专转本《数学》冲刺习题训练（全册）

专转本《数学》冲刺习题训练（全册）

目录

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案............................2

第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案......................9

第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案............18

第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案.......................28

第五讲：微分中值定理与导数的应用的强化练习题答案...................37

第六讲：利用导数证明不等式及导数应用题的强化练习题答案.............46

第七讲：不定积分的概念与换元积分法的强化练习题答案.................56

第八讲：不定积分的分部积分法等的强化练习题答案......................65

第九讲：定积分的概念与微积分基本定理的强化练习题答案................74

第十讲：定积分的计算方法与广义积分的强化练习题答案..................81

第十一讲：定积分的应用的强化练习题答案...............................88

第十二讲：向量代数的强化练习题答案....................................98

第十二讲：空间解析几何的训练题答案...................................106

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案......................113

第十四讲：隐函数偏导数求法及偏导数应用的练习题答案.................122

第十五讲、第十六讲：二重积分的概念、计算及其应用的练习题答案......130

第十七讲：数项级数的敛散性的练习题答案..............................138

第十八讲：赛级数收敛域把函数展成零级数的练习题参考答案.............144

第十九讲:一阶微分方程、可降阶微分方程的练习题答案...................151

第二十讲:二阶线性微分方程的练习题答案................................160

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1.下面函数与y=x为同一函数的是()

A.y=(4)~B.y=

C.y=e'nxD.y=Ine*

解：y-\nex=x\ne-x,且定义域(T»,+OO),...选D

2.已知。是/的反函数，则/(2x)的反函数是()

B.y=20(x)

c.y=ge(2x)D.y-2(p(2x)

解:令y=/(2x),反解出x：A：=g<p(y),互换x,y位置得反函数y=；<p(x),选A

3.设/(x)在(YO,«»)有定义，则下列函数为奇函数的是()

Ay=/(x)+/(-%)B.y=x[f(x)-f(-x)]

C.y=x3f(x2)

D.y=f(-x)-f(x)

3

解：y=J/)的定义域(-oo,4<»)且y(-X)=(-%)"，)=_xy12)=_y(x".

选c

4.下列函数在(-00,物)内无界的是()

A“.y----1--Bn.y=arctanx

1+x

C.y=sinx+cosxD.y=xsinx

解：排除法：Axr4yl■=4有界,B|arctanx|〈工有界，CIsinx+cosxl<>/2

1+x22\x\2''211

故选D

5.数列比｝有界是！吧当存在的()

A必要条件B充分条件

C充分必要条件D无关条件

解：｛七｝收敛时，数列互有界(即同WM),反之不成立，(如｛(-1广｝有界，但不收

敛，

选A

6.当〃f8时，sin?!与^为等价无穷小，则女二()

nn

1

A-B1C2D-2

2

.11

sin2——

解：lim-==k=2选C

Zi->001ZI-KO1

TT

nn

二、填空题(每小题4分，共24分)

7.设则/[/(X)]的定义域为

解：/T/(%)!=--=――

i+/(x)1+_L

1+X

X#T_1+x

2+x

.../[/(x)]定义域为

y,-2)5—2,-l)5T”)

8.设/(x+2)=/+i,

则/(D=__________

解：(1)令x+2=f,/(。=广一4/+5

/(x)=x2-4x+5

(2)/(工-1)=(工-1)~-4(x-1)+5-J2—6x+10

9.函数y=log4«+log42的反函数是

解：(1)y=log4(26),反解出x：x=42y-]

(2)互换位置，得反函数y=42'T

10.limVnlVn+l-vn-2)=

〃—>8\/

有理化3&3

解：原式^=^lim

“T8>/〃+1+y/n-22

11.若lim(l+口=e~'°,

n)

贝|J4=_________________

lim—(~^/7)ci.in,

解：左式=e~5k=e-w-故k=2

12.Hm即士si/二

〃T85〃+3n

si»〜2二原式=lim聆2=1

解：当〃foo时,

nn285〃+3n5

三、计算题（每小题8分，共64分）

.2x-l

arcsm-------

13.求函数y=——）——？的定义域

7FH

解:-3<x<4

叶1>00x>l啦<-1

，函数的定义域为[-3,-1）口（1,4]

