2021年高三查漏补缺试题(数学)

2021年高三查漏补缺试题（数学）说明：查漏补缺题是在海淀的五次统练基础上的补充，绝非猜题押宝，每道题的选择都有其选题意图，有的侧重知识、有的侧重方法、有的侧重题型、有的侧重选题内容，请老师根据选题意图，有所选择、有所侧重地训练学生.最后阶段的复习，应是梳理知识、梳理解题方法的基础上查漏补缺.三角函数1．在中，、、所对的边长分别是、、.满足.（1）求的大小；（2）求的最大值.命题意图： 在已知边角关系中既有边又有角的等式，一般要进行边角统一，边化角常用正弦定理，角化边常用正弦、余弦定理；熟练掌握的变形；另外对于函数的图象和性质要掌握好;已知三角函数值求角时，一定要注意角的取值范围，注意细节.2．已知.（1）求的对称轴方程；（2）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，若的图象关于点对称，求的最小值.命题意图： 对于三角公式，重中之重是倍角公式、降幂公式及辅助角公式.如果三角函数解答题要求单调性、对称性、周期等，一般暗示着“化一”的过程，即通过恒等变形把函数化为；另外会从“数”和“形”两方面来分析这个函数的性质和几何特点,即以图引导思维；注意平移问题的处理，如函数平移，按向量平移，曲线的平移问题.提示：要求学生记清诱导公式，“特殊角”的三角函数值.数列1．设数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求通项公式；（Ⅲ）设,求证：.命题意图：数列既是高中数学的重点，也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式，能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点：与的关系（注意讨论）；；递推——猜想——数学归纳法证明；迭加；迭乘；裂项求和；错位相减等；数列不等式证明中注意放缩法的运用.2．无穷数列满足：（为常数）.（1）若且数列为等比数列，求；（2）已知，若，求；（3）若存在正整数，使得当时，有，求证：存在正整数，使得当时，有命题意图： 数列中涉及恒成立或存在性的问题，往往和最大（小）值及单调性有关，常见做法是用和进行作差、作商、比较或构造函数来判断；通过本题的练习，希望学生能根据题目的条件和结论获取信息，抓住特点，进行代数推理论证；本题第（3）问也可用反证法说明，解题中要重视它的运用.立体几何1．在直平行六面体中，是菱形，，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的大小.命题意图： 熟悉立体几何中常见问题及处理方法，要求学生敏锐把握所给图形特征，制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系（平行、垂直），两个度量性质（夹角、距离）.解决问题的方法也有两种：几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点，前者难在“找”和“作”的技巧性，后者难在建系和计算上，究竟用哪种方法，到时根据自己的情况决断.2．如图，二面角为直二面角，∠PCB=90°,∠ACB=90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2，PM=1.（Ⅰ）求证：AC⊥BM;（Ⅱ）求二面角M-AB-C的正切值；（III）求点P到平面ABM的距离.命题意图：用综合法解答立体几何问题，要注意步骤的规范性，如求二面角的大小，点到面的距离，要先证明，再计算.用向量方法解答，要注意两向量的夹角与所求角的关系，即相等、互补、互余等，还要注意所求角的范围，如斜线和平面所成角一定是锐角；要注意“体积法”在处理较难的角与距离问题中的灵活运用.注意：立体几何重在通性、通法的熟练，逻辑的严谨，计算准确上.概率1．理：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、、、，设某一时刻这家自助银行被占用的ATM机的台数为（Ⅰ）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率；（Ⅱ）求至多有三台ATM机被占用的概率；（Ⅲ）求的分布列和数学期望.命题意图： 概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）（可以提醒学生“摸球”问题中的放回与不放回的区别）.但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.2．文：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为、、、.（Ⅰ）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率；（Ⅱ）求至多有三台ATM机被占用的概率；（Ⅲ）求恰有两台ATM机被占用的概率.命题意图： 概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）.但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.3．小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是，胜母亲的概率是.（1）如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率；（2）父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由.命题意图： 用数据说理和决策的意识.通过合理的分类、恰当的分步把复杂事件用相对简单（或已知概率）事件表示的能力，尤其是对（2）中划线部分的理解；还要注意概率和不等式等其它数学知识的交汇.解析几何1．已知动点P到直线的距离是到定点（）的距离的倍.（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）如果直线与P点的轨迹有两个交点A、B，求弦AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围.命题意图：对解析几何两大基本问题：①求轨迹；②通过方程研究曲线性质进行再梳理.轨迹方程的求法一般分为直接法和间接法.直接法的步骤：建系设点，找等量关系，列方程，化简，检验；间接法的关键是找参数.如果明确说直线与圆锥曲线有两个不同的交点，一般是考查判别式与根系关系的应用.取值范围一般是函数的值域或不等式（组）的解集.2．已知点分别是直线和的动点（在轴的同侧），且的面积为，点满足.（1）试求点的轨迹的方程；（2）已知，过作直线交轨迹于两点，若，试求的面积.（3）理：已知，矩形的两个顶点均在曲线上，试求矩形面积的最小值.命题意图：本题抓住解析几何重点研究问题设问，熟悉巩固通性通法，典型几何条件如长、角等的代数转换方法，让学生理解解析几何的基本思想与策略.解析几何要把握好条件的等价翻译，理顺各量间的关系，计算准确，进而得出正确结论.取值范围、最值、存在性、定值等问题是高中数学的重点题型，要重视.