2019-2020年(期末专题)九年级上《第24章圆》解答题培优试卷(有答案)-(新课标人教版数学)

【期末专题】第24章圆解答题培优试题1．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长；（2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点．2．如图，点ABCD在⊙O上，∠ABC＝∠BDC＝60°，BC＝3．（1）求△ABC的周长；（2）若OE⊥BD，OF⊥CD，连结EF，求EF的长．3．如图，△PAB内接于⊙O，?ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C＝∠APB，连结BD．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求与弦AP围成的暗影部分的面积．4．如图，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D（1）求证：CB是⊙O的切线；（2）若∠ACB＝80°，点P是⊙O上一个动点（不与D，E两点重合），求∠DPE的度数．5．如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程2﹣9+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．求：（1）⊙O的半径；（2）BE的长．6．如图，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC为直径的⊙O与边AB订交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）求点O到直线DE的距离．OABOAOBcmAOBO为圆心，半径为cm的优弧分别7．如图，△中，＝＝10，∠＝80°，以点6交OA，OB于点M，N．（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求AT的长．8．如图，∠BAC的均分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的均分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC外接圆的半径．9．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连结AO并延伸交BC于点D．（1）求证：∠ACB+∠BAD＝90°；（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求证：AC＝2DE．10．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，确立了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记录：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面表示图（如图②），此中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），经过运用相关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O的直径．11．如图，⊙O的直径AC与弦BD订交于点F，点E是DB延伸线上一点，∠EAB＝∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，AF＝4，CF＝2，求AE的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连结DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．13．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的均分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延伸线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的长．14．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延伸BO分别与⊙O、切线PA订交于C、Q两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．15．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的均分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延伸线于点P，连结AE．（1）求证：PC＝PD；（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求线段AE、CE的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连结DE并延伸，交BC的延伸线于点F．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）连结AF、DC，若BC＝3，写出求四边形AFCD面积的思路．参照答案1．（1）解：如图1．∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠P+∠ABP＝90°，∵∠ABP＝60°，∴∠P＝30°，又∵AB＝4，∴PB＝2AB＝2×4＝8．（2）证明：连结OC、AC，如图2，∵PA是⊙O的切线，CD是⊙O的切线，∴∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，∵OA＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴CD＝AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠P＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠P，∴CD＝DP，∴CD＝AD＝DP，∴D是AP的中点．2．解：（1）∵∠A＝∠D＝60°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∴△ABC的周长为9．（2）∵OE⊥BD，OF⊥CD，∴DE＝EB，DF＝FC，∴EF＝BC＝．3．解：（1）连结OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵OA＝OD，∴OB⊥AD，∴∠AOB＝90°，∵AD∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝90°，∴OB⊥BC，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线．（2）连结OP，作OE⊥AP于E，∵∠PAD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，∴PA＝OA＝OP，∠AOP＝60°，在?ABCD中，AD＝BC＝2，∴AP＝OA＝1，在Rt△OAE中，OE＝OA°＝，?sin60与弦

AP围成的暗影部分的面积为：

﹣×1×

＝﹣

．4．解：（1）如图1所示，连结OE，过O作OF⊥BC于F，∵CA与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∵△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，∴OC均分∠ACB，∴OE＝OF，又∵OE是⊙O的半径，∴CB是⊙O的切线；（2）如图2，∵∠ACB＝80°，OC均分∠ACB，∴∠ACO＝40°，又∵OE⊥AC，∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，当点P在优弧上时，∠DPE＝∠DOE＝°；25当点P在劣弧上时，∠DPE＝°﹣°＝°．18025155∴∠DPE的度数为25°或155°．5．解：（1）连结OB，解方程2﹣9+18＝0，得，1＝3，2＝6，由图形可知，AC＝3，AB＝6，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴OB＝AB＝3；（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，∴△AEC为等腰直角三角形，∴AE＝AC＝，∴BE＝＝．6．（1）证明：连结CD，∵BC是圆的直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，又∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）证明：连结OD，∵AD＝BD，OB＝OC，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，OD＝AC＝×6＝3，又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∴点O到直线DE的距离为3．7．（1）证明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°，∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP，即∠AOP＝∠BOP′（2分）在△AOP与△BOP′中，∴△AOP≌△BOP′，∴AP＝BP′．（2）∵AT与弧相切，连结OT．∴OT⊥AT，在Rt△AOT中，依据勾股定理得，AT＝，∵OA＝10，OT＝6∴AT＝8．8．（1）证明：∵AD均分∠BAC，BE均分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，．（1分）∴＝，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE，（2分）∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，（3分）∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；（4分）（2）解：连结CD，如下图：（5分）由（1）得：＝，∴CD＝BD＝5，（6分）∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝

＝5

，（7分）∴△ABC外接圆的半径：

r＝

×

＝

．（8分）9．（1）证明：延伸AD交⊙O于点F，连结BF．∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF＝90°，∴∠AFB+∠BAD＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAD＝90°．（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连结BO．∵∠AOB＝2∠ACB，∠ADC＝2∠ACB，∴∠AOB＝∠ADC，∴∠BOD＝∠BDO，∴BD＝BO，∴BD＝OA，∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，∴△BDE≌△AOH，∴DE＝AH，∵OH⊥AC，∴AH＝CH＝AC，∴AC＝2DE．10．解：连结OC，∵OB⊥CD垂足为A，∴CA＝CD＝5，设CO＝，则AO＝﹣1，在Rt△AOC中，∠CAO＝90°，222∴OACA＝OC，+∴（﹣1）2+52＝2，解得＝13，∴⊙O的直径为26寸．11．（1）证明：如图，连结CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，∴EA是⊙O的切线．（2）解：如图，连结BC．∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．∴∠CBA＝∠ABC＝90°．∵B是EF的中点，∴在Rt△EAF中，AB＝BF．∴∠BAC＝∠AFE∴△EAF∽△CBA，∴＝，∵AF＝4，CF＝2，∴AC＝6，EF＝2AB．∴＝，解得AB＝2，∴EF＝4，∴AE＝＝＝4．12．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB，又CO＝OE，∴OD∥BE，∴∠CEB＝∠DOC＝90°，∴CE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连结EF、ED，∵BD＝CD＝6，∴BF＝BD﹣DF＝4，∵CO＝OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE为⊙O的直径，∴∠EFC＝90°，∴EF＝＝4，∴BE＝＝4．13．（1）证明：连结OD，如图，∵∠BAC的均分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：作OF⊥AC于F，如图，则AF＝CF＝AC＝3，在Rt△OAF中，OF＝＝4，∵∠OFE＝∠FED＝∠EDO＝90°，∴四边形OFED为矩形，∴DE＝OF＝4．14．（1）证明：连结OA，在△OBP和△OAP中，，∴△OBP≌△OAP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线；（2）连结OC∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，设OA＝r，则r2+42＝（r+2）2，解得，r＝3，则OA＝3，BC＝6，设BP＝，则AP＝，∵PB是圆O的切线，∴∠PBQ＝90°，2+（6+2）2＝（+4）2，解得，＝6，BP＝6，BD＝3，∴QD＝，即QD的值是．15．（1）证明：如图1中，连结OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB＝90°，∴CE均分∠ACB，∴∠ECA＝∠ECB＝45°，∴＝，∴OE⊥AB，∴∠DOE＝90°，∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠PCD+∠OCE＝90°，∠ODE+∠OEC＝90°，∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD．（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．∵CE均分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH＝EF，∠EFA＝∠EHB＝90°，∵＝，∴AE＝BE，Rt△AEF≌Rt△BEH，AF＝BH，设AF＝BH＝，∵∠F＝∠FCH＝∠CHE＝90°，∴四边形CFEH是矩形，∵EH＝EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF＝CH，∴6+＝8﹣，∴＝1，∴CF＝FE＝7，∴EC＝CF＝7，A