14.=1+cosX求/（X）

解：/(sin*|=2cos2=2^1-sin2-1

故/(X)=2(T)

15.设〃x)=lnx,g(x)的反函数gT(x)=2("+1),求y(g(x))

x—1

解：（1）求g（x）：y—2x+2二.反解出了：xyy=2x+2工=1+2

12

互换苍y位置得&"）=%+2

x—2

vI9

⑵/[g(x)]=Ing(x)=In『一1

16.判别/(x)=ln(x+Jl+J)的奇偶性。

解法(1)：〃x)的定义域(-oo,T8),关于原点对称

f(-x)=In卜x+Vl+x2

=,n.1____

vl+X2+x

=ln(x+Jl+x?)=-ln(x+Jl+N)

=-/(x)

/(x)=InCx+Al+f)为奇函数

解法(2)：穴)#X-)

=ln(x+y/l+x1)+In卜%+Jl+f)

=ln(x+Jl+f)(ji+x2—x)]=inl=0

=—/(x)故/(x)为奇函数

17.已知/(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且〃x)+g(x)=」一，求/(x)及g(x)

解：已知/(x)+g(x)=一、.«)

x—1

/(—x)+g(—x)=-即有

-x-l

/(x)—g(x)=­[...(2)

x+1

.*1)+⑵得2〃x)=.上

X—1A+1

故

JT-1

⑴一⑵得2g(司=9+击

A-1X+1

Y

故g(x)=丁：

X-1

n

4c、六「(及+2。15。+_

18.设hm-----=8,求。的值。

n-a)

3

n+2a=lim[l+23

解：lim

“TQOn-a〃一>■8n-a

na

hm------

n—a=8

故。=ln8=31n2、

11

19.求lim-------1---------F…+

z/—>001-22-3

1k+\-k

解:（1）拆项,

k(k+1)(k+l)k

11

k-1,2,...,n

kk+1

111

-------1----------F…+

1-22-3n^n+1)

1-

n+1

..—n

(2)原式=lim.———hm-----

W->OCn+1

20.设/(%)=〃*(a>0,awl),

求如*In[/⑴•/⑵.../(〃)]

解：原式=lim'71n(ai…

mgn

=lim与[ina+2Ina+.・・+〃Ina]

n—XX)"2L」

1+2+...+〃

=\na-lim

n—>oon2

Ina-lim

72->OOn2.2

—lna(a>0,aw1)

四、综合题（每小题10分，共20分）

Y

2L设/（力=7=^,求工（》）=

Vl+x'

/｛加〃尤）]｝并讨论力（X）的奇偶性与有界性。

解：（1）求力（X）

“X）=~r=•/W=7/（?_=-rJ

Jl+f[1+/2（x）V1+2X2

"心⑺卜演r指

（2）讨论力（X）的奇偶性

/(f)—X

Jl+3%2i(x)

/.f3（x）为奇函数

（3）讨论力（x）的有界性

以小悬^岛*L界

22.从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为0的扇形做成一个漏斗

（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角°的函数。

1

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为/Z,底半径为人依题意：漏斗容积V二一乃产9〃

3

h=NN-户,2夕=R①

4R%2

24乃3

（2）函数的定义域

2222

4/r-（p>0,（p<（2TT）（0<（p<2万）

故V=£♦奏万2_(p2(0<(p<2兀)

五、证明题(每小题9分，共18分)

23.设/(X)为定义在(-oo,4w)的任意函数，证明/(X)可表示为一个偶函数与一个奇函

数之和。

证：⑴+驾例

⑵令g(x)=-''2'——-(-<»<x<+00)

g(-x)=止W=g(x)

二g(x)为偶函数

⑶令(p(x)=_\/————-(-00<X<+00)

g)=止9=-箱)

「.(p(x)为奇函数

(4)综上所述：〃X)=g(x)偶函数+(p(£)奇函数

24设/(X)满足函数方程2人力©

=-,证明〃尤)为奇函数。

证:⑴2〃力+^W⑴

令g=f,2/(:|+/a)=r函数与自变量的记号无关

・•.2/&)+/(x)=x……(2)

(2)消去/求出“X)

2,Y2-2?-r2

(2)-2x(1):f(x)-4/(x)=x--：-3/(x)=--=

XXJX

(3)/(x)的定义域(YO,0)U(0,+X))

又/(-x)=^-=-/(x)

-JX

.-./(X)为奇函数

*选做题

1已知F+22+…+“2=二”！)(物1),求lim]——+——+…+jL.

