图②解答：当点在线段上（与点、不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）请借助图③解答：当点在射线上（与点不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．47．如图，是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点，（1）若，问是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论．48．如图，已知为等边三角形，延长到，延长到，并且使，连接，．求证：．49．如图，已知与都是边长为2的等边三角形，如图有一个角的三角板绕着点旋转分别交、于点、两点（不与端点重合）．（1）试说明：是等边三角形；（2）求四边形的面积；（3）填空：当时，最小．50．如图，、、三点在同一直线上，和是正三角形，是中点，是中点．求证：是正三角形．

全等三角形的的性质与判定难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为A． B． C． D．【解答】解：连接、、．六边形是正六边形，，，，，，，，在和中，，，，、分别为、中点，，，六边形是正六边形，是等边三角形，，，同理，即，等边三角形的边长是，第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的，过作于，过作于，则，，四边形是平行四边形，，，（已证），，，同理，，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是；同理第第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是；同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是；第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是；第六个等边三角形的边长是，第六个正六边形的边长是，即第六个正六边形的边长是，故选：．二．解答题（共49小题）2．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点，（1）求的度数；（2）若，求的长．【解答】解：（1）是等边三角形，，，，，，；（2），，是等边三角形．，，，．3．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“”，“”或“”．（2）特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是：（填“”，“”或“”．理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）．【解答】解：（1）故答案为：．（2）过作交于，等边三角形，，，，，即，是等边三角形，，，，，，，，在和中，，，即，故答案为：．（3）解：或3，理由是：分为两种情况：①如图1过作于，过作于，则，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，；②如图2，作于，过作于，则，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，即或1．4．如图，过等边的边上一点，作于，为延长线上一点，且，连交边于．（1）求证：；（2）若的边长为1，求的长．【解答】（1）证明：如图，过做交于点，，，为等边三角形，，，是等边三角形；，，，．（2）是等边三角形，，，，，，，．5．如图所示，已知等边的边长为，是内一点，，，，点、、分别在、、上，猜想：，并证明你的猜想．【解答】解：．理由如下：如图，延长交于，延长交于，，，是等边三角形，，，是等边三角形，同理可得是等边三角形，，，又，，四边形是平行四边形，，．故答案为．6．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接．（1）请说出的理由；（2）试说出的理由；（3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明．【解答】解：（1）和均为等边三角形，；（2），点、、在同一条直线上又；（3）是等边三角形，理由如下：（全等三角形的对应边相等）又是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；7．如图，已知是边长为的等边三角形，动点，同时从、两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点运动到点时，，都停止运动．（1）出发后运动时，试判断的形状，并说明理由；那么此时和的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为，的面积为，请用的表达式表示．【解答】解：（1）是等边三角形，，（2分）运动至时，，，（4分）又是边长为的等边三角形是等边三角形（6分）．（2）过作于，，，，．（10分）．（12分）8．已知：在等边中，点、、分别为边、、的中点，点为直线上一动点，当点在延长线上时，有结论“在直线上存在一点，使得是等边三角形”成立（如图①，且当点与点、、重合时，该结论也一定成立．问题：当点在直线的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．【解答】证明：连接、、．（1）当点在线段上时，如图①，在上截取使．、、是等边三边中点，、也是等边三角形且．在和中，，，．．，在直线上存在点使得是等边三角形．（2）当点在射线上时，如图②，在上截取使．由（1）可证．，．，．在直线上存在点使得是等边三角形．（3）当点在延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点在直线上的任意位置时，该结论成立．9．已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点，（1）如图1，若，则；如图2，若，则；如图3，若，则；（2）如图4，若，则（用含的式子表示）；（3）将图4中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若，则与的有何数量关系？