24.1 测量 同步练习

第24章解直角三角形24.1测量基础过关全练知识点1利用相似三角形的判定与性质进行测量1.(2022四川成都青羊石室联中期中)如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米.若小芳身高只有1.2米，则她的影长为()A.1.2米 B.1.4米 C.1.6米 D.1.8米2.(2023四川内江六中月考)检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米.如图①，现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理，作出了光线图，其中视力表AB的上、下边缘A、B发出的光线经平面镜MM'的上、下边缘反射到眼睛C处.如果视力表的全长为0.8米，则镜长MM'=米.

图①图②3.(2023山西晋城期末)如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C.若测得AE=1m，DE=1.5m，CE=5m，则楼高BC是多少?4.请你设计两种方案，测量如图所示的楼房的高度.知识点2利用直角三角形进行测量5.(2022福建福州师大二附中模拟)福州以著名的坊巷文化而闻名，美丽的三牧坊宽不足4米，长不到240米，从卫前街进入三牧坊，走不到百米，便能看到一所百年学府——福州一中，它是众多福州人的记忆所在.位于三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构，如图1、2(图2为图1的平面示意图)，O为AB中点，从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为0.08米，点C和点D到门槛AB的距离都为0.28米，则AB的长是()图1 图2A.1.8米 B.2米 C.2.2米 D.2.4米6.(2023甘肃天水麦积期末)如图所示的是某路口处草坪的一角，行走路线应是A→C→B，但有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青草可惜，多行数步无妨”的提示牌.则提示牌上的“多行数步”是指多行米.

7.(2023陕西榆林十中期末)某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人.如图，已知云梯最多只能伸长到15m(即AB=CD=15m)，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m(即BE=12m)高的B处救人后，还要从15m(即DE=15m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米?(延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高).能力提升全练8.(2022山东德州中考)如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为()A.2.7m B.3.6m C.2.8m D.2.1m9.(2023山西长治模拟)如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度.小红眼睛点A与标杆顶端点F、旗杆顶端点E在同一直线上，点B、C、D也在同一条直线上.已知小红眼睛到地面的距离AB=1.6米，标杆高FC=3.8米，且BC=1米，CD=7米，则旗杆ED的高度为()A.15.4米 B.17米 C.17.6米 D.19.2米10.(2022吉林长春宽城模拟)我国古代数学发展源远流长，成就辉煌.著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何?”现在我们可以解释为：如图，矩形BCDE的边BE、CD表示井的直径，A在CB的延长线上，CD=5尺，AB=5尺，AD交BE于F，BF=0.4尺，根据以上条件，请你求出井深BC.11.(2022山西太原育英中学模拟)阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米(如图1).小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上的影长为3.2米(如图3).身高1.6m的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，小芳测得他的影长为2m.(1)在横线上直接填写：甲树的高度为米，乙树的高度为米；

(2)请求出丙树的高度.素养探究全练12.(2022山东青岛市南期中)如图1，长、宽均为3厘米，高为8厘米的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6厘米，绕底面的一条边进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，图2是此时的示意图，请同学们借助图2，利用相似的知识求水面高度CF.

第24章解直角三角形24.1测量答案全解全析基础过关全练1.B设小芳的影长为h米，∵同一时刻物高与影长成比例，∴1.82.1=1.2ℎ，解得h=1.4，2.0.32解析如图，作CD⊥MM'，垂足为D，并延长交A'B'于E，∵AB∥MM'∥A'B'，∴CE⊥A'B'，△CMM'∽△CA'B'，∴MM'A'B'=CD∵CD=CE-DE=5-3=2(米)，CE=5米，A'B'=AB=0.8米，∴MM'0.8=25，∴MM'=0.32米，∴镜长为0.3.解析∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC，∴11+5∴BC=9(m)，故楼高BC是9m.4.解析答案不唯一.方案一(用标杆)：如图，站在距楼底一定远的Q处看楼顶，然后拿一根标杆CD直立在人和楼房之间的某处，使标杆的顶端点D恰好在人看到楼顶的视线PA上.作PE⊥AB于点E，交标杆CD于点F.因为人、标杆、楼房都垂直于地面，所以△PDF∽△PAE，所以PFPE=DFAE.若人站在距楼底m米(用皮尺量得)处，人的眼睛到地面的距离为h米，标杆的长为a米，人和标杆的距离为d米，则楼房的高度为m方案二(用比例尺)：如图所示，站在距楼底m米(用皮尺量得)的Q处看楼顶，视线PA与水平线的夹角∠APC=∠α(用测角仪量得)，然后按1∶500的比例在纸上将△PAC画出来，记为△P'A'C'.用皮尺测量出人的眼睛到地面的距离为h米，用刻度尺量出纸上A'C'的长度为b厘米，则楼房的高度为(5b+h)米.方案三(用太阳光)：如图，同一时刻，在太阳光下，用皮尺量得楼房的影长BC=l1米，人的影长B'C'=l2米，人的身高A'B'=h米.∵△ABC∽△A'B'C'，∴ABA'B'=BCB'C'，即ABℎ=l1l2，解得AB=ℎ5.B如图，过D作DE⊥AB于E，由题意得OA=OB=AD=BC，DE=0.28米，设OA=OB=AD=BC=r米，则AB=2r(米)，OE=12CD=0.04米，∴AE=(r-0.04)米在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r-0.04)2+0.282=r2，解得r=1，∴2r=2，∴AB=2米.6.4解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6米，BC=8米，∴AB=AC2+BC2=62+827.解析在Rt△ABO中，∵AB=15m，OB=12-3=9(m)，∴AO=AB2−OB2=15∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15-3=12(m)，∴OC=CD2−O∴AC=OA-OC=3(m)，故AC长为3m.能力提升全练8.A如图，过点B作BF⊥AD于点F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴DCBF=ACAB，∴0.6BF=14.5，解得BF9.D作AH⊥ED，垂足为H，交FC于点G，如图所示，∵FC⊥BD，ED⊥BD，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH=BD，AG=BC，∵AB=1.6米，FC=3.8米，BC=1米，CD=7米，∴FG=FC-AB=2.2(米)，AH=BD=8米，∵FG∥EH，∴FGEH=AGAH，即2.2EH=18，∴EH=17.6米，∴ED=EH+HD=17.6+1.即旗杆ED的高度为19.2米.10.解析设BC=x尺.∵四边形BCDE是矩形，∴BF∥CD，∴△AFB∽△ADC，∴FBDC=ABAC，∴0.45=55+x，解得x=57.5，经检验，x=57.5是方程的解，∴11.解析(1)设甲树的高度为x米，则x4.08=10.8，解得x=5.1，故甲树的高度为5.1米.如图1，设AB的长为乙树的高度，BC=2.4米，CD=1.2米，∵四边形AECD∴AE=CD=1.2米，由题意得BEBC=10.8，∴BE=3米，故乙树的高度AB=AE+BE=4.(2)如图2，设AB的长为丙树的高度，BC=2.4米，CD=3.2米，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF，由题意得BEBC=BE2.4=10.8，∴BE=3米.由题意得CF3.2=1.62，∴∴AE=CF=2.56米，故丙树的高度AB=A