6817r+1n+2

«4+...+41+2丁-+〃2

fl+1rr+〃n'+1

I2+22+...+/

且lim

8/+及

〃(〃+1)(2几+1)

hm/;r—

-06(〃+〃)3

「+2~+..-,〃(/1+1)(2〃+1)1

lim-------------=hm--------------=—

“f8+1006(〃+1)3

由夹逼定理知，原式=1

3

2若对于任意的x,y,函数满足：/(x+y)=/(x)+/(y)，证明/(y)为奇函数。

解⑴求/（0）：令

x=0,y=(V(0)=2/(0)f/(0)=0

(2)^x=-y:/(0)=/(-y)+/(y)-»/(-y)=-/(y)

，/（y）为奇函数

第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1.下列极限正确的()

..sinx।「x-sinXp士*

A.lim------=1B.lim----------不存在

XTOO

xxf°x+sin尤

C.limxsin—=1D.limarctanx=-

XfooxX-XO2

-=t

1xsint

解：limxsin—=------lim------・•.选C

XT8X，一>OI

jsinx

件41-sinxADi--丁1-0

汪：Ahm-----=0;Blim-----j=-----=1t

x->8xXT°°[sinxi+o

x

2.下列极限正确的是()

A.limex-0B.limex=0

.r->0-xf()+

C.lim(l+cosx)secx=e

.r->0

\_

D.1im(Fix*》e

X—>oo

-!-1

解：limex=ex=——=0选A

KT>

注：

3.若lim/(x)=8,limg(x)=oo,则下列正确的是)

X—>AQX—>AQ

A.Hn[/(x)+g(x)]=oo

B..变[/(可—(力]=8

..1

C.11m——----—■=

ff(M+g(x)

D.lim4f(x)=8(AwO)

/\z\%H0

解:lim4f(x)=%lim/(x)=^-oo-=-----oo.,.选D

X-MQX—

4.若lim/(2叽2,

iox

Y

则()

1。/(3x)

I1

A.3B.-C.2D.-

32

2

Y3x=2t3'

解：lim—^―hm—7~-

，"(3x)

Am，二

3，f。/（2r）323

•・•选B

—sinx(x<0)

x

0(x=0)/、

5.设/（X）=,1且存在，贝！］a=()

xsin—+a(x>0)

x

A.-1B.0C.1D.2

..\(.1A-

hmxsin—+a-o+a

x)_

«=1选c

6.当X-0+时，/(x)=Jl+x"-1是比X高阶无穷小,则()

A.a>\B.。>0

C.。为任意实数D.a<\

I-----

解：lim--=lim--==0:.a>\

.v->0+XXT。'X

故选A

二、填空题(每小题4分，共24分)

7.limf—=

r(1A

解：原式=lim1------

x+1J

r(12)

8.hm-------z——=_

1x-1x2-1J

00

fl.x+1-2

解：原式lim7------77------r

I(X-1)(X+1)

lim—!—=-

XT1x+12

(2X-1)3(3X+2)97

9.lim

XT8(3x+l)10°

0

3

2x-P3x+2?

