圆锥曲线专题(定点、定值问题)

11x圆锥曲线专(定点、定值问题11x圆锥曲线题——定点定值问题定点问题是常的出题形式，化解这问题的关键就是引进变参数表示直线程、数量积、比例关等，根据等式恒成立、数式变换等找不受参数影响的量。线过定点问题法,是出直线方程，通过韦达定理和已条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。巧在于：设哪条直线？如何转化题目条件?圆曲线是一种很有趣的体,自身存在多性质,这性质往往成为出题老的参考。如果大家能够熟识这常见的结论，那么解必然会事半功倍。下面结圆锥曲线中种常见的几种定点模：模型一“手电筒型xy【题已椭：

若线l：kx与圆C相于A,B两点(A，B不是左右顶点且以AB为径的圆椭圆的右顶点.求证直线l

过定点,并出该定点的坐标。解设A((,y12

ykx，由得k322

2

x

2

m

2

0，k216(3，3k28mk4(23k))2x)211122

3(k3k

2

)以AB为直的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kADBDyyyx，1212113(mk)m16，323k23整理得

2

mk

2

，解得m,m12

2k7

，且满足3k

2

2

当m时l:(x，线定点(2,0),

与已知矛盾2当m时lx)7

,直过定点,0)综上可知，直l

过定点，定点标为(◆法结:本“弦定张直”一个例子:圆曲线如椭圆上任意一点做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,AB必定点(

(0a2

2)22

22

2

)

)

.◆型展：题还可拓展手筒”型只要任意一个定AP与BP条（如•k值APk值线AB依会过定点（因为三条直形似手电筒，名曰手电筒模)。AP此模型解题步：Step1:设AB直,联立曲线方程得根与系数关系求参数范围；Step2由AP与BP关系如•次函数kf()或者f(k)APBPStep3:将()或者mf(k)代，得y(xy。定定◆移练

;练1：抛物线M:

2

上点（1）作倾斜角互补直线PA与PB,交M于、B两，求证：直线AB过点.（注:本题论也适用于抛物线与双线）-1-

5512112221111圆锥曲线专(定点、定值问题5512112221111练2:过抛物线M:y2x的点任意作两条互相垂直的OA、OB，求证：直线AB过定点典例题，多种解法练3过

2

y

2

11上的点作动弦AB且k•k明BC恒过定点考答:))ABAC练：：A、B是轨迹:y2P上异于原点的个不同，直线和的斜角分别为

和

，

变化且

4

时证明直线AB恒定点，求出该定点的坐标答

）【答案】设A

x,y1

x,得,,又直线OA，OB的斜角满足221

，故

，以直线AB的斜率存在,否则，OA，OB直线的倾斜角之和为

从而设AB方程为kx，y2显然x2，2p将与y22px(P联立消去

，得022pb由韦达定理知y,kk

①由,得1＝442将①式代入上整理化简可得：b

tanpy)=1yp2，以bp，此时，直线AB的程可表示为kxp即xp)所以直线恒过定点p练习已知动圆过定点A（4,0)且在轴截的弦MN的为。(求动圆圆心的轨C的程；（Ⅱ）已知点B(-1）,设不垂直于轴的直线l角平分线，证直线l过定点。【答案】解（Ⅰ）（4,0设心

与轨迹C交于不的两点,Q，若x轴PBQ

的MN(,y),MN线段的中点为，由几图像知M,2

2

CM

2

ME

2

2y(点B(-1，0）,P(,(x),由题yy，yy0,yx8x。2111yy8(y)y(y)yy0直PQ方程：xxy12yyy1(x)y)xy2121(y)(y)xy11所以，直线PQ过定点（1,0)

()xx练6：已知点动，且满足PC|（1)求点P的迹C对应的方程；(2)已知点(m,2)在线上，过点A作曲线的两条弦和AE，AD,判：线是过定点？试证你的结论。【）设

P(,y代入PCBCPB(x

x,化简得

4.

