线性系统的状态空间描述邱

1.1控制理论的发展历史1945年开始形成的1765年俄国机械师波尔祖诺夫发明了蒸汽机锅炉水位调节器1784年英国人瓦特(Watt)发明了蒸汽机离心式调速器1877年劳斯(Routh)和赫尔维茨(Hurwitz)提出判定系统稳定的代数判据19世纪前半叶，生产中开始使用发电机和电动机

19世纪末到20世纪前半叶，内燃机的使用二次世界大战中，搭起了经典控制理论的框架，战后这些理论被公开，并应用于一般的工业生产过程中1当前1页，总共121页。经典控制理论（20世纪40—60年代）

1932年奈奎斯特(Nyquist)的《再生理论》一文，开辟了频域法的新途径；1945年伯德(Bode)的《网络分析和反馈放大器设计》一文，奠定了经典控制理论的理论基础，在西方开始形成了自动控制学科；1947年美国出版了第一本自动控制教材《伺服机件原理》；1948年美国麻省理工学院出版了另一本《伺服机件原理》教材，建立了现在广泛使用的频域法；1948年维纳(Wiener)在他的名著《控制论：或关于在动物和机器中控制和通信的科学》中基于信息的观点给控制论(Cybernetics)下了一个广义的定义。而在控制工程中又称为控制理论(ControlTheory)。20世纪50年代是经典控制理论发展和成熟的时期。2当前2页，总共121页。经典控制理论的特点：1）把系统当作“黑箱”，不反映黑箱内系统内部结构和内部变量，只反映外部变量，即输入输出间的因果关系；2）传递函数为基础，研究系统外部特性，属于外部描述，不完全描述；3）主要采用频域法，建立在根轨迹和奈奎斯特判据等基础之上的；4）局限性：局限于线性定常系统，不适合非线性和时变系统是分析方法而不是最佳的综合方法，以试凑法为主，满足性能指标为目的，无法设计出最优的系统，仅针对某个性能指标，设计方案多样局限于单输入单输出系统（SISO系统）无法考虑系统的初始条件（传递函数的定义）只能研究确定性的系统，不适合随机系统当前3页，总共121页。现代控制理论的产生和发展在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出现了对多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决需求。越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任，于50年代末60年代初出现了现代控制理论，是建立在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。当前4页，总共121页。现代控制理论（20世纪60年代中期成熟）20世纪50年代末60年代初，空间技术开始发展，前苏联和美国都竞相进行了大量研究。1960年在美国自动控制联合会第一届年会上首次提出“现代控制理论”这个名词。在状态空间法发展初期，具有重要意义的是庞特里亚金（Pontryagin）的极大值原理。贝尔曼（Bellman）的动态规划理论和卡尔曼（Kalman）的最佳滤波理论，有人把它们作为现代控制理论的起点，主要研究系统辨识、最优控制、最佳滤波及自适应控制等内容。5当前5页，总共121页。20世纪70年代后期，控制理论向广度和深度发展的结果。大系统理论和智能控制理论大系统是指规模庞大、结构复杂、变量众多的信息与控制系统，它涉及生产过程、交通运输、计划管理、环境保护、空间技术等多方面的控制和信息处理问题。智能控制则研究模糊控制、神经网络、遗传算法等某些具有仿生智能的工程控制与信息处理系统。20世纪80年代以后，又相继提出了鲁棒控制系统、容错控制系统、复杂适应系统等一些概念。6当前6页，总共121页。

现代控制理论与经典控制理论的差异经典控制理论现代控制理论

研究对象单输入单输出系统(SISO):高阶微分方程

多输入多输出系统(MIMO):一阶微分方程

研究方法传递函数法(外部描述)

状态空间法(内部描述)