最值问题一般要建立函数关系（求哪个量的最值，这个量一般是因变量，关键是找到主动变化的量，即自变量），并且指出函数的定义域（定义域往往和判别式有关）.解析几何考最值要注意均值定理、导数和二次函数的运用.函数、导数1．设，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=x+3.（1）求f(x)的解析式；（2）若x∈[2,3]时，f(x)≥bx恒成立，求实数b的取值范围.命题意图： 切线方程要注意“在点”和“过点”的区别；恒成立问题，存在性问题一般和最值、值域、单调性密切相关，当不等式两端都为变量时，一般要先分离变量.2．（理）已知函数（，R）（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．命题意图： 导数的应用，重点是单调性、极值、最值问题（或方程、不等式等可转化为最值的问题），要注意通性通法的落实.如果有参数，常常需要分类讨论：提取常数系数时，要注意系数是否可能为零；导数为零的的值有多个时，要注意它们的大小关系是否是确定的等.2．（文）设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围． 命题意图： 使文科学生熟悉导数的基本应用，巩固处理此类问题的通性通法.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用．不等式1．已知函数和的图象关于y轴对称，且（I）求函数的解析式；（Ⅱ）解不等式；命题意图： 引导学生复习对称性（轴对称、中心对称）问题的处理方法.解不等式的方法可以概括为“化归”的过程，即转化为有理不等式.含有绝对值的不等式，就是要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，根据不同情况进行分类讨论，但要分清楚各个步骤是求交集还是并集.2．已知不等式的解集为，不等式的解集为.（1）求集合及；（2）若，求实数的取值范围.命题意图： 复习简单不等式的解法，注意分式不等式的等价转化，弄清集合间的关系，注意分类讨论的思想方法.参考答案三角函数1．解：（1）由正弦定理及得，.在中，，，即. 又，，...（2）由（1）得，，即. ，， . 当时，取得最大值.2．解：（1） 由得. 的对称轴方程为.（2）由题意可设则 又因为的图象关于点对称，则有， 即. 所以当时，数列1．证明：（Ⅰ）,.又, 是首项为，公比为的等比数列且.（Ⅱ）时，,时，.故.（Ⅲ）.2．解：（１） 由为等比数列，知与无关，故. 当时，数列是以１为首项，以为公比的等比数列.（２）当时，. 取为１，２，３，，累乘得: （）. 当时，. 而，（３）当时，， 说明异号，此时不存在正整数， 使得当时，有. 当时，必存在正整数（取大于的正整数即可）， 使得当时，有， 即存在正整数，使得当时，有； 因为存在正整数，使得当时，恒有成立， 取为与的较大者，则必存在正整数，使得当时，. 存在正整数，使得当时，有立体几何1．证明：（1）连接交于，连结. 在平行四边形中，，， 四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面.（2）在直平行六面体中，平面， . 四边形为菱形， . ，平面，平面， 平面. 平面， 平面平面.（3）过作交于. 平面平面，平面平面， 平面. 为在平面上的射影. 是与平面所成的角. 设，在菱形中，， . 在Rt中，. ， . . .（3）解法二： 连交于，分别以,,所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，在菱形中，， ,. 则（0，，0），（0，，0）， （1，0，2），（0，0，2）. （0，，2），（1，，2）. 设平面的法向量（，，）， 则 .令，则. （0，，）. 设与平面所成的角为. . .2．解：（Ⅰ）∵平面平面，，平面,平面平面． ∴平面. 又∵平面, ∴.（Ⅱ）取的中点，则．连接、．∵平面平面，平面平面，． ∴平面． ∵， ∴，从而平面． 作于，连结， 则由三垂线定理知． 从而为二面角的平面角． ∵直线与直线所成的角为60°， ∴． 在中，由勾股定理得． 在中，． 在中，． 在中， 故二面角的大小为（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．设，由题意可知，，． ， 由直线与直线所成的角为60°，得 即，解得． ∴， 设平面的一个法向量为，则 由， 取，得. 取平面的一个法向量为 则 由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．（Ⅲ）因为，所以，所以，因为平面，所以平面.所以P点到平面ABM的距离等于N点到平面ABM的距离, ， 又，由等积可知， ，解得， P点到平面ABM的距离为. 方法二、， 所以P点到平面ABM的距离.概率1．解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机， 则该客户需要等待”为事件 答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为.（Ⅱ）设“至多有三台ATM机被占用”为事件 答：至多有三台ATM机被占用的概率为.（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4. , , , ,01234 .2．解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，则该客户需要等待”为事件.. 答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为.（Ⅱ）设“至多有三台ATM机被占用”为事件. . 答：至多有三台ATM机被占用的概率为.（Ⅲ）设“恰有两台ATM机被占用”为事件. 答：恰有两台ATM机被占用的概率为.3．解：(1)记“小明在第i盘胜父亲”为事件Ai，“小明在第i盘胜母亲”为事件Bi，则，.所以小明恰胜一盘的概率为答：小明恰胜一盘的概率为.（2）若与父亲先下，则小明获胜的概率为 ； 若与母亲先下，则小明获胜的概率为 . ∵, ∴小明应先与父亲下.解析几何1．解：（Ⅰ）设动点，由题意知. . 即动点P的轨迹方程是.（Ⅱ）联立方程组 得：.从而 弦AB的中点坐标为： 弦AB的线段垂直平分线方程为.所以垂直平分线在y轴上的截距为：，. 故弦AB的线段垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为.2．解：（1）设，，，则 由可得 因为的面积为， 所以. 得：. 所以，点的轨迹的方程为.（2）显然为的右焦点，设其左焦点为. 连接，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 故.设，. 则由双曲线定义得：，即. 在中，由余弦定理得：=. 两式作差得：. 所以，的面积.（3）（理） 当直线轴时，，所以，直线的方程为，此时，矩形面积为. 设直线，代入，消去 得：. 设，则 由得：. 矩形面积 若，显然， 若，则令， 故. 综上所述，可知当直线轴时，矩