湖南省株洲市槚山中学2021年高三数学文期末试卷含解析

湖南省株洲市槚山中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是虚数单位，是纯虚数，则实数等于（

）

A．—1

B．1

C．

D．—参考答案：A是纯虚数，则故a＝－1．2.已知函数，若,则实数的取值范围是

A.

B.C.

D.参考答案：A3.已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C【考点】等比数列【试题解析】由题知：因为

4.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为A．.

B．

C．

D．参考答案：B5.函数f（x）＝的零点个数是（

）

A.0B.1C.2D.3参考答案：D6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（）A．

B．10

C.

D．参考答案：A几何体的高为2,底面为边长为2,且一内角为的菱形,因此侧面积为,选A

7.某几何体的三视图如图（单位：m），则该几何体的体积是A．m3 B．m3 C．2m3 D．4m3 参考答案：A8.如图1，点P在边长为1的正方形上运动，设M是CD的中点，则当P沿A—B—C—M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是图2中的（

）

图1

图2参考答案：A略9.已知平面向量，则A. B.

3

C.

D.

5参考答案：A由题意知，，所以.故选A.10.函数，在上的最大值与最小值之和为a，则a等于A.4 B. C.2 D.参考答案：D函数在[2,3]上是单调函数，所以有：即故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧棱底面，，为的中点，则四面体的体积为

.参考答案：略12.已知命题p：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为

．参考答案：a≤﹣2或a=1考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．解答： 解：∵“p且q”是真命题，∴命题p、q均为真命题，由于?x∈[1，2]，x2﹣a≥0，∴a≤1；又因为?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，∴△=4a2+4a﹣8≥0，即（a﹣1）（a+2）≥0，∴a≤﹣2或a≥1，综上可知，a≤﹣2或a=1．故答案为：a≤﹣2或a=1点评：本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．13.函数的定义域是

参考答案：14.方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是

．参考答案：或0考点：三角方程．专题：三角函数的求值．分析：sinx+cosx=1，可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，sinxcosx=0，可得sinx=0或cosx=0，利用x∈[0，π]，即可得出．解答： 解：∵sinx+cosx=1，∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，∴sinxcosx=0，∴sinx=0或cosx=0，∵x∈[0，π]，∴或0．故答案为：或0．点评：本题考查了同角三角函数的关系式、正弦函数与余弦函数的单调性，属于基础题．15.设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是___________．参考答案：[－6,1]略16.已知，||＝2，||＝2，则||＝参考答案：17.计算___________（为虚数单位）．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的

50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病不患心肺疾病合计男

5

女10

合计

50已知在调查的50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，抽取3名进行其他方面的排查，记抽取患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差；大气污染会引起各种疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染．下面的临界值表供参考：50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）

参考答案：（Ⅰ）解：列联表补充如下

………2分

患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅱ）解：因为，所以又．那么，我们有的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．

……4分（Ⅲ）解：的所有可能取值：0，1，2，3

；；；；

……7分分布列如下：

………8分0123则的数学期望及方差分别为，

………10分低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放．

…12分

略19.（本题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得>x0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．参考答案：（I）∵时，，∴．由题意，≥0在上恒成立，

当a=0时，>0恒成立，即满足条件．当a≠0时，要使≥0，而ex>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，即解得a<0．综上，a的取值范围为a≤0．………………4分（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，只需证≤，即证1≤，

①令，得，整理得，∵x≥0时，≤1，结合a≥1，得≥0，∴为在上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．②在x≤0时，要使-≤x+1成立，只需证≤，即证1≤，

②令，得，而在x≤0时为增函数，故≤≤0，从而≤0，∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．综上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立．…10分（Ⅲ）要使f(x0)>x0+1成立，即，变形为，

③要找一个x0>0使③式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．∵，令得，则x=-lna，取x0=-lna，在0<x<-lna时，，在x>-lna时，，即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数，∴当x=-lna时，取得最小值下面只需证明：在时成立即可．又令，则≥0，从而在(0，1)上是增函数，则，从而，得证．于是的最小值，因此可找到一个常数，使得③式成立．………………14分20.（本小题满分14分）设，集合，，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.参考答案：（1）令，。①当时，，方程的两个根分别为，，所以的解集为。因为，所以。②当时，，则恒成立，所以，综上所述，当时，；当时，。（2），

令，得或。①当时，由（1）知，因为，，所以，所以随的变化情况如下表：0↗极大值↘↗所以的极大值点为，没有极小值点。②当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗所以的极大值点为，极小值点为。综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。21.（本小题满分12分）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C万元与隔热层厚度cm满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（I）求的值及的表达式；（II）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．参考答案：（Ⅰ）当时，，，

………