解：原式工^lim•lim

X->003x+l)XT83x+l/

28

3；27

x2+or+6

10.已知hm---------------存在,

3\-x

则。=

解:lim(l—x)=0

lim(x2+ox+6)=0

1+。+6=0,-7

.、

(11arcsinx

limexsin—+

x->0~x%

.1--1arcsinxX

解:sin—<1,limex=0limexsin—=0Xlimlim—=1故原式=1

l

xXT(T.ioxxX

x2ln(l+x2

12.若lim—--------0

x->osin”x

sin"x

且lim=0,则正整数〃=______________

A->°1-cosx

x2In(1+x2)r2.r2

解：lim——-------L=lim

n

iosin"xAT。x

n<4^,.xnn>2仁

=0,lim=0:.n>2,n<4,故〃=3

1。x2

2

三、计算题（每小题8分，共64分）

sin3x+2x

13.求lim

*T8sin2x-3x

sin3x+2

解：原式=limT——

XTOOsin2x

---3

x

sin3x=01|sin3JC|<1,lim—=0

lim-----

18X

「sin2x

hm----=-0|Isin2x|<l,lim—=0

I11XT8*

0+22

原式=

0^33

V1+tanx-VI+sinx

14.求hm------7--------；-----

i。x(l-cosX)

有理化

解:

tanx-sinx

lim

x(l-cosx)(>/l+tanJT+Jl+sinx)

「tanx(l-cosx)1

=lim-----------------

x(l-cosx)2

「tanx1x1

=lim----------lim—=—

x22x2

15.求lim[sin2+cos，

XT8XX

解：令一二当X—>00时，Z—>0

X

原式=lim(cosr4-sin2tJ

1

lim[l+cos1-1+sin2力

cos/-l+sin2/

『）lim------------------

=^e'e2

lncos2x

16.求lim

ioIncos3x

解：原式磐丽***]

xf。ln[l+cos3x-l]

Xf°cos3x-l

4

5T3x『9

-j.V00/-2sin2xcos3x

注:原式=hm-------x--------

*focos2x-3sin3x

_4

一....-9

e“—2x

17.求lim

XT0x-sinx

0

xx

解：原式与0lime~+e-~―-2-

101_COSX

00

0ex+e~x0ex+e~x.

=hm-------=hm-------=2

x->°sinxx->ocosx

e*+〃,1>0

18.设/(x)=,且lim/(x)存在,求a的值。

x/l-cosx八

-------,x<0

x

r_i、

解：limex+a=e~^+a=0-^-a=a

x->0”

\7

XT。-XXT。-XXT。-X2

[

19.呵(sin3x)l+3lnx

解：原式

..3cosx

lim.一

*wsin3x/

（0°）换底法ln(sin3x)/2

黑+l+3lnx

——e./X

..3xx

hm—；—hm-

Ci)+3sinx_«1)+3刀=/

、

20.求limx-x2InfId■一

XT8X)

1

1ln(l+r)

解：原式x邑=lim

/->0,2

驾所上土

r->0

01+r

3。2t

l+r-l

=lim/、=lim----=

/->o2《+1)f->0/+12

四、证明题（共18分）

21.当Xf8时且

limw(x)=O,limv(x)=ooz

X-KC'Jx—>8',

证明lim[l+w(x)]'(A)limZ/(A)V(A)

证：lim［l+w（x）］，（A）

吧［1+〃（切右如出

e-limw(x)v{x}

证毕

22.当X70时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

，一尤3

（1）12111一5抽1等价于万（1—>0）

r3

(2)tan九一x等价于1(％—>0)

(3)x-sinx等价于工(xf

6I

(4)arcsin九一工等价于一(x^O)

、丁/八tanx-smx

证：⑴lim---------------

\7ox

T

tanx(l-cosx)

^=lim-------------------

・3。X

X2

X----

=lim——=1

x->0£

万

X'

当x—>0时，tanx—sinx—

2

tanx-Xsec~x

lim1-=Inn

23

XTOXxfOx2

3

tan2fcx..厂7i

：

lim———=lim—2,=1

XT。JCA—>0JQ

当x—0时,tanx-x—

3

1-COSX

⑶lim-----------

v->012

—x

2

=lim^——=1

x->012

—X

2

1.

当x-0时，x-sinx—x3

6

/八arcsinx-x

(4)hm---------

'7A->013

一X

6

=nm-7=-----=i

1012.