(5分-2-

1211112AMDM12152圆锥曲线专(定点、定值问题1211112AMDM12152(2)将y24x得的标为(设直方程xmy代入yx,得ymtt设y),E,)则yyy，1111

2

t）xxy2)xx)y111222222)y2(y)444

(y)(y)1y2(y)16()2(4m))16

2(4m化简得t

2

2

即tt2即（t

4(2tmtm或t代入（*式验满直的方为xm(2)或(y直线D过定点(（定点满足题）练7：已知A(－1，0（1,－1）和抛物线。C:，O为坐标原点过A的直线l交抛物线于M、，直线MB交物线C于一点Q,如图。（I）明OM为值5（II)若△POM的面为,求量OM与OP的角；2（Ⅲ）证明直PQ恒过一个定.y2解：(I)设点M(1y),(2yP、、三点共线4y,即112yy21244y1即4y112OM244（II）设∠=α则|

SOM

5.由可得。又(0,

45OMO夹角45(Ⅲ设点Q(

y23

y),、、三点共，k3yyy即13,yyyyyy1314(yy)y2即yyy0.3134yy即yyy即4(y0.(*)233-3-

PQ01,23圆锥曲线专(定点、定值问题PQ01,2323,2yy2234y2直线Q是yy(x2yy3即(yy)()4x2y()y4222由＊式，yyy4,代上式得(yy4(x223由此可知直线PQ过定点E（1,－4）.模型二：点弦恒过定例：有如下论：“x

2

y

2

r

2

上一点,)处的切线方程为r0

”，类比也有y2论“圆a上一点()a

处的切线方程

xyy20”椭C：4

2

的右准线l上意一点M引椭圆C的条切线，切点为A、B。（1)求证直线AB恒过一定点；（2）点M在的纵坐标1时求△ABM的面积。【）设M

3xxt)(),(xx,),则的程14

y∵点M在MA上∴

33

xty①同可得1

33

x②由①②知AB的方程为

33

即3(1)易知右焦点F(3,0）满足③式故AB恒椭圆C的右焦点F（）（2）AB的程x3(1)代

24

化得7∴|1

36281677

4||又M到AB的距离1

23116∴的积SAB|221◆方点评：点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不直引用，可以用本题的书写步骤换之大家注意过程◆方总结什是切弦解步骤哪？-4-

1211110圆锥曲线专(定点、定值问题1211110练习已抛物线的顶点为原点点F的离为直线l上点过点作物线的条切线,PB,其中AB为点。（Ⅰ）求抛物线的方程；

322

.设为(当点P

yl上定点时,求直的方程00（当点P在线l上动时，求的最小值【答案】（Ⅰ）依意,设抛线的方程2,由

结合，解得.所抛物线的程为x.（抛物线的方程为

4，y

1,求得2x设x,,x（中1,41则切线PAPB的率分别为xx，2

）,x所以切线PA：yy2

x2x即11,即xxyy02同理可得切线PB的方程为因为切线PA均过点yxyy0，0001102所以xyy的两组解.1所以直线的程xyy0（Ⅲ）由抛物线定义可知AF,y,1所以AF2联立方程

xxyy0x2y

，消去x整理得y0由一元二次方根与系数的关系可得x2y,y120012所以AFy220又点Pl上所y,0

0

2所以y

y

29所以当时AF取最小值，且最小值为2练习如图,抛线:x2y:2上M作的切线，20切点为AB（为点时，重于）x2，切线MA的率为-。（I）的；）当M在C上运动时求线段中点N的迹程。合时,中点O-5-

圆锥曲线专(定点、定值问题【答案】-6-

1212圆锥曲线专(定点、定值问题1212模型三：交弦过定点相交弦性质实是切点弦过定点性质拓展，结论同样适用。是具体解题而,相交弦定点涉及坐标较多，计算相对较大，解题过程定要注意思路，同时注总结这类题的法。y2例如图，已知直线L:x椭圆a的焦点F，且椭圆C于A、B两a22点，点A、B在直线G:xa

上的射影依次点D、E。连接AE、BD，探索当m变化时直线AE、BD是相交于一定点N?交于定点N，请求N点坐标，并予证明；否则说明理由。法::