并给予证明．【解答】解：（1）如图1，，，所以是等边三角形．，，所以是等边三角形．，，，又，．，，．．是的外角．．如图2，，，，．，又，，．．如图3，，．．又，，．．，．．故填，，．（2），．．．．．（3）；证明：，则，即．在和中，则．则，由三角形内角和知．．10．如图1，为等边三角形，面积为．、、分别是三边上的点，且，连接、、，可得△是等边三角形，此时△的面积，△的面积．（1）当、、分别是等边三边上的点，且时如图2，①求证：△是等边三角形；②若用表示△的面积，则；若用表示△的面积，则．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当、、分别是等边三边上的点，时，为正整数）△是三角形；若用表示△的面积，则；若用表示△的面积，则．【解答】解：（1）①为等边三角形，，，（1分）由已知得，，，，（2分）△△（3分）同理可证△△（4分）△为等边三角形；（5分）②；（6分）（7分）（2）由（1）可知：△等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：，，；（9分），．（10分）11．如图，在等边的三边上分别取点、、，使．（1）试说明是等边三角形；（2）连接、、，两两相交于点、、，则为何种三角形？试说明理由．【解答】证明：（1）是等边三角形，，，，在和中，，，，同理，．是等边三角形；（2）是等边三角形，理由：由（1）证得，，在与中，，，，，，，同理，是等边三角形．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．【解答】解：如图，延长并反向延长，，，两两相交于点、、，六边形的每个内角都是，，，，是等边三角形，同理：，是等边三角形，，，，，，，，六边形的周长．13．如图，已知是的边上的一点，，，是的中线．（1）若，求的值；（2）求证：是的平分线．【解答】（1）解：，，，，，，，，，；（2）证明：延长到，使，连接，在和中，，，，，，在与，，，，是的平分线．14．如图，为等边三角形，平分交于点，交于点．（1）求证：是等边三角形．（2）求证：．【解答】证明：（1）为等边三角形，．，，．是等边三角形．（2）为等边三角形，．平分，．是等边三角形，．．15．如图．在等边中，与的平分线相交于点，且，．（1）试判定的形状，并说明你的理由；（2）线段、、三者有什么关系？写出你的判断过程．【解答】解：（1）是等边三角形，其理由是：是等边三角形，，（2分），，，（3分）是等边三角形；（4分）（2）答：，其理由是：平分，且，，（6分），，，，（7分）同理，，，．（8分）16．如图，是等边三角形，，，，求证：是等边三角形．【解答】证明：是等边三角形，，，，，，，，，，是等边三角形，17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？【解答】解：等边三角形各边长相等，故按照上图搭出图形，即为9根火柴搭出5个等边三角形．18．如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线．求证：是等边三角形．【解答】证明：在的垂直平分线上，，是等腰三角形，，，，，由，，得：，是等边三角形．19．如图，，平分，为角平分线上一点，过点作，垂足为，交于点，交于点．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，求的长．【解答】解：（1）是等边三角形，理由如下：平分，，，，，，，，，是等边三角形；（2）是等边三角形，，又，，，设，则，在中，根据勾股定理得：，解得：，则．20．如图，在中，，，、分别为、的中点，且，，点、在上，，求线段的长．（提示：需要添加辅助线）【解答】解：如图，连接、为中点，，，为等腰三角形，又，，，同理可证：，为等边三角形，，又，，，又，．21．已知，如图，是正三角形，，，分别是各边上的一点，且．请你说明是正三角形．【解答】解：为等边三角形，且，，又，，，是等边三角形．22．如图所示，是等边三角形，且，试问：是等边三角形吗？请说明理由．【解答】解：是等边三角形，理由：是等边三角形，，，，，，，同理，是等边三角形．23．如图，为等边三角形，平分，．（1）求证：是等边三角形；（2）求证：．【解答】证明：（1）为等边三角形，，，，，，是等边三角形；（2）是等边三角形为等边三角形，平分，是的中点（三线合一），．24．如图是等边三角形（1）如图①，，分别交、于点、．求证：是等边三角形；（2）如图②，仍是等边三角形，点在的延长线上，连接，判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：是等边三角形，，，，，是等边三角形；（2）解：．，，，在和中，，，，，，，，．25．如图，是的平分线上一点，，，、是垂足，连接交于点，若．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求线段的长．【解答】解：（1）点是的平分线上一点，，，垂足分别是，，，在与中，，，，是等边三角形；（2）是等边三角形，是的平分线，，，，，，，，．26．如图，中，，点、分别在、上，，、相交于点，于点，求证：．【解答】证明：延长至点，使，连接，，，，，为等边三角形，，，，在和中，，，，，在中，，，，．27．如图，在中，，、是内两点，平分，，若，，则32．【解答】解：延长交于，延长交于，，平分，，，，为等边三角形，为等边三角形，，，，为等边三角形，，，，，，，，故答案为32．28．如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．【解答】证明：为等边三角形，，，即，平分，，在和中，，，，，又，，为等边三角形．29．如图，为等边三角形，为边上一点，以为边作，与的外角平分线交于点，连接，且．求证：是等边三角形．【解答】解：过作交于，则，为等边三角形，，．又，，，．在和中，，，，，是等边三角形．30．如图，在中，，是三角形外一点，且，．求证：．【解答】证明：延长至，使，连接，，，，，，是等边三角形，，，在和中，，，．31．