2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习第九章 第5讲 第1课时 椭圆及其性质

标准方程a2 b2标准方程a2 b2x2＋y2＝1(a＞b＞0)a2 b2y2＋x2＝1(a＞b＞0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)性质顶点轴焦距A1A2B1B2|F1F2|＝2c性质离心率e＝a，e∈(0，1)c一、知识梳理1．椭圆的定义条件条件12平面内的动点M与平面内的两个F，F12F、F为椭圆的焦点M点的轨迹为椭圆12|MF1|＋|MF2|＝2a |F1F2|为椭圆的焦距2a＞|F1F2|[注意] 若则动点的轨迹是线段若则动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质aa，b，c的关系c2＝a2－b2常用结论0 P(x，y0 x2 y2(1)点P(x，y)在椭圆内⇔0＋0<1.0 0 a2 b2x2 y2(2)点P(x，y)在椭圆上⇔0＋0＝1.0 0 a2 b2x2 y2(3)点P(x，y)在椭圆外⇔0＋0>1.0 0 a2 b2椭圆的常用性质(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(2)

2b2a.F1AB，则△ABF24a.是椭圆上不同的三点，其中关于原点对称，直线斜率存在的斜率之积为定值－.且不为0，则直线与PB b2的斜率之积为定值－.a2二、习题改编1选修11P40例4改椭圆12＋22400的长轴的长 离心率 ．5答案：10 352．(选修1-1P41练习T3改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等1于2，则C的方程是 ．x2 y243＝13．(1-1P36T3改编)

x2 y2＝1

，F，过F：25＋16

1 2 2的直线交椭圆C于AB两点，则△F1AB的周长为 ，△AF1F2的周长为 ．答案：20 16一、思考辨析(1 (1)平面内与两个定点F，F的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆1 椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形)y2 x2＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆)a2 b2x2 y2 y2 x2＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同)a2 b2 a2 b2答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区(1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是 ．|MF1|＋|MF2|＝18，但|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F1F2已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准方为 ．答案： 1或 1x2 y2 答案： 1或 125＋9＝ 25＋9＝第1课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用(典例迁移)(1)(2020·设椭圆C4x2＋y2＝1F＝kx(k≠0)与椭圆C(1)(2020·设椭圆C4x2＋y2＝1FA．2C．4(2)(2020·)F、

B．2333x2 y2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C1 2 a2 b2上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ ．【解析】(1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，因为OA＝OB，OF＝OF1，所以四边形AFBF1是平行四边形．所以|BF|＝|AF1|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选C.(2PF1＝1，PF2＝2，则r1＋r2＝2a，r2＋r2＝4c2，1 22rr＋r12 1 2 1 2所以PF

121F2＝2

2＝9，所以b＝3.(1)C(2)31F218求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为259椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2PF1·PF2，通过整体代入可求其面积等．1 已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F3，则P到另一个焦点F1 2516的距离( A．2C．5

B．3D1 2 a2＝25，2a＝101 2 1－PF1＝7.2(2020FF2分别为椭圆C：4＋31的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且1PF2＝60°，则S△F1PF2＝ ．1 2 1 2 1 2 12 1 PF＋PF＝，PF2＋PF2－2PFPFcos6°FF，得3PFPF1 2 1 2 1 2 12 1 1 12 1PF1PF2＝4，则F1PF2＝PF1PF2|snF1PF＝×4sin0＝3.2 答案：3椭圆的标准方程(师生共研)(1)(一题多解(1)(一题多解过点( 3，－5)，且与椭圆y2 x2＝1有相同焦点的椭圆的标准方25＋9A.x2 y2A.20＋4＝1C.y2 x2C.20＋4＝1

x2 y2B.2 5＋4＝1B.．4＋ D ．4＋ 2 5(2)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方为 ．25 【解析】(1)法一(定义法)：椭圆y2＋x2＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.25 由椭圆的定义解得a＝2 5.

（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y2＋x2＝1.20 4法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为y2

＋x2

将( 5)的坐标代25－k 9－k， （－）2 （3）＝1解得＝5或21舍所以所求椭圆的标准方程为2可得 ＋25－k 9－k 20＋x2＝1.4

5＋3＝1法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为y2＋x2＝1(a>b>0)．由题意得a2