—x1

2

当x-0时，arcsinx-x等价于

6

五、综合题(每小题10分，共20分)

23.求lim°x-的f-12x+l)

钮面』有理化「9X2-(9X2+2X+1)

角翠：原式“lim--------/

…3x+，9d+2x+l

[.—2x—1

=lim------,

…3x+，9/+2X+1

]_

3

x2-mx+8

已知

24.lim—2,、求常数m,“的值。

12x一（2+小+2〃5

解：（1）・・•原极限存在且

lim[%2—(2+〃卜+2〃]=0

A->2

lim^x2-znx+8^=0,4-2m+8=0

2m=12,m=6

i.x2—6x+8

(2)lim-....----------------

・s2x--(2+力)x+2〃

3,.2x-64-6

^=lim----；-----=----；-----

.，T22X-(2+〃)4-(2+n)

-21

-2-n~5

...—10=2—〃n-\2答〃?=6,〃=12

选做题

求］.(1+X户'

lim------

x->oe

解：原式与』1+3:下

X—>01々

(\+x］X

/vx—ln(l+x)

令y=(l+x)—ex

----x-ln(l+x)

=(l+x),

y'-2

X

xx-(l+x)ln(l+x)

(1+尤)

x2(1+x)

lim坐幽生

1

原式二不/(山)=e'62x+3F

..—X1

hm------------

—C，TO2X+3广=©2

第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答

案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1.若/（X）为是连续函数，

且/(0)=1,〃1)=0,

则lim/(xsin，］=()

Z8IX)

A.-1B.0

C.1D.不存在

解：原式

.1

/连续sin—

flimxsin—lim-/(l)=0,选B

18xXf81

X

2.要使〃x）=ln（l+fcc产在点x=0处连续，应给/（0）补充定义的数值是（）

A.kmB.

C.\nkmD.

m

解:理〃x)=lnlim(l+Ax)x

XTO

hmkx一,

=Ine'T>"=Inem-km

/(0)=km选A

3.若吧|/（到=同,则下列正确的是()

A.lim/(x)=A

B.

C.lim/(x)=-A

D.lim|/(x)|=A

4连续

解:Ji回选B

f(x\

4.设产(%)=«X

/(O),x=O

且/(x)在x=0处可导，/'(O)HO,

/（0）=0,则尤=0是尸（切的（）

A.可去间断点B.跳跃间断点

C.无穷间断点D.连续点

limF（x）=lim"x）―/（O）=.⑼

解:

D—ioX_Q』\/

,f(o)/(O)F(o)=/(o)limF(o),故x=O是尸(x)的第一类可去间断点。选A

.1

“、xsin—八一八，，

5./(%)=<X,XHO在x=0处()

0,x=0

A.极限不存在B.极限存在但不连续

C.连续但不可导D.可导但不连续

解：lim/(x)=limx-sin—=0,且/(0)=0

.•./(X)在x=0连续，又/'(0)

,1C

xsm——0

=lim----—=不存在，，/(6在》=0不可导选C

…X-Q''

X?J-1r<1

6.设/(%)=:'—在X=1可导，则出。为()

[ax-^-b,x>1

A.a=-2,b=2B.a=0,b=2

C.a=2,b=0D.a=l,h=l

解：(1)在x=l连续，

/.lim(x2+l)=2,lim(or+/?)=a+b

故Q+Z?=2...(1)

2_i

(2)r(l)=Hm——-=2,^(1)

zlX-I

..ax-^-b-2(0

=hm--------=lim-.....=a

“TVX-iXTr%—1

：.a=2,代入(1)得人=0,选C

二、填空题(每小题4分，共24分)

7.设/(x)为连续奇函数，则/(0)=_

解：(1)/(X)为奇函数，.■J(T)=-〃X)

⑵理/(T)=P矶-/(切

又/(x)在x=0连续

.-./(0)=-/(0)故〃0)=0

8.若/(X)为可导的偶函数，则r(0)=一

解：⑴“X)为偶函数，x)=/(x)

⑵/(6可导，.•.一/'(—x)=ra)故—r(o)=r(o)

