2020版高考数学一轮复习课后限时集训62不等式证明与应用文(含解析)北师大版

课后限时集训(六十二)(建议用时：60分钟)A组基础达标111．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：1＋x·1＋y≥9.[证明]因为x＞0，y＞0，1因此1＝x＋y≥2xy.因此xy≤4.11111x＋y12因此1＋x1＋y＝1＋x＋y＋xy＝1＋xy＋xy＝1＋xy≥1＋8＝9.1当且仅当x＝y＝时，等号建立．sinα2．已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤1－cosα.sinαsinα[证明]2sin2α－1－cosα＝4sinαcosα－1－cosα＝sinαα－4cos2α－sinαα－21－cosα＝－1－cosα，因为α∈(0，π)，因此sinα＞0,1－cosα＞0，又(2cosα－1)2≥0，sinαsinα因此2sin2α－1－cosα≤0，因此2sin2α≤1－cosα.3．若>0，>0，且1＋1＝.ababab求a3＋b3的最小值；能否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明原因．[解](1)由112a＝b＝2时等号建立．ab＝＋≥，得ab≥2，当且仅当abab故a3＋b3≥2a3b3≥42，当且仅当a＝b＝2时等号建立．因此a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.因为43>6，进而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解]由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.-1-∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥499，a－1b＋2当且仅当2＝2＝c－3时等号建立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是49.9B组能力提高1．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若，q，r是正实数，且知足＋＋＝a，求证：2＋2＋r2≥3.ppqrpq[解](1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号建立，因此f(x)的最小值等于3，即a＝3.证明：由(1)知p＋q＋r＝3，因为p2＋q2≥2pq，q2＋r2≥2qr，p2＋r2≥2pr，因此2(p2q2＋r2)≥2pq＋2qr＋2pr，因此3(p2＋q2＋r2)≥(p＋q＋r)2＝9，则p2＋q2＋r2≥3.2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．x1x22求＋＋的最小值；abx1x2求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解](1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，x1x22因此＋＋≥3·abx1x2

3x1x223232＝3×3a·b·＝3·≥3·a＋b8＝6，当且仅x1x2ab22x1＝x22且a＝，即a1x1＝x1x22有最小值6.abxxbbxabxx2211证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：1221＝[(1)2＋(22]·[(2212≥(1·2＋(ax＋bx)(ax＋bx)axbx)ax)＋(bx)]axax2＝(ax1x2＋b2ax1bx2bx2·bx1)x1x2)＝x1x2，当且仅当＝，即x1＝x2时获得等号．ax2bx1因此(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，因此(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)2222＝ax1x2＋abx2＋abx1＋bx1x2-2-2222＝x1x2(a＋b)＋ab(x2＋x1)x1x2(a2＋b2)＋ab(2x