研究工具拉普拉斯变换

线性代数，矩阵理论分析方法频域(复域),频率响应和根轨迹法

复域、实域，可控和可观测

设计方法PID控制和校正网络

状态反馈和输出反馈

其他

频率法的物理意义直观、实用，难于实现最优控制

易于实现实时控制和最优控制当前7页，总共121页。1.2控制理论的性质控制理论有两个目标：了解基本控制原理；以数学表达它们，使它们最终能用以计算进人系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。自动控制领域中有两个不同的但又相互联系的主题。第一个主题是反馈的概念。第二个主题是最优控制的概念。反馈概括了很广泛的概念，包括当前系统中的多回路、非线性和自适直反馈，以及将来的智能反馈。当前8页，总共121页。1.3控制理论的应用控制系统之所以能得到如此普遍的应用，1、现代仪表化(完备的传感器和执行机构)与便宜的电子硬件，2、控制理论有处理其模型和输出信号所具有的不确定性动态系统的能力。在控制理论中已完善的各种方法愈来愈得到普遍应用的同时，先进的理论概念的应用却仍集中在像空间工程那样的高技术方面。当然，由于计算机技术的飞速发展和世界性的激烈的工业竞争，这种情况将会改变。钢铁行业中热轧厂是最早成功地采用计算机控制的工厂。控制概念得到主要应用的一个领域是石油化工生产过程。当前9页，总共121页。1.4控制一个动态系统的几个基本步骤简单地说，控制一个动态系统有下列四个基本步骤：建模基于物理规律建立数学模型；系统辨识基于输入输出实测数据建立数学模型；信号处理用滤波、预报、状态估计等方法处理输出；综合控制输入用各种控制规律综合输入。1．建模为一个系统选择一个数学模型是控制工程中最重要的工作。2．系统辨识系统辨识可以定义为用在一个动态系统上观察到的输入与输出数据来确定它的模型的过程。当前10页，总共121页。当前系统辨识方面的研究集中在下列诸基本问题上：辨识问题的可解性和问题提出的恰当性、对各类模型的参数估计方法。信号处理是控制理论外面的独立的一门学科，但这两学科之问有许多重叠之处，而控制界曾对信号处理作出了重要贡献，特别是在滤波和平滑的领域。3．信号处理4．控制的综合这些过程的复杂性导致了各种控制研究课题，主要有：鲁棒控制理论适应控制一多变量控制非线性控制理论分布参数控制其它控制当前11页，总共121页。第二章线性系统的状态空间描述12当前12页，总共121页。本章主要内容2.1状态空间分析法2.2状态结构图2.3状态空间描述的建立2.4化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式2.5由状态空间求传递函数2.6离散时间系统的状态空间描述2.7状态矢量的线性变换13当前13页，总共121页。系统描述中常用的基本概念

系统的外部描述传递函数系统的内部描述状态空间描述由外部描述求其内部描述

系统实现14当前14页，总共121页。1、外部描述

经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数设计SISO系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。15当前15页，总共121页。2、内部描述

由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、MIMO系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态空间分析法。16当前16页，总共121页。为什么采用状态空间描述（内部描述）？观察：在经典控制理论中，对一个不稳定系统（在S右半平面有一个极点）为使系统稳定，加一个补偿环节总传递函数为：结果稳定吗？17当前17页，总共121页。∫∫uy建立模拟计算机仿真图写出状态空间表达式求解状态方程：18当前18页，总共121页。从内部看：由于包含了不稳定从外部看：总传递函数为：稳定

差异的原因？若初始条件为零：则：传递函数的定义：在零初始条件下，输出的拉氏变化与输入的拉氏变化之比能否始终保持零初始条件事实上：精确依赖零极点对消元件性能的差异初始条件不为零导致不稳定19当前19页，总共121页。2.1状态空间分析法状态空间分析法例子状态变量和状态矢量状态空间和状态空间描述20当前20页，总共121页。一、状态空间分析法例子1、R-L-C电网络系统解：以作为中间变量，列写该回路的微分方程