2r(o)=o即r(o)=o

9.设>=6x+Z是曲线y=3/-6x+13的

一条切线，则左=

解：(1)y'-6,y'-6x-6,.'.6x-6-6,x-2

(2)6x2+k=3x4-6x2+13,.,.12+^=12-12+13，故％=1

10.若y=/(x)满足：.f(x)=/(0)+x

+a(x),且lim=0

\/x->0x

则r（o）=

〃x)7(0)

解：/'⑼=lim

x—0

x-a(x]

lim-----=1+0=1

…x

11.设/(x)在X=2连续，且/(2)=4,

则呵—

T(X—2x-4)

x+2-4

解：原式=/(2)lim,

2

"2X-4

=41im—=4-=1

7%+24

12./(x)=sin："一”的间断点个数为

X-X

解：令犬5—尤=0,九(工一1)(1+1)(冗2+1)=0

x=O,x=-l,x=l为间断点,

故/(X)有三个间断点

三、计算题(每小题8分，共64分)

sin2x+e2ax-I

-------------Y

13.已知/(%)=，X

6Z,X=0

在(-O0,-K)0)上连续，求。的值

解：“X)在x=0连续

「sin2x+e2（vc-1sin2xe2ax-1

・••典仆)=hm-------------hm-----+lim-=--2-+--2。

“T°Xz°X3x

且/（。）=々,「.2+2。=。

故a=—2

ex,x<0

14.讨论f（x）=-0,0<x<l在x=O,x=l连续性

解：（1）在x=0处，limex=0,lim0=0

XT（TXTO+

且〃。）=0

.,"(%)在工=0处连续

（2）在x=l处，lim0=0,

x->r

lim皿43=lim皿"=1

XT1+X-110，t

/(X)在X=1不连续

/（、）+4sinx

15.设/(x)有连续的导函数，且"0)=0,1(())=方若F(x)=.x'在x=0连续,

A,x=0

求常数A。

/\/(x)-/(O)+asinx

解：limEx=lim八'八'---

XT。'/x->0x

../(x)—/(0)..asinx..

=hm—----^+hm-----=f(O)+a

.'-»ox—OxfOXv'

且，a+b=A答4=。+匕

e'-l.

----xv0

16.设/(尤)=，x'在x=0可导，求攵力的值。

kx+b,x>0

解：(1)f(x)在x=0连续，lim----=1

lim(kx+b)=b故有。=1

X10+

(2)/(x)在x=0可导

――1

斤(°)=曾七

(0)

lim^4^Z-11

=lim

xf(Trio2x2

£(O)=lim竺匕

zOx

:.k=—,答k=—力=1

22

31+依）0

17.设/(©=<x'在x=0可导，求。与尸（0）

—l,x=O

解：（1）/（X）在x=0连续,

lim/(x)=+=lim—=a

IT0XTOxx->0x

且/(O)=_l,故有Q=—l

(2)/(%)在X=0可导

ln(l-x)।]

/'(O)=lim—--------

'"1。x

+1

..ln(l一x)+x[o]x_1

=lim--——4----=lim—~~-——

XTOXXT。2x

「1+x—11

=lim——；------=——

1。2工(九一1)2

答：。=—"(O)=—g

18.讨论/(%)=卜一4中(%)在尤=Q是否可导，其中中(尤)在x=Q连续。

解：⑴£(a)=lim(t-(x)—°

1ax—a

=lim{—a)*)-img)耍，⑷

nx-aXT4一

⑵£(a)=lim(i)*(")一°

x"x-a

(x-ci\(p(x\/、夕连续/、/、/、

=lim---------------=研a)答:当夕(a)=0时，f(x)在x=a连续,

当(p@W0时,f(x)在％=a不连续

19.求/(X)=」r的间断点，并指出间断点类型

1明

解：(1)间断点：x=O,x=-l,x=l

(2)在x=0处：lim^—7=0

I。1中|

・・.x=0是/(x)的第一类间断点。

(3)在尢=±1处：lim1।==

XT±I1小|

:.x=+l为/(%)的第二类无穷间断点。

20.设/(x)=(e'T，x>°指出/(x)的间断点，并判断间断点的类型。

ln(l+x),-l<x<0

解：(1)x=l为间断点，％=0可能是间断点。

(2)在X=1处：

11

limex~]=1=0,limex~]=oo

・•・X=1是/(x)的第二类无穷间断点

(3)在x=0处：

I

limex~'=e-1,limln(l+x)=0

-

x->0+A->0''

