【新步步高】高考数学(理全国甲卷)三轮增分练：高考小题分项练5(含答案解析)

高考小题分项练5三角函数与解三角形5π5π，cos1．若点(sin66)在角α的终边上，则sinα的值为( )31A．－2B．－213C.2D.2答案A分析依据随意角的三角函数的定义，cos5π3，应选A.得sinα＝6＝－12π12πα)2．若sin(－α)＝，则2cos(＋)－1等于(636211A.3B．－377C.9D．－9答案A分析2παπ2cos(＋)－1＝cos(＋α)623πππ1＝sin[2－(3＋α)]＝sin(6－α)＝3，应选A.π个单位获得y＝f(x)的图象，则( )3．若函数y＝sin2x的图象向左平移4A．f(x)＝cos2xB．f(x)＝sin2xC．f(x)＝－cos2xD．f(x)＝－sin2x答案A分析图象上全部点πy＝sin2x―――――――→y＝sin2(x＋)向左移个单位44π＝sin(2x＋2)＝cos2x.π4．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期为π，把f(x)的图象向左平移个单位，6获得函数g(x)的图象．则g(x)的分析式为( )2πA．g(x)＝2sin2xB．g(x)＝2sin(2x＋3)πC．g(x)＝2cos2xD．g(x)＝2sin(2x＋6)答案Cπ分析f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋6)，由于最小正周期T＝π，所以ω＝2，πππππf(x)＝2sin(2x＋)，把f(x)的图象向左平移个单位，获得函数g(x)＝f(x＋)＝2sin[2(x＋)＋]66666π2sin(2x＋2)＝2cos2x，应选C.5．假如知足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是()A．0<k≤12B．43<k≤12C．k≥12D．0<k≤12或k＝83答案B分析当AC＝BC·sin∠ABC，即ksin60°＝12，k＝83时，三角形为直角三角形，不合题意．当AC0<BC≤AC，即0<k≤12时，三角形只有一解，此中要使△ABC为锐角三角形，应有BC>tan∠ABC12＝43，所以实数k的取值范围是43<k≤12，应选B.tan60°6．设α，β∈[0，π]，且知足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A．[－2，1]B．[－1，2]C．[－1,1]D．[1，2]答案C分析sinαcosβ－cosαsinβ＝1?sin(α－β)＝1，π又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，20≤α≤π，π∴π?≤α≤π，0≤β＝α－2≤π2sin(2α－β)＋sin(α－2β)π＝sin(2α－α＋2)＋sin(α－2α＋π)π＝cosα＋sinα＝2sin(α＋4)．π3ππ5∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，2444π∴－1≤2sin(α＋4)≤1，即取值范围是[－1,1]，应选C.π7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－6)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完整同样，若πx∈[0，2]，则f(x)的取值范围是()A．[－3,3]B．[－3，3]22C．[－3，3]D．[－3，3]222答案D分析由题意可得ω＝2.∵x∈[0，π2]，πππ5π∴ωx－＝2x－∈[－，6666]，由三角函数图象知：f(x)的最小值为π3，最大值为π，3sin(－)＝－23sin＝362f(x)的取值范围是[－3，3]，应选D.2ππ8．若2cos2α＝sin(－α)，且α∈(，π)，则sin2α的值为( )42A．1B．－158715C．－8D.8答案Cπ分析由2cos2α＝sin(4－α)，得2(cos2α－sin2α)＝2(cosα－sinα)．2π由于α∈(，π)，所以cosα－sinα≠0，2所以cosα＋sinα＝42.又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα1＋sin2α＝1，8所以sin2α＝－78，应选C.9．设a，b，c为△ABC的三边长，a≠1，b<c，若log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)·alog(c－b)a，则△ABC的形状为

(

)A．锐角三角形

B．直角三角形C．钝角三角形D．没法确立答案B分析∵log(c＋b)a＋log(c－b)a＝2log(c＋b)alog(c－b)a，∴1＋1＝2，logc－balogc＋ba即loga(c－b)＋loga(c＋b)＝2，loga(c2－b2)＝2，即c2－b2＝a2，即c2＝a2＋b2，故△ABC的形状为直角三角形，应选B.10．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东进行海面巡逻，当航行半小时抵达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )

60°方向C位于AA．5(6＋2)kmB．5(6－2)kmC．10(6－2)kmD．10(6＋2)km答案C分析由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，ABC＝30°＋45°＝75°，∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，1∴AC＝AB＝40×＝20(km)．2由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC202＋202－2×20×20×cos30°800－4003＝400(2－3)，∴BC＝－3＝3－2＝102(3－1)＝10(6－2)(km)．应选C.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋1222等于()bcosA＝csinC，S＝(b＋c－a)，则B4A．90°B．60°C．45°D．30°答案C分析由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，sin(A＋B)＝sin2C，sinC＝sin2C，于是sinC＝1，C＝90°.1ab＝1222122进而S＝4(b＋c－a)＝(b＋b)，24解得a＝b，所以B＝45°.应选C.12．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝2，3则b等于()A．14B．6C.14D.6答案D分析由题意，得bsinA＝3csinB?ab＝3bc?a＝3c?c＝1?b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－22·3·1·＝6?b＝6，应选D.3ππ13．已知α∈(0，2)，且tan(α＋4)＝3，则lg(8sinα＋6cosα)－lg(4sinα－cosα)＝________.答案1分析ππ∵α∈(0，)，且tan(α＋)＝3，24tanα＋1＝3，∴tanα＝1，1－tanα2lg(8sinα＋6cosα)－lg(4sinα－cosα)＝lg8sinα＋6cosα8tanα＋6＝1.＝lg＝lg104sinα－cosα4tanα－114．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则以下命题中正确的选项是________．1①若△ABC的最小内角为α，则cosα≥；2②若AsinB>BsinA，则B>A；③存在某钝角△ABC，知足tanA＋tanB＋tanC>0；④若→→→π2aBC＋bCA＋cAB＝0，则△ABC的最小角小于6.答案①④分析π1对①，由于△ABC最小内角为α，所以0<α≤，cosα≥，故①正确；对②，结构函数32sinxxcosx－sinxπsinxF(x)＝x，求导得：F′(x)＝x2，当x∈(0，2)时，tanx>x，即cosx>x，则xcosx－sinx<0，所以F′(x)＝xcosx－sinx<0，即F(x)＝sinxπsinBsinA2x在(0，)上单一递减，由②AsinB>BsinA，得B>，x2A即F(B)>F(A)，所以B<A，故②不正确；对③，由于tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，则在钝角△ABC中，不如设A为钝角，有tanA<0，tanB>0，tanC>0，故tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC<0，故③不正确；对④，由→→→→→→→2aBC＋bCA＋cAB＝2aBC＋bCA＋c(AC＋CB)＝(2a→→→→→→－c)BC＋(b－c)CA＝0，即(2a－c)BC＝(c－b)CA，而BC，CA不共线，则2a－c＝0，b－c＝0，解得c＝2a，b＝2a，则a是最小的边，故A是最小的角，依据余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc＝4a2＋4a2－a2732×2a×2a＝>，故④正确，故①④正确．82cosA＝cosB＝cosC＝1，则称△A′B′C′是△ABC的一15．已知△ABC，若存在△A′B′C′，知足sinA′sinB′sinC′个“友善”三角形．若等腰△ABC存在“友善”三角形，则其底角的弧度数为________．3π答案8π分析不如设角A为顶角，则由题意得A≠，2πππ且A′＝2±A，B′＝2±B，C′＝2±C，所以有A′＋B′＋C′＝3πππ3π2±A±B±C?±A±B±C＝，逐个考证得：A＝，B＝C＝知足．24816．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω>0)的部分图象如下图，以下结论：①最小正周期为π；π②将f(x)的图象向左平移个单位，所获得的函数是偶函数；6f(0)＝1；12π14π④f(11)<f(13)；5π⑤f(x)＝－f(－x)，此中正确的选项是______．3答案①④⑤分析由图可知，A＝2，T＝7πππ12－＝?T＝π434ω＝2，所以①正确．7π3π，2×＋φ＝2kπ＋122πφ＝2kπ＋，k∈Z.3ππ令k＝0，得φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)，33πππ2πf(x＋)＝2sin(2x＋＋)＝2sin(2x＋3)，633所以②不正确．f(0)＝3，所以③不正确．πππkπ令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，3212213π∴f(x)的图象对于直线x＝12对称，且f(13π13ππ12)＝2sin(＋)＝2，6312π13ππ13π14ππ由于11－12＝12×11>12－13＝13×12，所以f(12π14π11)<f(13)