F(1,0),a先探索，当m=0时直线L⊥ox轴，则ABED为形由对称性知AE与BD相交于FK中N，且

2

,0)

2猜想：当变化时，AE与BD相交于定点N(。证明：设A(),x),E2),D2,)111

,

当m变化时首先AE过点Nb222

即(2m2)y2mby)0....8a

2

b

2

(

2

2

b

2

(a又K

a

122122

2而KEN

a2(y)myy121a2()2

a(这是(yy)y122a2mb2)2b2(a)a2

22

(1

)2∴K=K∴A、N、E三点共线同理可得B、D三点共ANEN∴AE与BD相于定点(

2

,0)法2:本也可以直接得出AE和BD方程令y=0，得与x轴交M、N,后两个坐标相减0.计算也不大。◆法结方1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类在答题过程中要注意骤。-7-

11111圆锥曲线专(定点、定值问题11111x例、已椭圆C：，直l:xt2)与x轴于点T，点P为直线l上于点T的一点，直线PA，PA分与椭圆于M、N点试问直线MN是通过椭圆的焦?并明你的结论。12方1:点A、A的标都知道，可以设直PA的方程，直线PA和圆交点是A—2,0）和M，121211通过韦达定理可以求出M的标同理可以求点N的坐标动点P在直线lx(上相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA、PA的方可以求出点纵坐标得到两条直线的斜率的关系，通过所求12的M、N点坐标，出直线MN的方程,将交点坐标代入，如解出的t〉2，就可了，否则就不存在解设M(x,

,,)

，直线A的率为k,则直线M的方程为yx2),由1

y(x2)x22消y整理得(1

)x

1

0是方程的两个，1k2即点M的坐标为(,1),k2k

1622k则11k1

，y

4k12

,同理,设直AN的斜率为k，则得点N的坐标为22y(t(p1p

,k2k2

)k2y2，直线MN的程:12，ktx21x令y=0，x212，将点M、N的坐标代入，化简后得：xy2

t又t，0

t

椭圆的焦点为(3,0)3，t

433故当t

433

时，过圆的焦点。方总:本题由点A（—2,0）的坐标－是程(12x2x2的个根，结合韦1k24达定理，得到点M的横纵坐标：，；其实由消y整理得k21kx1(1

)x

k

8k，得到2x，即2，2很快。不过如果看到：k21kk2k2将x中的换下来,前的系数2用－换来就得点N的标(,)果在k2kk122解题时，能看这一点，计算量将减，这样真容易出错，但样减少计算量本题的关键是看到点的双-8-

2MN12圆锥曲线专(定点、定值问题2MN12k2y重身份:点P即直AM上在直线A上，进而得到1，由直线MN的方程ktx21

得xy直线与x轴的交点即横截距x211y

4点M的坐标代入易得x,由3解t，tt3到此不要忘了察t

433

是否满足t。◆法2:先想定点N的方AMA方程而得出交点两标相下：1设l:my联立椭圆方程，整理：MN4）y3my范围；设（x,yN（x,y得直方程：1yyl:y1(l:y2(2);x12若分别于l相较于Q、：易得TyyQ（,1(tt,2txx1yyyt2)t2)xx12myt3)(y)3)整理212(11-m韦达定理代入[(3t3)](42143显然，当t时，猜成立。3◆法:法2计算量相对较学会发现上弦恒过定点例已法2采这类题的通法求于思路混乱1，未知数更少，思路更明确。练1在平面直角坐系中如图，已椭圆错!+错=1的左右顶为A,B，右焦点F,设过点T（t,m)的直TA，TB与圆分别交于点M（x,y，y)，其中〉0,y>0,y〈0。112212⑴设动点P满PF－PB=4,求点P的迹⑵设x=2=错，求点T的坐标12⑶设t=9,求证：直线MN必x轴上的定(其坐与m无)解析:问与题。-9-

