专题05 直线方程综合大题归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

2/13专题5直线方程综合大题归类目录热点题型归纳TOC\o"1-1"\h\u【题型一】求直线方程 1【题型二】平行线距离 2【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 3【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 3【题型五】解三角形三大线：高对应直线 4【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 5【题型七】最值：面积最值 5【题型八】最值：截距与长度 6【题型九】叠纸 6【题型十】三直线 7【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 7【题型十二】直线应用题 8培优第一阶——基础过关练 9培优第二阶——能力提升练 10培优第三阶——培优拔尖练 11【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.(1)求对角线所在直线方程；(2)已知直线过点，与直线的夹角余弦值为，求直线的方程.（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）【提分秘籍】基本规律1、可以适当的讲一下夹角公式：2、到角公式：3、如果不用夹角公式与到角公式，则可以处理【变式训练】1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线的方程为，直线的方程为.(1)设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线与轴正半轴的夹角分别为和，过点的直线分别交，于点．(1)当线段的中点为时，求的方程；(2)当线段的中点在直线上时，求的方程【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线过点，且被平行直线：与：所截取的线段长为，求直线的方程．【提分秘籍】基本规律1、两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))2、过两定点的两条平行线之间的距离范围：[0,d].其d是两定点之间的距离【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线，分别过，.(1)，之间的距离为5，求两直线方程；(2)若，之间的距离为d，求d的取值范围.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线与的方程分别为，，直线平行于，直线与的距离为，与的距离为，且，求直线的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰中，，顶点的坐标为，直角边所在的直线方程为，求边和所在的直线方程．【提分秘籍】基本规律要注意边所在的直线斜率不存在的情况，防止漏解错解【变式训练】1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点且斜率为的直线l与x，y轴分别交于P，Q两点，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PQSR的面积的最小值．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线，，，记．（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；（2）在中，求边上中线长的最小值．【提分秘籍】基本规律中点坐标公式的应用。三角形中线的性质。3、中线交点是三角形的重心，是中线的三等分点，并且重心坐标公式：【变式训练】1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的一般方程；（2）边上中线的方程为，且的面积为4，求点的坐标.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知的顶点，，边上的中线的方程为，边所在直线的方程为(1)求边所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点的坐标.【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.【提分秘籍】基本规律三角形的高，和对应底边垂直，所以若斜率都存在，则满足【变式训练】1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.(1)求点坐标：(2)求直线的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC的方程．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知的一个顶点，且，的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.【提分秘籍】基本规律1.求角平分线方程可根据角平分线上的点到两边的距离相等求解2.求角平分线，可以利用夹角公式，或者到角公式求解【变式训练】1.（2021·全国·高二专题练习）在中，已知，.(1)若直线过点，且点A，到的距离相等，求直线的方程；(2)若直线为角的内角平分线，求直线的方程.（2020·上海·高二课时练习）已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程．【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.【提分秘籍】基本规律1.利用点斜式求这类面积最值，设直线方程时，要注意斜率的正负。2.可以利用截距式，借助于均值不等式技巧求解【变式训练】1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的两点式方程；(2)求△OAB面积的最小值．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的方程为.(1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)若，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线垂直；(2)交轴、轴的正半轴于，两点，且取得最小值．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点，，直线.(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.2.（2022·全国·高二课时练习）已知．(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，设直线l与边OA，AB分别交于点M，N，将△AOB沿直线l折叠后，点A落在边OB上的点处．(1)设，试用m表示点N到OB的距离；(2)求点N到OB距离的最大值．【提分秘籍】基本规律可转化为轴对称问题，利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系.。中点坐标公式、两条直线垂直的条件、点到直线的距离公式是解题【变式训练】1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数的所有可能的取值．【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线和，且与的距离是．(1)求的值；(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P与两个顶点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程;(2)过点且斜率为k的直线l，交曲线C于、N两点，若，求斜率k【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。借助于求根公式直接求解，或者韦达定理转化求解（圆锥曲线大题初步）【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）已知曲线．(1)说明曲线C是什么图形，并画出该图形；(2)直线经过点，与曲线C交于M，N两点，且点A是线段MN的中点，求直线的方程；(3)直线与曲线C交于M，N两点，且，求直线的方程．【题型十二】直线应用题【典例分析】（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点位于点正北方向60m处，点C位于点正东方向170m处（为河岸），．(1)求新桥的长；(2)长的范围是多少？【变式训练】1.（2022·江苏·高二）如图，在一段直的河岸同侧有A、B两个村庄，相距5km，它们距河岸的距离分别为3km、6km．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A、B两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）（参考数据：，，，）分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两条直线和的交点，且________，若直线m与直线l关于点对称，求直线m的方程．试从①与直线垂直，②在y轴上的截距为，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．2.（2022·全国·高二期中）已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．3.（2022·江苏·高二课时练习）在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为，斜边的中点为，求其它两边所在直线的方程.4.（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），(1)求AB边所在的直线方程；(2)求AB边的高所在直线方程.5.（2022·全国·高二课时练习）三角形的三个顶点是，，.（1）求边上的高所在直线的方程.（2）求边的垂直平分线的方程.6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）在中，点，边上中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求的边所在直线的方程.7.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）设直线的方程为.(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(2)若直线与轴､轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.8.（2022·全国·高二单元测试）将一张纸沿直线对折一次后，点与点重叠，点与点重叠.(1)求直线的方程；(2)求的值.9.（2020·四川·石室中学高二阶段练习（理））如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合.将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为.（1）求折痕所在的直线方程；（2）若点为的中点，求的面积.培优第二阶——能力提升练1.（2022·全国·高二课时练习）已知，，．(1)若点满足，，求点的坐标；(2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角．2.（2022·全国·高二专题练习）已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．3.（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、．(1)求边的中垂线所在的直线方程和平行四边形的顶点D的坐标；(2)求的面积．4.（2022·全国·高二）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.(1)求直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程.5.（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高二阶段练习）已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积.6.（2021·全国·高二单元测试）已知，，，，轴为边中线．（1）求边所在直线方程；（2）求内角角平分线所在直线方程．7.（2022·江苏·高二课时练习）已知直线.(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．8..（2022·江苏·高二专题练习）过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．9.（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程（2）当时，求折痕长的最大值．培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·江苏·高二课时练习）已知直线：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.2.（2022·江苏·高二课时练习）若点和到直线l的距离都是.(1)根据m的不同取值，讨论满足条件的直线l有多少条？(2)从以下三个条件中：①；②；③；选择一个条件，求出直线l的方程.