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，．（1）求证：是等边三角形．（2）线段、、三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）【解答】（1）证明：是等边三角形，，，，，，是等边三角形；（2），其理由是：平分，且，，，，，，同理，，，；（3）①连接，并延长交于点，求证是直角三角形；②若等边的边长为1，求边上的高长是多少．32．已知：如图，在中，，，是中线，延长至点，使．求证：．【解答】证明：如图，在中，，，是等边三角形，，是中线，是的平分线，，，，，，．33．如图，和均是边长为2的等边三角形，、分别是、上的两个动点，且满足．（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由．【解答】证明：（1）和都为正三角形，，四边形是菱形，，，，而，，；（2），，，，即，为正三角形；34．已知：如图，四边形中，，，为上的点不与、重合），若有一角等于．（1）当为中点时，则的面积为（结果用含的式子表示）；（2）求证：为等边三角形；（3）设的面积为，求出的取值范围（结果用含的式子表示）．【解答】解：如图，在四边形中，，四边形是菱形，又，，，连则，，，．（1）如上图，当为中点时，，；（2）①、如图如果，则，，，，，，，，是正三角形；②、如图如果，则，，，又，、、、四点共圆，，，，，，，是正三角形；③、如图3，如果，则，，，又，、、、四点共圆，，，，，，，是正三角形；（3）最大，最小，．35．如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）是什么三角形？说明理由；（2）若，，为大于1的整数），求的度数；（3）当为多少度时，是等腰三角形？【解答】解：（1）是等边三角形．理由如下：绕点按顺时针方向旋转得，，，是等边三角形；（2），是直角三角形，且，是等边三角形，，，根据旋转的性质，；（3），，，又，，是等腰三角形，①时，，解得，②时，，解得，③时，，解得，综上所述，为或或时，是等腰三角形．36．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：是等边三角形．【解答】解：（1）、都是等边三角形，，，，，，在和中，，．（2）解：，，等边三角形，，，，，，，，答：的度数是．（3）证明：，，，又点、分别是线段、的中点，，，，在和中，，，，又，，，，是等边三角形．37．已知：在和中，，．（1）如图①，若，求证：①②．（2）如图②，若，则与间的等量关系式为，的大小为（直接写出结果，不证明）【解答】解：（1）①证明：，，．在和中，，，；②证明：，，，，；（2），．38．如图，是等边三角形，是上一点，，，试判断形状，并证明你的结论．【解答】解：三角形为等边三角形，且，即，，，是等边三角形．39．等边边长为6，为上一点，含、的直角三角板角的顶点落在点上，使三角板绕点旋转．（1）如图1，当为的三等分点，且时，判断的形状；（2）在（1）问的条件下，、的延长线交于点，如图2，求的面积；（3）在三角板旋转过程中，若，，如图3，求的长．【解答】解：（1），，因此直角三角形中，，，，，在和中，，，，，是等边三角形．（2）过作于，由（1）可知：，，，在三角形中，，，，直角三角形中，，，，，直角三角形中，，，，，；（3）在中，，，，，，又，，，设，则．，解得：或4．当时，在△中，，，，过作于，则，，，即与重合，与矛盾，故不合题意，舍去；当时，在△中，，，，则是等边三角形，．故．40．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．如图，已知，，，延长，使，连接，求证：．思路点拨：（1）由已知条件，，可知：是等边三角形；（2）同理由已知条件得到，且，可知；（3）要证，可将问题转化为两条线段相等，即；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明．请你完成证明过程：【解答】（1）解：连接，，，是等边三角形，故答案为：等边．（2）解：，，，是等边三角形，故答案为：，是等边三角形．（3）证明：等边三角形和，，，，，即，在和中，，，，故答案为：．（4）解：由（3）知：证．41．已知是等边三角形，点是上一点，于点，交于点，在的延长线上截取，交于点，．（1）如图1，若，则，；（2）如图2，若，试求和的值；（3）如图3，若点在边的延长线上，且，其他条件不变，则．（只写答案不写过程）【解答】解：（1）①等边三角形，，，，在直角中，，，，，，又，，，，；②如图1，作，，，易证，则，在中，是中位线，，；故答案为：；1．（2）如图2，设，则；连，且过作于；过点作交于，可判断为等边三角形，所以，，，又，，，即，，在中可得，，，又，，又，而，，，，；（3）等边三角形，，，，在直角中，，，，，，又，，，，．故答案为：42．如图为等边三角形，直线，为直线上任一动点，将一角的顶点置于点处，它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．（1）若恰好在的中点上（如图求证：是等边三角形；（2）若为直线上任一点（如图，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【解答】（1）证明：，且为等边三角形，，，，，，，，，，．，且，是等边三角形；（2）在上取点，使，连结，，是等边三角形，，，，，，，又，是等边三角形．43．如图，在等边中，，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点点从点出发沿边向点以速度移动．、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟．（1）你能用表示和的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，为等边三角形？（3）若、两点分别从、两点同时出发，并且都按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒钟后点与点第一次在的哪条边上相遇？【解答】解：（1）是等边三角形，，点的速度为，时间为，，则；点的速度为，时间为，；（2）若为等边三角形，则有