圆锥曲线专(定点、定值问题练已知椭圆中在坐标点,焦点在坐标轴上，且经过、B、C1,

三点．过椭圆的右焦点F任一与坐标轴不平行的直线l

与椭圆交M、N两点，AM与BN所的直线于点Q。(1）椭圆E的方程：(2）否存在这样直线m,使得点Q恒在直线m上移?若在，求出直线m方,若不在，请明理由-10

1223k2k2圆锥曲线专(定点1223k2k2解析：(1）设椭圆方程为2mym0,0),3将A(、(2,0)、)代椭圆E2

的方程，得9

11xy2解得m.∴椭圆E的方程4343

(也设标准方程，知a2类似计分）（2）知将直线l:y(x2代入椭圆的方程

并整理．得kxk3)0设直线l

与椭圆的交点M(,y),(,y)122

，由根系数的关，得12

14(2x323k(x直线AM的方程为：1(x即1(x11y(x由直线的方程为y2(x，(xx由直线AM与直线BN的程消去，得2(xxx)x)]11211(x)x122

2

24k2kx4k2k2x23k

∴直线AM与直线BN的点在直线x上．故样的直线存在模型四：圆过定点问动圆过定点问本质上是垂直向量的题也以理解为“弦对定点直角”的新应用。例已知椭圆

:ab

的离心率为

22

,并直线是抛物线y

2

4x的一条切线（I）求椭的方程；1（Ⅱ）过点)3

的动直线L交圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒点T？存在，求出点的坐标；若不存,请明理由。解(I）

yxy

消得:x

bx

因直线

y

x

相b4)2b-11

221112圆锥曲线专(定点、定值问题221112212a2，所求椭圆方程为ya214以AB为直径的圆的程：x))33

2

（II)当L与x轴行,当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

2

,由

x))解x

xy即两圆相切于（）因此，所求的T如果存,只能是（0）.事实上，点T(0，1)就是所的点，明如.当直线L垂直于轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1若直线L不垂直于x轴，设直线L:ykx

由

13消去得:kxkx2记点(x)

、

B(xy),

12k1818k

又因TAxyTBy1224所以Axy)(kx)3

2

41612k16)xx))0318k318∴TA⊥TB即以AB为直径的圆恒过点T（0在标平面上在一个定点（0,1）满条件。◆法结：过定点题，可以先取特殊值或极值，找出这定点，再证明用直径对圆周角为直角。22例2如图，已知椭圆Ca的心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点,a2点F是圆的右焦点。点是x轴上位于A右的一点，且满足（1)求椭的方程以及点D的标;

2DADFD1

。（2点D作x

轴的垂线n作直线l:ykx与圆有仅有一个公共点线l

交直线n于。求证:以线PQ为径的圆恒过定点，并出定点的坐标。解:（1）(,0),A,0),c，设(x,0)，1111由有,Ax1又FD，x，是cc，又cc，a

A

P

F

Dn

lxc)(cc)2，，ca,椭圆:

x22

y2,且(2,0)。-12

00012212121111121圆锥曲线专(定点、定值问题00012212121111121（2）法：(2,k,设P()0

kx，由kx)y222

)

k

2

x

2

m

2

,由于k

2

m

2

2

1)(2

2

0

2

2

0

2

k

2

（kmkm由*而由韦达定理x2kk2mm

，2k12kkx，(,mm设以线段PQ为径的圆上任意一点(，由MP有22k12()(xykx2k))由对称性知点m在x

轴上，令，取时满足上式故过定点K.法2：本题又解取极值，PQ与平行，易得与X轴相交于F（1,0下来用相似证明。设,得P线方x2;易(0,000设H1PH;HF;DQ;DFyHFDQ固相于FDQ，得PFQ90PHFD问题得证

1y0

02y练（10广州二文）已知椭圆C:a的焦点与抛物线:a2b2

2

4x的焦点重合，5椭圆C与抛物线C在第一象的交点为P，|PF。圆的圆心T是物线上的动点，圆与y轴3交于M,两，MN.（1）求椭C的程；1（2)证明无点运动到何处圆C恒过椭圆上定点（1)解法1:∵抛物:y的焦点坐标为(1,0)，点的标为(1,0)。2∴椭圆C