钢结构稳定理论三

第四章压弯构件的弯曲屈曲什么是压弯构件(beam-column)除轴向力外，有横向荷载作用；除轴向力外，有端弯矩作用；偏心轴压；刚架结构中的梁和柱基本都属于压弯构件；本章主要研究的问题压弯构件弹性稳定分析；横向荷载的影响规律；压弯构件的弹塑性极值点失稳问题；平面内M与N的相关公式；压弯构件的荷载-挠度曲线Py-屈服荷载；PE,a-欧拉临界力，小挠度理论；e-一阶弹性分析；d-一阶刚塑性分析；Pp-形成塑性铰时的承载力；b-二阶弹性分析；oAB-二阶弹塑性分析；f，f’-侧向约束不足时发生的弹性、弹塑性弯扭失稳；§4-1有横向荷载作用的压杆的弹性弯曲变形和稳定临界力横向荷载集中荷载均布荷载1）横向集中荷载作用的压弯构件当0＜x≤l/2时，平衡方程为：即：所以方程的通解为：边界条件为：y(0)=0,y’(l/2)=0利用上述条件可得：则变形曲线的通解为(0＜x≤l/2)：当l/2＜x≤l时，与此对称。当x＝l/2时，跨中挠度最大，为：令u＝kl/2，并把系数中的k代入，得到：其中：y0=Ql3/(48EI)——跨中集中荷载作用时简支梁的最大挠度；

3(tgu-u)/u3——有轴向压力时的最大挠度放大系数。把tgu用幂级数展开：注意到：则跨中最大位移可以表示为：为最大挠度放大系数。说明有轴力P作用后，跨中挠度将有所增大。2）横向均布荷载作用的压弯构件在此采用瑞利－里兹法求解。压杆应变能：外力势能：qdxy总势能：设变形曲线为：（（仅取一项，其其中δ为跨中最大挠度））则则总势能为：令总势能一阶变分分为0，得得跨跨中最大挠度：轴力P作用时的放大系数数3）结果分析两端铰支受轴心压压力的杆件，作用用在其上的横向荷荷载若为对称布置置，则此压弯构件件的弯曲变形由两两部分组成：一部分为不考虑轴轴心力的弯曲变形形；二为放大系数数与上一章讲的初弯弯曲、初偏心的影影响相类似，δ0相当于初弯曲和初偏心的影响。弹性分析时，当δ→∞时，P=PE，即压弯杆件的弹性承承载力为PE。下下面给出证明：：本节为简支的压弯弯构件，其它边界界条件时，求解方方法类似，结论类类似。§4-2压弯构件的弯矩放放大系数和承载力力验算1）跨中弯矩横向集中荷载作用用时，跨中最大弯弯矩为：弯矩放大系数横向荷载产生的弯弯矩横向均布荷载作用用时，跨中最大弯弯矩为：弯矩放大系数横向荷载产生的弯弯矩可见由于轴向力的的作用，跨中不但但挠度增大，弯矩矩也有所增大。这这里作用效应的增增加称为杆件的二阶效应，即P－δ效应。当横向荷载不同时时，弯矩的放大系系数也有所不同。。2）弹性压弯构件平平面内弯曲承载力力验算以简支轴压杆，有有横向均布荷载作作用为例当达到杆件边缘纤纤维屈服时：采用相关方程的形形式：相关方程曲线为：：MN弹性弹塑性钢结构设计规范中中压弯构件稳定验验算公式就是由上上式而来，只不过过规范公式同时还还考虑了其它边界界条件、荷载形式式和初始缺陷等因因素的影响。§4-3考虑弹塑性影响的的压弯构件整体稳稳定验算1）弹塑性压弯构件件的工作性能随着位移的增大，，杆件受力最大截截面一定会进入弹弹塑性阶段。本节所要解决的问问题就是求解考虑虑弹塑性时的P－δ曲线。2）几个基本概念Rdθdxyy点处伸长量为ydθ取出微元dx，有几何关系即曲率为单位长度度上的转角截面上任一点应变变为：中和轴以外为拉，，以内为压3）数值积分法（压压杆挠曲线法）具有初弯曲的压弯弯构件，假设条件件最少，可适用于于任意情况。截面上内弯矩：拉＋，压－有正负具体求解过程如下下：将压杆沿长度分成成n段；给定压力P；假定A端由外荷载产生的的转角为θa，由A→B逐段计算；计算第一段中点(1/2)处的曲率ρ1/2，过程如下：将截面分成m块小单元；假定形心处和和截截面曲率求解各小块中心点点的应变由判断截面上的轴力力是是否满足？