选21当前21页，总共121页。

为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵方程：

22当前22页，总共121页。一、状态空间分析法例子2、机械系统的状态空间描述外力

位移根据牛顿力学原理令---弹性系数阻尼系数23当前23页，总共121页。动态方程如下24当前24页，总共121页。状态空间描述为：

25当前25页，总共121页。二、状态变量和状态矢量状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在t<t0时的全部输入信息。状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。完全描述：如果给定了t=t0时刻这组变量值，和t>=t0时输入的时间函数，那么，系统在t>=t0的任何瞬间的行为就完全确定了。最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方程描述的含有n个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。26当前26页，总共121页。

状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。27当前27页，总共121页。状态矢量：把这几个状态变量看成是矢量的分量，则称为状态矢量。记作：或：28当前28页，总共121页。状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻t，状态向量是状态空间的一个点。状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。三、状态空间和状态空间描述29当前29页，总共121页。状态空间描述

用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。状态空间描述是状态方程、输出方程的组合：（1）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。（2）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。由于n阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描述也具有非唯一性。

30当前30页，总共121页。

在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量为，则一般形式的状态空间描述写作：(1-8)

(1-9)式中常系数；与系统特性有关。

SISO线性定常系统的状态空间描述：31当前31页，总共121页。方程（1-8）、（1-9）可写成矩阵形式：

输入矩阵，n×1列矩阵。式中：

n维状态矢量系统矩阵，n×n矩阵。

：输出矩阵，1×n行矩阵），d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。

32当前32页，总共121页。MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出）的状态空间描述状态空间描述为：33当前33页，总共121页。写成矩阵形式有：其中：34当前34页，总共121页。35当前35页，总共121页。常用符号：[系统框图]：系统框图：注:负反馈时为－注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器比例器加法器36当前36页，总共121页。线性时变系统状态空间描述：其中：37当前37页，总共121页。38当前38页，总共121页。1.2状态结构图状态空间描述的结构图绘制步骤：⑴画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；⑶用箭头将这些元件连接起来。39当前39页，总共121页。例1-1画出一阶微分方程的状态结构图。状态结构图微分方程：40当前40页，总共121页。系统系统41当前41页，总共121页。1.3状态空间描述的建立建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立2、由系统物理或化学机理进行推导3、由微分方程或传递函数演化而得42当前42页，总共121页。一、由系统框图建立状态空间描述［例1-4］：系统框图如下：［关键］：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换等效变换如下：43当前43页，总共121页。图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：则有：写成矩阵形式：44当前44页，总共121页。系统45当前45页，总共121页。二、由系统机理建立状态空间描述步骤：1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；2)选择有关的物理量作为状态变量；3)导出状态空间表达式。46当前46页，总共121页。状态变量的选取原则系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）47当前47页，总共121页。电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。[例1-6]图L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)选择状态变量两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。48当前48页，总共121页。2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：整理得：49当前49页，总共121页。3）状态空间表达式为：50当前50页，总共121页。[例1-7]试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的状态空间描述。[解]：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：质量块受力图如下：51当前51页，总共121页。则有：及：将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得：输出方程：状态方程：52当前52页，总共121页。写成矩阵形式：53当前53页，总共121页。1.4化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式

对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为最小实现。本节先研究SISO系统。54当前54页，总共121页。线性定常系统的状态空间表达式为n阶SISO控制系统的时域模型为：可实现的条件：m≤n系统的传递函数为：55当前55页，总共121页。当系统传递函数中m=n时，即应用长除法有56当前56页，总共121页。式中是直接联系输入、输出量的前馈系数，是严格有理真分式，其系数用综合除法得其状态空间描述为(1-44)(1-45)式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项57当前57页，总共121页。微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：一、传递函数中没有零点时的实现系统的传递函数为：58当前58页，总共121页。1.）选择状态变量若给定初始条件则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：

令:1、标准I型59当前59页，总共121页。2.）化为向量矩阵形式：状态方程为:

输出方程为:60当前60页，总共121页。注：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。3.）画系统结构图：

61当前61页，总共121页。2、标准II型1.）选择状态变量若给定初始条件则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：