，解得a2 b2

－b

＝162＝20

a2 2 ，2＝4所以所求椭圆的标准方程为y2＋x2＝1.20 4(2)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.5当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为y2＋x2＝1.5 4x2 x2 y2【答】(1)C (2)5＋y2＝1或4＋5＝1用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：①b2＝a2－c2；②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤x2 y2[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2m n＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．已知动点M到两个定点的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )x2A.9＋y2＝1y2C.9＋x2＝1

y2 x2B.9＋5＝1Dx2 y2D．9＋5＝1解析：选D.由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为x2＋y2＝1.故选D.9 5设椭圆

x2 y2＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为

2，则此椭圆的方程m2 n2 2为 ．2 ，所以2 8 n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为x2＋y2＝1.8

2＝2所以m＝2 代入m2－84＝1已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F且长轴长与短轴长的比是2∶则椭圆C的方程是 ．＋＝1(a>b>0)．＋＝1(a>b>0)．解析：设椭圆C的方程为a2 b2由题意知∶c＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.1612答案：＋＝11612椭圆的几何性质(多维探究)角度一椭圆的长轴、短轴、焦距(2020泉州质已知椭圆 ＋ 1的长轴在x轴上，焦距为，则mm－210－m等于( A．8C．6＋＋【解析】因为椭圆

B．7D＝1的长轴在x轴上，m－210－mm－2>0，所以10－m>0， 解得6<mm－2>10－m，4，所以－2－10＋m＝4，解得m＝8.【答案】AF2是椭圆C是CPF1PF2，且PF2F＝60，则C的离心率( )32A．1－ B．2－332C.(2)

3－12 D．3－1y2 x2xOyPC：＋＝1(a>b>0)在椭a2 b2

π 圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈6，4，则椭圆C的离心率的取值范围( ) 6 3A.0，3 B.0，2 6 3 6 2 2C.3

，2

D．3，3【解析】(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝＝1 由椭圆的定义得|PF|＋|PF|＝2a，即3c＋c＝2a，1 所以( 3＋1)c＝2a，Ce＝c＝

＝3－1.故选D.a 3＋1OPMN所以MN∥OP且MN＝OP，2 故y＝a 3b2 N所以k

x＝2，＝3a＝tanα.ON 3b又α∈π π 3 3a6，4

<

<1，0<< ，故选a 所以a< 3b，a2<3(a2－c2)，解得 c 0<< ，故选a 【答】(1)D (2)A求椭圆离心率或其取值范围的方法c2 a2－b2 b2a，ba，ce2＝a2

a2 ＝1－a直接求．()b2＝a2－c2(aa2ee2的方程(不等式e(e)．PP在椭圆4＋x2y2＝1上，A(0，4)，则|PA|的最大值为()3A. 2183C．5

76B.3D．2 50 【解析】设P(x，y)，则由题意得x2＝4(1－y2)0 所以|PA|2＝x2＋(y

－4)2＝4(1－y2)＋y2－8y＋160 0＝－3y

0 0 0y＋42＋76 02－8y0＋20＝－30 3 3，01又－1≤y≤，100所以当y＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5.故选C.0【答案】C求解最值、取值范围问题的技巧想到一个图形．在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．x2 y2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)x2＋y2－6x＋8＝08，a2 b2则椭圆的左顶点( A．(－3，0)C．(－10，0)

B．(－4，0)D．(－5，0)选D.(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝b2＋c2＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．x2 y2OF分别为椭圆43＝1P为椭圆上的任意一点，→→则OP·FP的最大值( )A．2C．6

B．3D．84 选C.x2＋y2＝1F(－1，0)，O(0，0)，P(x，y)(－2≤x≤2)，4 则P→＝x＋＋yx·FP

2 2

44 FP当且仅当＝2时·→取得最大值6.4 FPx2 y2．已知椭圆＋

＝1(a>b>0)，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PFa2 b21⊥x轴，|PF|＝4|AF|，则椭圆的离心率为 ．a解析：因为点P在椭圆上，且PF⊥x轴，所以|PF|＝b2，a|AF|，又因为|AF|＝a＋c，|PF||AF|，4所以4(a2－c2)＝a(a＋c)，即4(a－c)＝a，则3a＝4c，.即c＝3.a 43答案：4[基础题组练]y21．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋m＝1的焦点坐标( )A．(± 3，0)C．(± 3，0)或(±

B．(0，±3)D．(0，±或(± 5，0)4解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋y24＝1的焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2019·高考北京卷)已知椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)

1 ( )a2 b2

的离心率为2，则A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4bc＝1 c2＝1

＝b

a2－b2＝1 b2＝3选B.