否则调整重重复3)~5)过程。判断截面上的弯矩矩是否等于其它外荷载引起由P引起y1/2的由来：（挠曲线用泰勒勒级数展开，x点位移、转角已知知，求x＋δ点的位移）如果1/2点处的内外弯矩相相等不能满足，调调整重重复3)~6)。计算第一段末的位位移、转角：对上式求δ1的一阶导数转入对下一段计算算，重复第4步2)~第5步，直到最后一段段。根据最后一段末的的边界条件(vB=0)是否满足，否则调调整θA重复第4步~第7步。完成第1步~第7步后，则得到P－v曲线图中的一点。。给定下一级P（压力），重复第第3步～第8步，可得P－v曲线。若到达某一级荷载载时，第7步的调整不能完成成，即达到了弯曲曲失稳的极限承载载力。为了得到P－v曲线的下降段，可可以改用给定θA，调整P的办法，完成第4步～第7步。（位移加载方式））Pv4）简化计算方法（（耶硕克Jezek法）基本假定：a、材料理想弹塑性性。b、杆件两端简支，，构件变形曲线为为正弦半波曲线，，即：c、只考虑构件中央央截面的内外力平平衡。PPzyumPPzyum计算步骤：a、平衡方程：其中Mi为内弯矩，与杆件件轴向力P和曲率ρ有关：b、由基本假设第二二条得到：由横向荷载产生某点的挠度内弯矩c、由基本假设第三三条，平衡方程可可以表达为：d、P的最大值可由得得到，即为为弯矩作用平面内内的稳定承载力。。5）等效弯矩的概念念：考虑受不等端弯矩矩作用的压弯构件件平衡方程：通解为：利用边界条件：可得通解为：产生同号曲率，弯弯矩为正；产生异号曲率，弯弯矩为负；通过上述办法可以以求得各种端弯矩矩作用下杆件内部部截面上的最大弯弯矩。但这种方法法不适合于设计人人员使用。故提出出等效弯矩的概念念。等效弯矩Meq：将求出的两端弯弯矩不等的构件中中的最大弯矩，等等于两端弯矩相等等时的最大弯矩，，此两端相等的弯弯矩成为等效弯矩矩。等效弯矩系数：两两端相等的弯矩与与两端不等弯矩中中大值之比<1。通过等效弯矩以端弯矩相等的情况代替端弯矩不等的情况，以适用于于任何情况。PPM1M2M1M2MmaxM1M2MmaxPPMeqMeqMeqMeqMmax任意端弯矩作用的情况，无法法统一求解。端弯矩相等时，求解简单，通通过等效弯矩系数数，将各种情况统统一化。§4-4考虑有限变形的实实用方法1）基本假定：钢材理想弹塑性杆轴为正弦半波变变形曲线平截面假定有限小变形，(1/4h~1/8h)部分发展塑性用等效初始偏心考考虑缺陷的影响2）实用方法介绍考虑初偏心e0的杆，其相关方程程为：其中：NNMMe0考虑截面塑塑性发展(1/4h~1/8h)，用Mp=γxMs=γxW1xfy代替Ms，（γx为塑性发展展系数）），得到：：以下变换的的目的是把把初始偏心心e0代换掉。当M＝0时，相当于于有初偏心心e0的轴压杆，，设此时：：把上式代入入相关公式式得：把求得的e0回代入相关关公式得到到：即：考虑端弯矩矩不等和有有任意横向向荷载作用用的压弯构构件，对十十一种截面面形式，适适当考虑残残余应力的的影响，按按精确理论论计算，对对上式进行行修正，得得：βmx——各种情况的的等效弯矩矩系数。这个公式即即为我国钢钢结构规范范中压弯构构件稳定计计算的相关关公式。（1）悬臂构件件和在内力力分析中未未考虑二阶阶效应的无无支撑框架架和弱支撑撑框架柱，，βmx=1.0。（2）框架柱和和两端支承承的构件：：①无横向向荷载作用用时，βmx=0.65+0.35M2/M1，M1和M2是构件两端端的弯矩，，|M1|≥|M2|