.♦.x=0是/(x)的第一类跳跃间断点

四、综合题(每小题10分，共20分)

21.求/(©=.工]-升；的间断点,并判别间断点的类型。

x-1X

解：(1)间断点：x=0,x=-l,x=1

(2)在x=0处：

八)x(x+l)1x+\

lim/(x)=lim——-=-1

x->0\7Xf0X+]

・・.x=0是/(x)的第一类可去间断点

(3)在x=l处：lim/(x)=lim^--=0

・•・x=1是/(X)的第一类可去间断点

x—1

(4)在1=-1处：lim-----=oo

itx+1

—1是/(X)的第二类无穷间断点

x2+x,x<0

22.己知/(x)=,av'+hV+cx+dOvxvi,在(yj,+QO)可导，求之值

x2-x,x>l

解：⑴/(X)在x=0连续,

/.lim(czx3+Z>x2+cx+J)=J

lim(x2+x)=0,/(0)=0

.v->0-

故。=0…⑴

(2)/(%)在x=0可导

2

£（o）=片=】，

ax3+bx2+ex

r(0)=Um

XTOX

故有c=l…（2）

(3)/(x)在x=l连续,

lim(ax,+/?x2+x)=/(l)

即Q+/?+l=/(l)=O

.二Q+/?+1=0…(3)

（4）在X=0可导:

2

V'xMx-l

(o)、

=limf[3ax2+2bx+1)

=3a+2/7+1

故有纭+2。=03（4）

由(3)(4)解得。=2/=—3

五、证明题（每小题9分，共18分）

23.证明d—2x—4=0在区间(一2,2)内至少有两个实根。

证：(1)/(x)在［—2,0］连续，

且/(0)=-4<0,/(-2)=16>0

由零点定理知，

/(%)=0在(一2,0)上至少有一个实根。

(2)f(x)在［0,2］连续，且

/(0)=-4<0,/(2)=16-4=8>0

由零点定理知，

/(x)=0在(0,2)上至少有一个实根

(3)综上所述，/(幻=0在(一2,2)上至少有两个实根

sin1xH0

24.设/(x)={'/，证明(1)当〃>0时f(x)在x=0连续，当”>1时，f(x)

0,x=0

在x=0可导

解：⑴limx,si/">。时0

a。x

r.1/1〃w>0

sin—<r0

\A7

.•・当〃>0时，/(x)在x=0连续

w.1

xsm-in_L

(2)lim--------=sin---0

“T°X~\I。X

(.1/［［.

sin—<l,hmx-----0

X-V—>0

、八7

当〃>1时，/(%)在x=0可导

总之，当〃>0时，在x=0连续

当时，/(x)在x=0可导

选做题

设对于任意的X,函数满足/(l+x)=

qf(x)且/'(O)=b,证明/'(I)=a2

证：⑴令x=0,/(l+O)=4(。)，即/⑴=4(。)

(2)八1)=铲:2

=丽也止也2L矿⑼“小

证毕

第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案

一、单项选择题(每小题4分，共24分)

1.设/，)=/+》2+],则/,⑴=()

A.1B.3C.-1D.-3

解：⑴/(x2)=(x2)2+X2+\

：./(x)=X2+x+1

⑵ra)=2x+i,r(-1)=-2+i=-1

选c

2.设/(6=%卜2_12)(*2—22)

…什—叫，则八0)=()

A.(〃!)2B.(-1)"(n!)2

C.n\D.(-1)”〃！

解：令g(x)=(f-「)[2一22)...任一"2)

/(x)=x-g(x)

r(x)=g(6+xg'(x)

r(O)=g(O)+O=(-1)2(-2)2

……(-〃)2