(新课标)2020版高考数学二轮复习专题六函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用学案文

第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用 [做真题]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()CD．(4,＋∞)解析：选D。由x2－2x－8〉0,得x〈－2或x〉4。因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知,f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D。2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为 ()解析:选B.f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z),又x∈[0，2π],所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B。3．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．f错误!＞f错误!＞f错误!Bf错误!＞f错误!＞f错误!Cff!＞f错误!ff数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log3错误!<log3错误!＝－1。因为函数f(x)是偶函数,所以f(－x)＝f(x)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且0〈2－错误!<2－[明考情]上基本初等函数的图象及性质(综合型)[知识整合]指数与对数式的8个运算公式 (1)am·an＝am＋n。 (6)logaMn＝nlogaM。 (8)logaN＝错误!。注：(1)(2)(3)中，a>0，b>0;(4)(5)(6)(7)(8)中,a>0且a≠1，b>0且b≠1， [典型例题] (1)(2019·湖南省五市十校联考)若f(x)＝e－aex－x为奇函数，则满足f(x－1)〉错误!－e2的x的取值范围是()(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(错误!－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)【解析】(1)由f(x)＝e－aex－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x),即e－x－aex＝ae－x－ex,得a＝1，所以f(x)＝e－ex－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)〉错误!－e2＝f(－2),所以x－1>－2,解得x>－1，故选B. (2)由f(a)＝ln(错误!－a)＋1＝4，得ln(错误!－a)＝3，所以f(－a)＝ln(错误!＋【答案】(1)B(2)－2质应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与(2)研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，易忽视t>0的限制条件． [对点训练] ()〈b<a.故选A.2．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(错误!)>f(错误!)，则f(1－错误!)>0的解集为()解析:选C。因为函数f(x)＝logax(a〉0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而错误!<错误!且f(错误!)〉f(错误!)，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减,结合对数函数函数的零点(综合型)[知识整合]对于函数f(x),使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g (x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f (b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [典型例题] (1)(2018·福建市第一学期高三期末考试)已知函数f(x)＝错误!则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是() (2)(2019·江西八所重点中学联考)已知f(x)＝错误!，若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()【解析】(1)令f(x)＋3x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.(2)关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是错误!∪错误!值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．[对点训练]1．已知实数a>1，0〈b〈1,则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()CD．(1,2)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．2．已知在区间(0，2]上的函数f(x)＝错误!且g(x)＝f(x)－mx在区间(0，2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()解析：选A。由函数g(x)＝f(x)－mx在(0，2]内有且仅有两个不同的零点,得y＝f(x)，y＝mx在(0，2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y＝mx与y＝错误!－3在x∈ 或0〈m≤错误!时，函数g(x)＝f(x)－mx在(0，2]内有且仅有两个不同的零点．函数的实际应用(综合型) [知识整合]求解方法(2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． [典型例题] (2019·高考北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗10.1lgmm的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝错误!lg错误!，得lg错误!＝10.1，所以错误!＝1010.1，故选A.错误!般程序和解题关键读题(1)一般程序：文字语言?错误!?错误!?错误!。 (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方[对点训练]1．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G (x)(单位:万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万所以x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x万元．①当0<x〈80时，年利润L(x)＝x②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－错误!＋1450－250＝1200－错误!≤1200－2错误!＝200＝1000，当且仅当x＝错误!,即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．由于所以当产量为100千件时,该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为12．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt。如果在前5小时消除了10％的污染物，那么污染物减少间为________小时．0.81P0，代入得0.81＝(0.9错误!)t，解得t＝10，即需要花费10小时．1．幂函数的图象经过点错误!,则它的单调递增区间是()A．(0,＋∞)B．[0，＋∞)单调递增区间是(－∞，0)．故选D。2．函数f(x)＝－|x|－错误!＋3的零点所在区间为()错误!<0,所以f(1)f(2)<0，可知函数f(x)＝－|x|－错误!＋3的零点所在区间为(1,2)．3．(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)＝错误!,则f(f(log36))＝()解析：选B.因为log36〉1，所以f(log36)＝3log36－8＝－2,所以f(f(log36))＝f (－2)＝错误!错误!＋log4(2＋2)＝错误!＋1＝错误!.故选B.4．(2019·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔，当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水 ()后快，故选B.xlnylogze)〈f2错误!,则f(a)，f(b),f(c)的大小关系是()AfafbfcBfb)>f(c)〉f(a)afcD的所有零点之和等于()解析：选C.f(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx,令f(x)＝0,可得cos2x＝0或sinx＝0，因为x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝错误!或2x＝错误!或2x＝错误!或2x＝错误!,所以x＝错误!或x＝错误!或x＝错误!或x＝错误!，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因为错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零点之和等于7π,故选C.8．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)＝2x＋log3错误!，若不等式f错误!>3成立，则实数m的取值范围是()解析：选D。由错误!>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2,2)上单调递增，y＝log3错误!＝log3错误!＝log3错误!在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝.9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若错误! (1),则x的取值范围是()解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(lnx)－f错误!＝f(lnx)－f(－lnx)＝f(lnx)＋f(lnx)＝2f(lnx)，所以错误!〈f(1)等价于|f(lnx)|<f(1),又f(x)在区间[0,＋∞)上单调递增，10．(2019·河北省九校第二次联考)若函数则k的取值范围是():选C.令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，当x〉0时，k＝错误!＝错误!,令g(x)令g(x)＝1－xex，x〉0，则g′(x)＝x2ex〉0,所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g (错误!)＝1－错误!<0，g(1)＝1－错误!>0，所以在(错误!，1)上存在一个a，使得g(a)＝所以y＝|g(x)|的图象如图所示．由题意知，直线y＝k与y＝|g(x)|的图象有两个交点，所以0<k〈1，故选C。解析：依题意知,当x－9＝0，即x＝9时,y＝4－1＝3，故定点为(9，3)，所以m＝9，n＝3,故logmn＝log93＝错误!.)＝8,则a＝________．f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝错误!错误!＝8，所以a＝－3。13．某工厂常年生产红木家具,根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234xf(x)5.618.870000若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a,③f(x)＝log错误!x＋a。则你认为最适合的函数模型的序号为________．解析:若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4,得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝log错误!x＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大,不符合；若模型为f(x)＝ax＋b,由已知得错误!，解得错误!.所以f(x)＝错误!x＋错误!，x∈N，所以最适合的函数模型的序号为于x的方程f(x)－m＝0恰有三个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．解析：由2x－1≤x－1可得x≤0，由2x－1>x－1可得x>0.所以根据题意得f(x)＝错误!即f(x)＝错误!画出函数的图象,从图象上观察当关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实时，函数的图象和直线y＝m有三个不同的交点，再根据函数的极大值为可得m的取值范围是错误!.f错误!＝错误!，AB资生产这两种产品的有关数据如表:(单位：万美元)m8mA产品的原材料价格决x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设 (1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．分别为y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,其定义域为{x∈N|0≤x≤200}；y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0。05x2＋10x－40，其定义域为{x∈N|0≤x≤120}．当x＝200时，生产A产品有最大利润，且y1max＝(10－m)×200－20＝1980－200m(万美所以当x＝100时，生产B产品有最大利润，且y2max＝460(万美元)．所以当6≤m<7.6时，可投资生产A产品200件；当m＝7。6时,生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产