，所以

又a2 2 所以

，所以4b2＝3a2.故选B.

a 2

4 a2 43．曲线x2

＋

＝1与曲线x2

＋y2

＝1(k<144)的( )169 144 169－k 144－kC．离心率相等选D.曲线

＋y2

D．焦距相等＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两169－k 144－k曲线的焦距相等．4．(2020·郑州模拟)

x2 y2

1(a>b>0)的左、右焦点分别为F

，F，离心率已知椭圆C：＋＝ 1 2a2 b22为3，过F2的直线l交C于A，B两点，若的周长为12，则C的方程( )x2A.3＋y2＝1x2 y2C.9＋4＝1

x2 y2B.3＋2＝1Dx2 y2D．9＋5＝1解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1

|＋|AF

2|＋|BF1

|＋|BF

|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝c＝2

所以c＝2，a 32所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为x2＋y2＝1，故选a 329 55．(2020·昆明市诊断测试)已知F，F

x2＋y2

＝1(a>b>0)的左、右焦点，B1 2 a2 b2

|AF1|为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则|AF|2＝( )21A.32C.3

1B.2D．3A.By|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF|＋|AF

|＝2a，由题意知|AB|＝|AF

|，所以|BF|＝|BF

|＝a，|AF

|＝a |AF|＝3a所以1 2|AF1|＝1

2 1

1 2， 2 2.|AF2

| 3.故选A.6

x2＋y2

＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．a2 b2b2＝a2－c2＝c2，a＝2c，e＝c＝2a 2答案：227．(2020·贵阳模拟)

.若椭圆＋＝x2 若椭圆＋＝

1(a>b>0)的离心率为3

4，则椭圆的标准a2方程为 ．e＝c＝

b2 22b＝4，得b＝2，，c＝3，

a 2，a＝4，所a 2

解得a2＝b2＋＝2，

＝2 ，所以椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.16 4x2 y2答案：164＝18．(2019·高考全国卷Ⅲ)

x2 y2F F FF

1的两个焦点，M为C上一点且21设，为椭圆C：36＋20＝21在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为 ．36 Cx2y236

a2－b2＝4

分别为左、右1 12 1 2 |MF|＝|FF|＝2c＝8|MF|＋|MF|＝12，所以|1 12 1 2 |FF|－1MF|2＝122 2|21 1|FF|－1MF|2＝122 2|21 12 2 1

|h＝1FF|y，即1

4×2 15＝1 8×yy＝2| 2

2|12 M

2× M MM 得x＝－3(舍去)或x＝3，故点M的坐标为(3，15)．M 1 2 1 1优解：不妨设F，F分别为左、右焦点，则由题意，得|MF|＝|FF|＝1 2 1 1半径公式得|MF

|＝ex

＝M的1 M 3M M M坐标为(3，15)．答案：(3，15)10F1，F2(3，0)和(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x2＋y2＝1(a>b>0)，2a＝1，

a2 b2依题意 因此＝3，所以椭圆的标准方程为x2y2＝1.25 16P(2)易知|＝4c＝3，PS△F

＝1 11 2 2|yP|×2c＝2×4×6＝12.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)

x2 y2与椭圆43＝1(2，－3)；(2)P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P，过P与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x2＋y2＝t

或y2＋x2＝t

(t

＞0)，因为椭圆过点(2，4 3 1 4 3

21 2－3)

22 （－3）2＝＋ ＝2

（－3）2＋22＝251 4 3

2＝ 4 3 12.x2＋y2＝1或y2x2＝1.8 6 25 253 4(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)或y2＋x2＝1(a

2a＝＋3，

a2 b2

a2 b2由已知条件得（2）＝522，解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故椭圆的方程为x2y2＝1或y2x2＝1.16 12 16 12[综合题组练]1．(2020·合肥市第二次质量检测)已知椭圆x2＋y2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，a2 b2 12 1 1 F，右顶点为A，上顶点为B，以线段FA为直径的圆交线段FB的延长线于点P，若2 1 1 ∥AP，则该椭圆的离心率( )3A.32C. 32

B. 232D．232D.F1AF2B1 2 1 2 12 ∥APFB.又B|＝|FB|，所以△BFF|OB|＝|OF1 2 1 2 12 a 2a2＝b2＋c2＝2c2a＝2ce＝c＝2a 2

故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程( )x2A.2＋y2＝1x2 y2C.4＋3＝1

x2 y2B.3＋2＝1Dx2 y2D．5＋4＝1解析：选B.由题意设椭圆的方程为x2＋y2＝1(a>b>0)，连接F

A，令|FB|＝m，则|AF|a2 b2

1 2 2＝2m，|BF

|＝3m.由椭圆的定义得m＝a 故A|＝a＝|F则点A为椭圆C1 2， 2 1

＝θ(Osinθ＝1

中，cos2θa2 . 1aa＝21＝1－2(1

得3 2＝3.又c2＝1，