空间中直线与平面之间的位置关系 教学设计

2.1.3&2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系预习课本P48～50，思考并完成以下问题1．直线与平面的位置关系有哪几种？2．平面与平面的位置关系有哪几种？3．直线与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的？4．平面与平面的几种位置关系分别是怎样定义与表示的？eq\a\vs4\al([新知初探])1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示2．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示[点睛](1)判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．(2)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行()(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行()(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝l B．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行直线与平面的位置关系[典例]下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故答案为C.[答案]C在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[活学活用]下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b没有公共点，a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，③错误；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，④正确.平面与平面的位置关系[典例]α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是()A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β[解析]A、B都不能保证α，β无公共点，如图(1)所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图(2)所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β.[答案]D两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.[活学活用]1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：462.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC­A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1线面、面面交线问题[典例]在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面[证明]∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF∴平面ACC1A1与平面BEF判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．[活学活用]如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②层级一学业水平达标1．正方体的六个面中互相平行的平面有()A．2对 B．3对C．4对 D．5对解析：选B作出正方体观察可知，3对互相平行的平面．2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A．相交 B．平行C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内解析：选A延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．3．若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系是()A．平行或异面 B．平行或相交C．相交或异面 D．平行、相交或异面解析：选D若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系可能是平行、相交或异面．4．若直线a，b是异面直线，且a∥α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂α B．b∥αC．b与α相交 D．以上都有可能解析：选D首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种：平行、相交、直线在平面内．本题中直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内，故选D.5．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．不确定解析：选B∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线．6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a∥b，b⊂α，则直线a就平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①中a∥b，b⊂α，所以不管a在平面内或平面外，都有结论成立，故①正确；②中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故②错误；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④中直线a与平面β有可能平行，故④错误．答案：①③7．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则m与α的位置关系是________．答案：相交8．空间中三个平面将空间分成________部分．解析：①当三个平面两两平行时，将整个空间分成4部分；②当三个平面中有两个互相平行，且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有1条交线时，分成6部分；③当三个平面两两相交且交线为3条互相平行的直线时，分成7部分；④当三个平面两两相交于共点的三条直线时，分成8部分．答案4或6或7或89.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线．设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交．10．三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．因为a，b都在平面γ内，所以a∥b，又c∥b，所以c∥a.层层级一应试能力达标1．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是()A．平行 B．相交C．b⊂β D．平行或相交解析：选D∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能解析：选D如图所示：故相交、平行、异面都有可能．3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a∥β，a∥α⇒α∥β；④a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确命题的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：选A由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a⊂α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，∵a⊄α，∴a∥α或a与α相交．∵b⊂α，a∥b，故a∥α.4．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．5．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．解析：以打开的书面或长方体为模型，观察可得结论．答案：1或36．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________．解析：首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系：平行、相交、直线在平面内．本题中相交显然不成立，平行或直线在平面内都有可能．答案：平行或直线在平面内7.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．解：直线PQ与平面AA′B′B平行．连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′