优选教案：高中数学人教B版 必修 第一册 集合的基本运算

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算集合的基本运算包括两个集合的交集、并集、补集。集合的基本运算比较能考察学生的核心素养，也是集合章节的重难点，本课时内容较抽象，需要结合数轴、维恩图等，在与子集、真子集、空集考察时学生会感到混淆和难以下手，教师要进行认真梳理分析。值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算．【教学目标】1、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。3、能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用【核心素养】数学抽象：集合的描述具有空间图形，结合集合的基本运算进行考核。逻辑推理:集合的基本运算。数学建模:通过生活的例子，建立相应地补集模型。直观想象:对交集、并集、全集、补集的描述建立Venn图、数轴。数学运算:对给出的两个或两个以上集合能写出其交集、并集、补集。数据分析:对给出对应集合的元素进行分析，求其交集、并集、补集。【教学重点】交集、并集、全集、补集的概念。集合的基本运算性质。【教学难点】结合函数、图形、数轴等进行考察，需要学生具有扎实的数学基础。对补集的描述建立维恩图，能正确辨析补集。教师对前面两节内容进行课前复习，让学生先弄懂弄通集合里的数字、符号指的是什么，形象教授子集、真子集的概念，把易混淆的知识点举例出来，集合是一个联系的有机整体，学生彻底掌握前面两节知识才好讲授这一章节。一、交集【课前导读】学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：（1）中考的物理成绩不低于80分；（2）中考的数学成绩不低于70分。如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？【自主思考】谈谈你对交集的理解与认识。★教师可以提问学生，交集是一个集合还是元素，还是其他东西，可以多举生活的例子来加深学生对交集的理解。【新课讲授】可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M.一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.两个集合的交集可用图1所示的阴影部分形象地表示.因此，上述新课导入中的问题中的集合满足P∩M=S.例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为|y=0}∩|x=0}=从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算。交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∩B=B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A=∅；4）如果A⊆B，则A∩B=A，反之也成立.【思考与讨论】如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？【典型例题】例1求下列每对集合的交集：（1）A={1，-3}，B={-1，-3}；（2）C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8}；（3）E=（1，3]，F=[-2，2）.解：（1）因为A和B的公共元素只有一3，所以A∩B={-3}因为C和D没有公共元素，所以C∩D=∅.（3）在数轴上表示出区间E和F，如下图所示，如图可知E∩F=（1，2）.例2已知A={x|x是菱形}，B={x|x是矩形}，求A∩B.解：A∩B={x|x是菱形}{x|x是矩形}={x|x是正方形}.我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解.例如，平面直角坐标系中的点（x，y）在第一象限的条件是：横坐标大于0且纵坐标大于0，用集合的语言可以表示为{|x>0}∩|y>0}={|x>0，y>0}，也就是说，为了保证点（x，y）在第一象限，条件横坐标大于0与纵坐标大于0要同时成立。二、并集【课前导读】某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？【新课讲授】可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N.一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表示.由A，B构造出A∪B，通常称为并集运算。因此，上述情境与问题中的集合满足M∪N=P.例如，{1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6}.注意，同时属于A和B的元素，在A∪B中只能出现一次。【尝试与发现】类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：A∪B=；A∪A=；（3）A∪∅=∅∪A=；（4）如果A⊆B，则A∪B=，反之也成立.【典型例题】例3已知区间A=（-3，1），B=[-2，3]，求A∩B，A∪B.解：在数轴上表示出A和B，如图所示。由图可知A∩B=，A∪B=我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解.例如，x≥0的含义是x>0或x=0，这可以用集合语言表示为{x|x≥0}={x|x>0或x=0）={x|x>0}∪{x|x=0}，也就是说，为了保证x≥0，条件x>0与x=0只要有一个成立即可。【探索与研究】（1）设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card（∅）=0.已知A={x|x是外语兴趣小组的成员}，B={x|x是数学兴趣小组的成员}，且card（A）=20，card（B）=8，card（A∩B）=4，你能求出card（A∪B）吗？（2）设A，B为两个有限集，讨论card（A），card（B），card（A∩B），card（A∪B）之间的关系.补集【课前导读】如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：（1）这三个集合之间有什么联系？（2）如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？【新课讲授】可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果x∈S且x∉M，则一定有x∈F.在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”.由全集U及其子集A得到UA，通常称为补集运算.集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，如右图所示.因此，上述情境与问题中的集合满足sF=M，sM=F.例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则UA={2，4，6}.注意，此时UA仍是U的一个子集，因此U（UA）也是有意义的，此例中的U（UA）={1，3，5}=A.事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：A∪（UA）=U；A∩（UA）=∅；U（UA）=A.【思考与讨论】补集的性质是否可以借助维恩图来直观理解？【典型例题】例4已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x²≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}，求UA，UB，（UA）∪（UB），U（A∩B）.分析注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集。解：不难看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B=（1，2，3}.因此UA={3，4，5，6，7}，UB={0，4，5，6，7}，（UA）∪（UB）={0，3，4，5，6，7}，U（A∩B）={0，3，4，5，6，7}.例5已知A=（-1，+oo），B=（-oo，2]，求RA，RB.解：在数轴上表示出A和B，如图所示.由图可知RA=RB=【探索与研究】给定三个集合A，B，C，式子（A∪B）∩C的意义是什么？（A∩C）∪（B∩C）呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究（A∩B）∪C和（A∪C）∩（B∪C）