令:62当前62页，总共121页。2.）化为向量矩阵形式：状态方程为:

输出方程为:63当前63页，总共121页。注：标准I型的A、b阵和标准II型的A、c阵互为转置的关系，即：64当前64页，总共121页。二、传递函数中有零点时的实现不失一般性，微分方程形式：状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。65当前65页，总共121页。设系统传递函数为：应用长除法有1、标准I型其中：66当前66页，总共121页。（1）能控I型引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项的微分方程，即(1-17)67当前67页，总共121页。定义如下一组状态变量(1-18)可得状态方程：68当前68页，总共121页。输出方程为其向量-矩阵形式为式中69当前69页，总共121页。（2）能观测I型1.）选择状态变量式中系数是待定系数.整理(2)式得:由结构图可以看出:70当前70页，总共121页。联立(3)式和(4)式，即可求得状态空间表达式为：输出方程:状态方程:从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了2.）求思路:由式(2)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式，并代入原始微分方程式(1)中，根据u及其各阶导数的系数相等的原则求解：A仍然是友矩阵71当前71页，总共121页。由式(2)可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：令由式(5)和式(6)可求得：(7)72当前72页，总共121页。将式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：为便于记忆，将上式写成：73当前73页，总共121页。2、标准II型与标准I型相同，标准II型也分为能控II型和能观II型。能观II型与能控I型互为对偶。能控II型与能观I型互为对偶。74当前74页，总共121页。3、约当标准型不失一般性，讨论此系统：也有一个q重极点：分析：既有互异极点：实现方法：整理得75当前75页，总共121页。（1）对于互异极点部分：令拉氏反变换可得：系数为待定系数，其中，采用留数定理计算：76当前76页，总共121页。（2）对于重极点部分：令则：联立上两式得：拉氏反变换可得：联立(1)、(2)、(4)可得：77当前77页，总共121页。由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：78当前78页，总共121页。xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+++++∫-λ1∫-λq+1∫-λn∫-λ1∫-λ1

c11

c12c1qcq+1cn约当标准型状态结构图…79当前79页，总共121页。1.5由状态空间求传递函数传递函数矩阵的引入：1）SISO系统，用传递函数G(s)描述，W(s)是一个元素；2）MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵W(s)，W(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；80当前80页，总共121页。状态空间描述：一、求传递函数矩阵根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令，得式：整理上式得：81当前81页，总共121页。注意矩阵求逆定义传递函数矩阵：[说明]：1）dim(W(s))=m×r，其中dim(·)表示·的维数。m是输出维数，r是输入维数。2）W(s)的每个元素的含义：表示第i个输出中，由第j个输入变量所引起的输出和第j个输入变量间的传递关系。3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。注意矩阵求逆定义传递函数矩阵：82当前82页，总共121页。[例1]求由所表述系统的W(s)[解]：根据矩阵求逆公式：由传递函数矩阵公式得：83当前83页，总共121页。求得：求得传递函数阵为：84当前84页，总共121页。1.6离散时间系统的状态空间描述

完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化；为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。85当前85页，总共121页。1、由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为：式中表示时刻，为采样周期；为时刻的输出量，

为时刻的输入量；是与系统特性有关的常系数。(1)86当前86页，总共121页。对式(1)进行变换，整理为

称为脉冲传递函数。显见式(2)与式(1-43)在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的。例如，引入中间变量，则有(2)(3)初始条件为零时，离散函数的变换关系为87当前87页，总共121页。定义如下一组状态变量：于是(4)(5)(6)88当前88页，总共121页。利用反变换关系由式(4)～式(6)可得动态方程(8)(7)89当前89页，总共121页。其矢量-矩阵形式为90当前90页，总共121页。简记为

式中为友矩阵，，是可控标准形。由式(1-43)可见，离散系统状态方程描述了时刻的状态与时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了时刻的输出量与时刻的状态、输入量之间的关系。

