精选暑期班第1讲.函数的基础知识.理科.学生版

精选暑期班第1讲.函数的基础知识.理科.学生版2-2010年·暑假高三数学·第1讲·理·学生版pagePAGE1ofNUMPAGES10第第一讲函数的基础知识高高考要求函数的基础知识要求层次重难点函数的概念与表示C⑴函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．③了解简单的分段函数，并能简单应用．⑵指数函数①了解指数函数模型的实际背景．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．④知道指数函数是一类重要的函数模型．⑶对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数与对数函数互为反函数（）．⑷幂函数①了解幂函数的概念．②结合函数的图像，了解它们的变化情况．映射A有理指数幂B实数指数幂A幂的运算C指数函数的概念、指数函数的图象及其性质B对数的概念及其运算性质B换底公式A对数函数的概念、对数函数的图象及其性质B指数函数与对数函数互为反函数（且）A幂函数的概念A幂函数，，，，的图象及其性质B知识精讲知识精讲板块一：函数的三要素（一）主要方法：1．求函数解析式的题型有：⑴已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；⑵已知求或已知求：换元法、配凑法；⑶已知函数图象，求函数解析式；⑷满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；⑸应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．2．函数的定义域包含三种形式：⑴自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；⑵限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；⑶实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．函数定义域的求法分两种基本类型：一是抽象函数的定义域，关键是深刻理解定义域的意义，通俗地讲定义域就是”的取值范围”；二是具体函数的定义域的求法，转化为解不等式组．3．求函数值域的各种方法⑴直接法：利用常见函数的值域来求一次函数的定义域为，值域为；反比例函数的定义域为，值域为；二次函数的定义域为，当时，值域为；当时，值域为．⑵配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；⑶分式转化法（也称“分离常数法”）⑷换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑸三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑹基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑺单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑻数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．⑼导函数法：利用原函数的导函数值的正负，判断出函数的单调性，求得值域．（二）典例分析：若函数满足，则________．定义在正整数上的函数满足，且，则_______．已知，，其值域设为，给出下列数值：，则其中属于集合的元素是_______．（写出所有可能的数值）（2004湖北理）已知，则的解析式可取为（）A．B．C．D．求一次函数，使．已知，，求和的表达式．设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A．B．C．D．已知，定义，，，⑴求；⑵设，求证：中至少有个元素．已知函数的定义域为，的定义域为，若，求实数的取值范围是_________．已知函数的定义域为，求函数的定义域．若函数的定义域为，求实数的取值范围．求函数的值域，若，再求函数的值域．求函数的值域．求的值域．已知函数，⑴当的定义域为时，值域也是，求的值．⑵当时，函数对于任意的，恒成立，试求实数的取值范围．（2006重庆）已知定义域为的函数满足⑴若，求；又若，求；⑵设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式．板块二：指数函数、对数函数、幂函数（一）知识内容1．指数与指数函数⑴幂的运算性质（，）：①；②；③．⑵指数函数：①定义：函数，且称指数函数，②指数函数的图象与性质：图象定义域值域性质⑴过定点，即时，⑵在上是减函数⑵在上是增函数2．对数与对数函数⑴对数的概念①定义：如果，且，那么数称以为底的对数，记作，其中称对数的底，称真数．1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；②基本性质：1）真数为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：．③运算性质：如果，则1）；2）；3）．④换底公式：．⑵对数函数：①定义：函数，且称对数函数，②对数函数的图象与性质：图象定义域值域性质⑴过定点，即时，⑵在上是减函数；⑵在上是增函数．③对数函数与指数函数，且互为反函数．3．幂函数⑴定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．⑵图象：幂函数，的图象．⑶性质：①它们都过点；除原点外，任何幂函数图象与坐标轴无其他交点，任何幂函数图象都不过第四象限．②当时，图象都过，且在第一象限内为增函数．③当时，图象都过，在第一象限内为减函数，并以坐标轴为渐近线．任何两个幂函数图象最多有三个公共点．（二）典例分析：计算的值．（2008重庆）已知，则．（2007全国Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A． B． C． D．（2007天津）设均为正数，且，，，则（）A． B． C． D．已知，则的值等于．（2007山东）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为_______．（第12届希望杯）已知函数的定义域为，则的取值范围是_______．对于，⑴函数的“定义域为”和“值域为”是否是一回事；⑵结合“实数取何值时，在上有意义”与“实数取何值时，函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别．⑶结合⑴⑵两问，说明实数的取何值时的值域为．⑷实数取何值时，在内是增函数．⑸是否存在实数，使得的单调递增区间是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（2008江苏）已知函数，（，，为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，⑴求对所有实数成立的等价条件（用表示）；⑵设是两个实数，满足，且，若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）家庭作业家庭作业（2005江苏）已知为常数，若，，则_____．（2007北京14）已知函数，分别由下表给出：则的值为 ；满足的的值是 ．已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域和值域分别是（）A．，B．，C．，D．，（2007湖南）下面不等式成立的是（）A．B．C．