(1-43)91当前91页，总共121页。线性定常离散系统的一般结构图如图1-26所示，图中T为单位延迟器，其输入为时刻的状态，其输出为延迟一个采样周期的时刻的状态。(9)与连续系统的情况相类似，单输入-单输出线性定常离散系统的动态方程的形式可推广到多输入-多输出系统，有92当前92页，总共121页。例1-10离散系统的差分方程为试写出该离散系统的一个状态空间描述。解由差分方程写出相应的脉冲传递函数：于是直接写出它的一个状态空间描述（标准I型）为这里

，

，

，

，

93当前93页，总共121页。含义：如果P是一个非奇异阵，则将变换称为线性非奇异变换。1.7状态矢量的线性变换线性非奇异变换：特点：叠加原理齐次性条件用途：通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线或约当标准型。94当前94页，总共121页。一、系统状态方程的非唯一性含义：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换互相得到。两组状态变量的关系：其中：P不同则得到不同的。95当前95页，总共121页。[例1-12]：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统为：非奇异变换后1）若选择非奇异变换阵P为：结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性2）若选择非奇异变换阵P为：对角线矩阵96当前96页，总共121页。对于系统矩阵A，若存在一非零向量，使得：二、系统特征值的不变性和特征矢量则：矩阵A的特征值（A特征方程的根）矩阵A的特征方程矩阵A的特征矩阵矩阵A对应于特征值的特征矢量矩阵A的特征多项式使，则称为A的对应于的特征矢量.设为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量，由定义可知：97当前97页，总共121页。1）一个n维系统的方阵A，有且仅有n个独立的特征值。特征值及传递函数阵的性质：3）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。2）A为实数方阵，则其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。系统2:特征多项式，传递函数阵系统1:特征多项式，传递函数阵则：且其中：98当前98页，总共121页。5）若系统矩阵A具有形式：则其特征多项式为：特征方程为：4）设为系统矩阵A的特征值,是A属于特征值的特征矢量。当两两相异时，线性无关，因此由这些特征矢量组成的矩阵P必是非奇异的。99当前99页，总共121页。特征矢量的计算：1）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征矢量。注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为100当前100页，总共121页。

时特征矢量：

时特征矢量：[例1-13]：求下列矩阵A的特征矢量。[解]：1)计算特征值

A的特征方程为：A的特征值：,，2）计算特征矢量

时特征矢量：101当前101页，总共121页。三、状态空间描述变换为约当标准型1、A阵为任意形式（1）特征值无重根时状态方程化为对角线标准型的步骤：1）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征矢量。并由此组成非奇异变换阵T。3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出，其中对角阵可以由特征值直接写出，只需求出即可。102当前102页，总共121页。定理1：对于线性定常系统，如果A特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵T，通过变换，将原状态方程化为对角线规范形式。其中：证明：1）找非奇异变换阵由特征值性质4)知，由A特征矢量构成的矩阵是非奇异的，故可以选择T为变换阵。103当前103页，总共121页。2）求上式两端左乘得：证毕！特征值定义104当前104页，总共121页。[例]

线性定常系统，其中：将此状态方程化为对角线标准型.当时，2)确定非奇异矩阵P[解]:1)求其特征值:105当前105页，总共121页。取:当时，取:同理当时，得:106当前106页，总共121页。3）求对角线标准型为：107当前107页，总共121页。（2）特征值有重根时1）、具有重特征根，但A独立的特征矢量的个数仍然为n个：由线性代数矩阵的对角化可知，此时，仍能变换成对角线标准型。2）、具有重特征根，且A独立的特征矢量的个数小于n个：这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成P变换阵注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为108当前108页，总共121页。3）、约当矩阵定义：约当块：约当矩阵：由约当块组成的准对角线矩阵。其中：是约当块块数，等于独立特征矢量的个数。即每个约当块有且仅有一个线性独立的特征矢量。说明：由此可以看出，对角阵是一种特殊形式的约当矩阵。109当前109页，总共121页。说明：对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。约当型矩阵：